切り詰められた正方形のタイル

幾何学において、切頂正方形タイリングは、各頂点に1 つの正方形と 2 つの八角形があるユークリッド平面の正多角形による半正則 タイリングです。これは、正凸多角形によるエッジツーエッジのタイリングで、八角形を含む唯一のものです。シュレーフリ記号はt{4,4}です。

コンウェイはこれを、正方形のタイリング(カドリール) に切り捨て操作を適用して構築された、切り捨てられたカドリールと呼んでいます。

このパターンには、地中海タイルや八角形タイルと呼ばれる別名もあります。八角形タイルは、多くの場合、小さな正方形や、長辺と短辺が交互に並ぶ非正八角形で表されるものです。

平面には 3 つの規則的なタイリングと 8 つの半規則的なタイリングがあります。

切り取られた正方形のタイルには、2つの異なる均一な色付けがあります。(頂点の周りのインデックスによって色に名前を付ける(4.8.8): 122、123。)

切頂正方形のタイルは、各点の中心に等しい直径の円を配置する円充填として使用できます。充填中のすべての円は、他の3つの円と接しています（キス数）。^[1]

このパターンのバリエーションの 1 つは、地中海パターンと呼ばれることが多く、小さな正方形が境界線に対して斜めに揃った石のタイルで表されます。他のバリエーションでは、正方形または八角形が引き伸ばされます。

ピタゴラスのタイル張りは、大きい正方形と小さい正方形を交互に並べたもので、トポロジー的には切り詰められた正方形のタイル張りと同一と見なすことができます。正方形は 45 度回転し、八角形は中央の辺に頂点がある正方形に歪んでいます。

織りのパターンも同じトポロジーを持ち、八角形と平らな長方形で構成されています。

切頂正方形のタイル張りは、頂点図形4.2n.2nを持つ均一な多面体とタイル張りのシーケンスの一部として位相的に関連付けられ、双曲平面にまで広がります。

平面に投影された3 次元のビットトランケーテッド立方ハニカムは、トランケーテッド タイリングの 2 つのコピーを示します。平面では、複合タイリングで表すこともできますし、組み合わせると面取りされた正方形タイリングとして表示することもできます。

元の面には赤、元の頂点には黄色、元のエッジには青でタイルを描くと、8 つのフォームはすべて異なります。ただし、面を同一に扱うと、位相的に一意のフォームは、正方形のタイル、切り詰められた正方形のタイル、スナブ正方形のタイルの 3 つだけになります。

テトラキス正方形タイリングは、切頂正方形タイリングの双対であるユークリッド平面のタイリングです。これは、各正方形を中心点から 4 つの直角二等辺三角形に分割し、無限の線を配置した正方形タイリングとして構築できます。また、グリッドの各正方形を対角線で 2 つの三角形に分割し、対角線の方向を交互にすることで形成することも、2 つの正方形グリッドを重ねて、一方を他方から 45 度回転し、係数√ 2で拡大縮小することによって形成することもできます。

コンウェイはこれをキスカドリルと呼び、^[2]正方形のタイル（カドリール）の面を置き換えるために中心点と三角形を追加するkis操作で表されます。8次頂点を囲む三角形が英国国旗に似ているため、ユニオンジャック格子とも呼ばれます。 ^[3]

ウィキメディア・コモンズには、 Uniform tiling 4-8-8 (truncated square tiling)に関連するメディアがあります。

• 正多角形のタイル張り
• 均一なタイリングのリスト
• 浸透閾値

• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝シュトラウス『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5 [1] 
• グリュンバウム、ブランコ& シェパード、GC (1987)。『タイルとパターン』。ニューヨーク: WH フリーマン。ISBN 0-7167-1193-1。（第2.1章：規則的かつ均一なタイリング、p.58-65）
• ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。ドーバー出版、p. 40。ISBN 0-486-23729-X。
• デール・シーモアとジル・ブリットン、テッセレーション入門、1989年、ISBN 978-0866514613、pp. 50–56 

• Weisstein、Eric W.「半正規テッセレーション」。MathWorld。
• Klitzing、Richard。「2D ユークリッド タイル o4x4x - tosquat - O6」。