ゴールドバーグ多面体

数学、より具体的には多面体組合せ論において、ゴールドバーグ多面体（ゴールドバーグたてんそく、英: Goldberg polyhedron ）は、六角形と五角形から構成される凸多面体である。1937 年にマイケル・ゴールドバーグ (1902–1990) によって初めて説明された。ゴールドバーグ多面体は、各面が五角形または六角形であること、各頂点でちょうど 3 つの面が交わること、回転 20 面体対称性があることという 3 つの特性によって定義される。必ずしも鏡映対称である必要はない。たとえば、GP(5,3)とGP(3,5)は互いの鏡像体である。ゴールドバーグ多面体は、測地多面体の双対多面体である。

オイラーの多面体公式の結果、ゴールドバーグ多面体は常に 12 個の五角形の面を持ちます。二十面体対称性により、五角形は常に規則的であり、常に 12 個あります。頂点が球面に制限されていない場合、多面体は平面の正三角形 (ただし、一般には正角ではありません) の面で構成できます。

ゴールドバーグ多面体の簡単な例としては、正十二面体と切頂二十面体があります。他の形は、チェスの ナイトをある五角形から次の五角形に動かすことで説明できます。まず一方向にm歩進み、次に左に 60° 回転してn歩進みます。このような多面体はGP( m , n )と表記されます。正十二面体はGP(1,0)で、切頂二十面体はGP(1,1) です。

同様の手法は、四面体対称性や八面体対称性を持つ多面体の構築にも適用できます。これらの多面体は、五角形ではなく三角形や四角形になります。これらのバリエーションには、六角形以外の面の辺の数を示すローマ数字の下付き文字が付けられています。GP III ( n , m )、 GP _IV ( n , m )、 GP V ₍ n , _m )です。

GP ( m , n )の頂点、辺、面の数は、mとnから、T  =  m2  +  ^mn  +  n2  = ( m  +  n ) ²  −  ^mnで計算できます。これは、3つの対称システムのいずれかに依存します。^{[1]非六角形面}の数は、ここに 示すように、オイラー特性を使用して決定できます。

ほとんどのゴールドバーグ多面体は、(T)テトラヘドロン、(C)ユーブ、(D)オデカヘドロン シードから始まるコンウェイ多面体表記法を使用して構築できます。面取り演算子cは、すべての辺を六角形に置き換え、GP ( m、n ) をGP (2 m、2 n )に変換します ( T乗数は 4)。切り詰められた kis演算子y  =  tkは、GP (3,0) を生成し、GP ( m、n ) をGP (3 m、3 n )に変換します ( T乗数は 9)。

クラス 2 形式では、デュアル kis演算子z  =  dkは、T乗数が 3 で、 GP ( a , a ) をGP ( a , a )に変換します。クラス 3 形式では、渦演算子w は、 T乗数が 7 でGP (2,1)を生成します。時計回りおよび反時計回りの渦生成器w w  =  wrwは、クラス 1 でGP (7,0)を生成します。一般に、渦は、a  >  bでカイラル方向が同じ場合に、 GP( a , b ) を GP( a + 3 b ,2 ab ) に変換できます。カイラル方向が逆になると、 a ≥ 2 b の場合はGP ( a  , b )はGP  ( 2 a + 3 b , a − 2 b ) になり、  a < 2 b の場合はGP(3 a  + b , 2  b  − a ) に なります。

• カプシド
• 測地球
• フラーレン#その他のバッキーボール
• コンウェイ多面体表記
• ゴールドバーグ・コクセター構成

• ゴールドバーグ、マイケル (1937)。「多重対称多面体のクラス」東北数学ジャーナル43 : 104–108。
• ジョセフ・D・クリントン、クリントンの等中心角予想
• ハート、ジョージ(2012)。「ゴールドバーグ多面体」。マージョリー・セネシャル(編) 『Shaping Space』 (第 2 版)。シュプリンガー。pp. 125–138。doi : 10.1007 /978-0-387-92714-5_9。ISBN 978-0-387-92713-8。[1]
• ハート、ジョージ(2013 年 6 月 18 日)。「数学的印象: ゴールドバーグ多面体」。サイモンズ サイエンス ニュース。
• Schein, S.; Gayed, JM (2014-02-25). 「フラーレンとウイルスに関連する多面体対称性を持つ凸正多面体の第 4 クラス」。 米国科学アカデミー紀要。111 (8): 2920–2925。Bibcode : 2014PNAS..111.2920S。doi : 10.1073 / pnas.1310939111。ISSN  0027-8424。PMC 3939887。PMID 24516137。 

• 二重測地線二十面体
• ゴールドバーグ変形: 分子ケージの新しい形 平らな六角形と五角形が、古い多面体に新しいひねりを加えて融合、ダナ・マッケンジー、2014 年 2 月 14 日