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幾何学において、菱形二十面体はアルキメデス立体であり、2種類以上の正多角形の面から構成される13種類の凸等角 非角柱立体の1つである。
合計62面の平面を持ち、正三角形の面が20面、正方形の面が30面、正五角形の面が12面、頂点が60個、辺が120本あります。
ヨハネス・ケプラーは『世界の調和』 （1618年）でこの多面体を菱形二十十二面体と名付けました。これは切頂二十十二面体菱形の略で、二十十二面体菱形は彼が菱形三十面体に付けた名前です。[ 1 ] [ 2 ]菱形三十面体を位相的な菱形二十十二面体に切断する方法はいくつかあります。特に、その正立化（左）、均一な立体（中央）を作成するもの、および双対二十十二面体の正立化（右）があり、これは双対複合体の核となります。
辺の長さがa の菱形二十面体の場合、その表面積と体積は次のようになります。
正二十十二面体の面を原点から適切な量だけ移動させ、各面を回転させて各三角形の頂点が五角形の頂点に接するようにし、面のサイズは変えずに、結果として生じる正方形の穴を塞ぐことで、菱形正二十十二面体が得られます。したがって、菱形正二十面体は正二十面体と同じ数の三角形と正十二面体と同じ数の五角形を持ち、どちらの面の辺にも正方形が1つずつ存在します。
あるいは、5つの立方体のそれぞれの面を原点から適切な量だけ移動させ、面の向きや大きさを変えずに72°回転させて互いに等距離になるように拡張し、結果として生じる五角形と三角形の穴を塞ぐと、菱形二十面体が得られます。したがって、この菱形二十面体は5つの立方体と同じ数の正方形を持ちます。
ビルナビロトゥンダの2つの面群、すなわちルネ（各ルネは1つの正方形の反対側の辺に隣接する2つの三角形で構成されている）は、菱形二十面体上の合同な面群と整列させることができる。2つのビルナビロトゥンダが菱形二十面体の反対側にこのように整列されている場合、菱形二十面体の中心にあるビルナビロトゥンダの間に立方体を配置することができる。
菱形二十面体は、小さな星型切頂十二面体や、6個または12個の五芒星プリズムからなる均一な複合体と頂点の配置を共有している。
ジオデシックドームやその他の多面体を作成するためのZometoolキットは、コネクタとしてスロット付きボールを使用します。これらのボールは、正方形を長方形に置き換えた「拡張」菱形二十面体です。拡張の仕方は、結果として得られる長方形が黄金長方形になるように選択されています。
ジョンソン立体92種のうち12種は菱形二十面体から派生しており、そのうち4種は1つ以上の五角形のドームを回転させることで得られる。これらは、ジャイレート菱形二十面体、パラバイジャイレート菱形二十面体、メタバイジャイレート菱形二十面体、トリジャイレート菱形二十面体である。さらに8種は、最大3つのドームを取り除くことで構築でき、場合によっては他のドームの1つ以上を回転させることもある。
原点を中心とする辺の長さが 2 の菱形二十面体の頂点のデカルト座標はすべて次の偶順列です。[ 3 ]
ここで、 φ = 1 + √5 / 2は黄金比です。したがって、この菱形二十面体の外接円半径は、これらの点から原点までの共通距離、すなわち辺の長さが 2 の場合は√φ6 + 2 = √8φ + 7です。辺の長さが 1 の場合は、R を半分にする必要があります。
菱形二十面体には、頂点、2種類の辺、および3種類の面（三角形、正方形、五角形）を中心とした6つの特別な直交投影があります。最後の2つは、 A2およびH2コクセター平面に対応します。
菱形二十面体は球面タイルとして表現することもでき、立体投影によって平面に投影することができます。この投影は等角投影であり、角度は保存されますが、面積や長さは保存されません。球面上の直線は、平面上では円弧として投影されます。
この多面体は、双曲平面のタイル張りとして続く頂点図形 (3.4.n.4) を持つカンテレーション多面体のシーケンスの一部として位相的に関連付けられています。これらの頂点推移図形は、(*n32) の鏡面対称性を持っています。
関連するジョンソン立体は12種類あり、そのうち5種類は縮小変換によるもので、8種類は回転変換を含むものである。
菱形二十面体は、 3つの非凸一様多面体、すなわち小型星型切頂十二面体、小型十二二十面体（三角形と五角形の面を共通して持つ）、および小型菱形十二面体（正方形の面を共通して持つ）と頂点の配置を共有している。
また、頂点の配置は、6個または12個の五芒星プリズムからなる均一な複合体と共通している。
グラフ理論の数学分野では、菱形二十面体グラフは、アルキメデス立体の1つである菱形二十面体の頂点と辺のグラフです。これは60個の頂点と120個の辺を持ち、4次グラフであるアルキメデスグラフです。[ 5 ]
Unus igitur Trigonicuscum duebus Tetragonicis & uno Pentagonico、マイナス効率 4 直腸、および congruunt 20 Trigonicum 30 Tetragonis & 12 Pentagonis、in unum Hexacontadyhedron、quod appello Rhombicoſidodecaëdron、ſeu ectum Rhombumイコジドドデカエドリクム。
（第3-9節）
