面取り（ジオメトリ）

幾何学において、面取りまたは辺の切断は、1 つの多面体を別の多面体に変更する位相演算子です。これは拡張に似ており、面を離して (外側に)移動し、隣接する 2 つの面の間に新しい面を追加します。ただし、拡張とは逆に、元の頂点は維持されます。(同様に、面を縮小して分離し、隣接する 2 つの面の間に新しい面を追加しますが、頂点は内側に移動するだけです。) 多面体の場合、この操作により、元の辺の代わりに新しい六角形の面が追加されます。

コンウェイ多面体表記では、面取りは文字「c」で表されます。e 辺を持つ多面体は、2 e個の新しい頂点、3 e 個の新しい辺、およびe 個の新しい六角形の面を含む面取りされた形状になります。

以下の章では、5 つのプラトン立体の面取りについて詳しく説明します。それぞれの面取りは、すべての辺の長さが同じである正辺バージョンと、すべての辺が同じ中球に接する標準バージョンで示されています。(三角形を含む立体の場合のみ、著しく異なって見えます。) 示されている双対多面体は、標準バージョンの双対です。

面取りされた四面体または交互切頂立方体は、次のように構成された凸多面体です。

• 正四面体を面取りする：6 つの辺を合同な平らな六角形に置き換える。
• または、（通常の）立方体を交互に切り詰めて、8 つの頂点のうち 4 つを合同な正三角形の面に置き換えます。

面取り/切り取りの特定の深さでは、cT のすべての (最終的な) エッジの長さは同じになります。その場合、六角形は正六角形ですが、規則的ではありません。

面取りされた四面体の双対は、交互三面体四面体です。

cTはゴールドバーグ多面体GP _III (2,0)または{3+,3} _2,0であり、三角形と六角形の面が含まれています。

面取りされた立方体は、立方体の面取りとして構築されます。つまり、正方形のサイズが縮小され、元のすべての辺の代わりに新しい面、六角形が追加されます。cC は、32 の頂点、48 の辺、18 の面を持つ凸多面体です。6 つの合同な(かつ正方な) 正方形と 12 の合同な平坦な六角形です。
面取りの特定の深さでは、面取りされた立方体のすべての (最終的な) 辺の長さは同じになります。その場合、六角形は正三角形ですが、正三角形ではありません。それらは合同な交互に切頂を切った 菱形であり、 の内角が2 つ、 の内角が 4 つありますが、正六角形はすべて内角です。 ${\displaystyle \cos^{-1}(-{\frac {1}{3}})\approx 109.47^{\circ}}$${\displaystyle \pi -{\frac {1}{2}}\cos ^{-1}(-{\frac {1}{3}})\approx 125.26^{\circ },}$${\displaystyle 120^{\circ}}$

cCは不正確に切頂菱形十二面体とも呼ばれるが、この名前はむしろ菱形立方八面体を示唆している。cCはより正確には四切頂菱形十二面体と呼ぶことができる。なぜなら、菱形十二面体の(6)次の4頂点だけが切頂されているからである。

面取りされた立方体の双対は四角形立方八面体です。

cC のすべての面は辺の数が偶数で中心対称なので、これはゾノヘドロンです。

面取りされた立方体は、正方形と六角形の面を含むゴールドバーグ多面体GP _IV (2,0)または{4+,3} _2,0でもあります。

cCは、菱形十二面体と辺の長さが1の立方体のミンコフスキー和であり、菱形十二面体の8つの3次の頂点がにあり、 6つの4次の頂点が次の順列にあるときである。${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$${\displaystyle (\pm {\sqrt {3}},0,0).}$

面取りされた立方体と位相的に同等だが、黄鉄鉱の対称性と長方形の面を持つ立方体は、黄鉄鉱の軸辺を面取りすることによって構築できる。これは黄鉄鉱の結晶で発生する。

幾何学において、面取り八面体は、菱形十二面体の 8 つの 3 次頂点を切り取ることによって構成される凸多面体です。これらの切り取られた頂点は合同な正三角形になり、元の 12 の菱形の面は合同な平坦な六角形になります。特定の深さの切り取りでは、cO のすべての (最終的な) 辺の長さは同じになります。その場合、六角形は正三角形ですが、正六角形ではありません。

