対称面体

幾何学において、対称面体（シンメトロヘドロン）は、対称軸上に凸正多角形が配置され、凸包上の隙間が不規則多角形で埋められた対称性の高い多面体である。この名前はクレイグ・S・カプランとジョージ・W・ハートによって名付けられた。^[1]

自明なケースとしては、プラトン立体、すべて正多角形であるアルキメデス立体があります。最初のクラスはボウタイと呼ばれ、台形面のペアが含まれます。2 番目のクラスは凧形面です。別のクラスはLCM対称面体と呼ばれます。

各対称面体は、記号式 G(l; m; n; α) で表されます。G は対称群 (T,O,I) を表します。値 l、m、n は乗数です。乗数が m の場合、正 km 角形が G のすべての k 倍軸に配置されます。表記では、軸の次数は降順でソートされているものと想定され、I の場合は 5,3,2、O の場合は 4,3,2、T の場合は 3,3,2 です。また、乗数には 2 つの特別な値も使用できます。* は、指定された軸上にポリゴンを配置しないことを示し、0 は、最終的なソリッドが軸上に頂点 (0 辺のポリゴン) を持つ必要があることを示します。l、m、n の 1 つまたは 2 つは正の整数である必要があります。最後のパラメーター α は、非退化軸角形の相対的なサイズを制御します。

コンウェイ多面体表記法は、正則な形式から始めて、前置演算子を適用することで、これらの多面体を記述する別の方法です。この表記法では、アルキメデスの立体の均一な解を超えて、どの面を正則にすべきかは示されません。

これらの対称面体は、基本ドメイン内の単一の生成点によって生成され、ドメイン境界をまたがる反射対称性を持ちます。エッジは各三角形の境界に垂直に存在し、3 つの三角形の角のそれぞれを中心に規則的な面が存在します。

対称面体は、正方タイルの対称性と、三角形と六角形のタイルの二重ペアを使用して、ユークリッドタイルに拡張できます。タイル Q は正方対称性 p4m、H は六角対称性 p6m です。

これらの均一な多面体解には、基本領域内の生成点の位置を表すCoxeter-Dynkin 図が存在します。各ノードは、三角形のエッジにある 3 つのミラーの 1 つを表します。生成点がアクティブでミラーから離れている場合、ミラー ノードはリング状になり、点とそのミラー イメージの間に新しいエッジが作成されます。

• ニアミスジョンソンソリッド
• コンウェイ多面体表記

• Antiprism は、Kaplan-Hart 表記法を使用してこれらの多面体を生成および表示するための Symmetro を含む無料ソフトウェアです。