面取りされた八面体は、三切菱形十二面体とも呼ばれます。

cO の双対は三角立方八面体です。

面取りされた十二面体は、 80 の頂点、120 の辺、42 の面 (12 の合同な正五角形と 30 の合同な扁平六角形) を持つ凸多面体です。これは、正十二面体の面取りとして構築されます。五角形はサイズが縮小され、すべての元の辺の代わりに新しい面 (扁平六角形) が追加されます。面取りの特定の深さでは、cD のすべての (最終的な) 辺の長さは同じになります。その場合、六角形は正三角形ですが、正六角形ではありません。

cDは不正確に切頂菱形三十面体とも呼ばれるが、この名前はむしろ菱形二十十面体を示唆している。cDはより正確には五切頂菱形三十面体と呼ぶことができる。なぜなら菱形三十面体の(12)次の5頂点だけが切頂されているからである。

面取りされた十二面体の双対は五十六面体十二面体です。

cDはゴールドバーグ多面体GP _V (2,0)または{5+,3} _2,0であり、五角形と六角形の面を含みます。

幾何学において、面取り二十面体は、菱形三十面体の 20 個の 3 次頂点を切り取ることによって構成される凸多面体である。cI の六角形の面は、一定の深さで切り取ることにより、正六角形ではなく、正三角形にすることができる。

面取りされた二十面体は、三切菱形三十面体とも呼ばれます。

cI の双対は三十六面体です。

面取り操作を連続して適用すると、現在の面のエッジを置き換える新しい六角形の面を持つ、徐々に大きくなる多面体が作成されます。面取り演算子は、GP(m,n) を GP(2m,2n) に変換します。

正多面体 GP(1,0) は、ゴールドバーグ多面体シーケンス GP(1,0)、GP(2,0)、GP(4,0)、GP(8,0)、GP(16,0)... を 作成します。

切頂八面体または切頂二十面体GP(1,1) は、ゴールドバーグ数列 GP(1,1)、GP(2,2)、GP(4,4)、GP(8,8)... を作成します。

切頂 四面体または切頂五面体十二面体GP(3,0) は、ゴールドバーグ数列 GP(3,0)、GP(6,0)、GP(12,0)... を作成します。

拡張操作と同様に、面取りは任意の寸法に適用できます。

ポリゴンの場合、頂点の数は 3 倍になります。例:

ポリコラの場合、元のエッジの周りに新しいセルが作成されます。セルはプリズムであり、元の面の 2 つのコピーを含み、プリズムの側面にピラミッドが追加されています。^{[この文章には何か問題がある可能性があります]}

• コンウェイ多面体表記
• ニアミスジョンソンソリッド
• カンテレーション（幾何学）

• ゴールドバーグ、マイケル (1937)。「多重対称多面体のクラス」東北数学ジャーナル43 : 104–108。
• ジョセフ・D・クリントン、クリントンの等中心角予想[1]
• ハート、ジョージ(2012)。「ゴールドバーグ多面体」。マージョリー・セネシャル(編) 『Shaping Space』 (第 2 版)。シュプリンガー。pp. 125–138。doi : 10.1007 /978-0-387-92714-5_9。ISBN 978-0-387-92713-8。
• ハート、ジョージ(2013 年 6 月 18 日)。「数学的印象: ゴールドバーグ多面体」。サイモンズ サイエンス ニュース。
• Antoine Deza、Michel Deza、Viatcheslav Grishukhin、フラーレンと配位多面体と半立方体埋め込み、1998 PDF [2] (p. 72 図 26. 面取り四面体)
• Deza, A.; Deza, M .; Grishukhin, V. (1998)、「フラーレンと配位多面体と半立方体埋め込み」、離散数学、192 (1): 41–80、doi :10.1016/S0012-365X(98)00065-X。
• スペンサー、レナード・ジェームズ(1911)。「結晶学」 。ヒュー・チザム(編) 著。ブリタニカ百科事典第 7 巻 (第 11 版)。ケンブリッジ大学出版局。pp. 569–591。

• 面取り四面体
• 面取りソリッド
• プラトン立体とアルキメデス立体の頂点と辺の切断により頂点推移多面体が得られる Livio Zefiro
• VRML 多面体ジェネレータ (コンウェイ多面体表記)
  • VRMLモデル 面取り立方体
• 3.2.7. (C80-Ih) [5,6] フラーレンの系統的番号付け
• フラーレンC80
  1. [3] （第7番-Ih）
  2. [4]
• 面取りされた立方体の作り方