カイロ五角形タイル

カイロ五角形タイル
カイロタイルの正三角形
タイプ	五角形のタイル
顔	不規則な五角形
二重多面体	スナブスクエアタイル
プロパティ	顔推移

幾何学において、カイロ五角形タイル張りは、ユークリッド平面を合同な凸五角形で敷き詰めたものであり、六角形による平面の2つの敷き詰めを重ねて形成され、カイロの舗装デザインとして使用されたことからその名が付けられた。これは、1921年に出版されたNew Mathematical Pastimesでこれを描いたパーシー・アレクサンダー・マクマホンにちなんで、マクマホンのネット^[1]とも呼ばれる。^[2]ジョン・ホートン・コンウェイはこれを4倍のペンティルと呼んだ。^[3]

このパターンは、平面を敷き詰めることができる15 種類の凸五角形のうち 2 種類に属する、無数の異なる五角形によって形成されます。これらの敷き詰めはさまざまな対称性を持ちますが、すべて面対称です。この敷き詰めの 1 つの特定の形式は、スナブ スクエア タイル張りの双対で、すべての五角形敷き詰めの中でタイルの周囲が最小になります。もう 1 つは、2 つの平坦化されたタイル張りを正六角形で重ねた形式で、Cairo で使用され、すべての辺が他の無数の辺と共線であるという特性があります。

建築においては、カイロ以外にも、カイロタイルは18世紀インドのムガル建築、20世紀初頭のドイツのライスハレ、そして多くの近代建築や施設で使用されています。また、結晶構造として研究されており、 M.C.エッシャーの芸術作品にも登場しています。

カイロタイルのすべての辺の和集合は、平面上の2つのタイルを六角形で和集合したものと同じです。片方のタイルの各六角形は、もう一方のタイルの2つの頂点を囲み、もう一方のタイルの六角形によってカイロタイルの4つの五角形に分割されます。^[4]無限に多くの異なる五角形がカイロタイルを形成できます。タイル間の隣接パターンと六角形への分解は同じですが、辺の長さ、角度、対称性は異なります。これらのタイリングを形成する五角形は、平面をタイリングできる15の凸五角形族^[5]と、 1918年にカール・ラインハルトが発見した平面を等面体（すべてのタイルが互いに対称）にタイリングできる5つの五角形族^[6]から、 2つの異なる無限族に分類できます。

これら 2 つのファミリーの 1 つは、隣接していない 2 つの直角を持つ五角形で構成され、これらの直角のそれぞれで 2 つの辺の長さが等しくなります。これらの要件を満たす五角形は、選択された直角の角で、互いに対して直角に回転したコピーによって平面をタイル張りします。これらの 2 つの直角のいずれにも隣接していない五角形の辺では、互いに対して 180 度回転した 2 つのタイルが出会います。その結果、等面体のタイル張りが実現します。つまり、タイル張りのどの五角形も、タイル張りの対称性によって他のどの五角形にも変換できます。これらの五角形とそのタイル張りは、タイル張り可能な五角形の種類の一覧で「タイプ 4」として記載されることがよくあります。^[4]カイロタイル張りのタイプ4では、同じタイルを12枚使って立方体の表面を覆うこともできます。立方体の各辺にタイルを1枚ずつ折り、立方体の各頂点でタイルの直角3つが交わることで、正十二面体と同じ組み合わせ構造が形成されます。 [ ^{7] [8]}

カイロ タイル張りを形成するもう 1 つの五角形ファミリーは、隣接していない頂点に 2 つの補角があり、それぞれがそれに接する 2 つの辺の長さが同じである五角形です。これらのタイル張りでは、補角を持つ頂点が各次数 4 の頂点の周りで交互に配置されます。これらの制約を満たす五角形は、通常、タイル張りする 15 の五角形ファミリーの 1 つとしてリストされていません。むしろ、異なる方法で平面を等面体としてタイル張りする、より大きな五角形ファミリー (「タイプ 2」五角形) の一部です。^[4]

左右対称のカイロタイルは、タイプ2とタイプ4の両方のファミリーに属する五角形で形成されます。^[4]バスケット織りのレンガ舗装パターンは、左右対称のカイロタイルの退化したケースと見ることができ、各レンガ（長方形）は4つの直角と1つの180°の角を持つ五角形として解釈されます。^[9]${\displaystyle 1\times 2}$

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  タイプ2のカイロタイルは、隣接していない補角を持ち、隣接する2辺の長さは同じである。
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  タイプ4のタイルは、等しい長さの辺のペアの間に隣接していない直角があります。
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  左右対称のタイル張り（両方のタイプに属する）では、隣接していない直角と4つの等しい辺を持つタイルを使用します。

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  タイプ 2 カイロ タイル。反射タイルと非反射タイルの色分け表示付き
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  タイプ4のカイロタイルでは、タイルが左右対称でなくても五角形が左右対称になることがあります。
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  バスケットウィーブは、退化した左右対称のタイルに、非退化タイルを重ねたものである。

タイル張りの五角形に 6 次元の半整数座標を割り当てることが可能であり、任意の 2 つの五角形間のエッジからエッジまでのステップの数は、それらの座標間のL ¹距離に等しくなります。各五角形の 6 つの座標は、2 つの座標の 3 つ組にグループ化でき、各 3 つ組は、重ね合わせた 2 つの六角形タイル張りのそれぞれについて、類似の 3 次元座標系における六角形の座標を示します。^[10]任意のタイルからステップ離れているタイルの数は、最初の 3 つの項の後、各項がシーケンスで 3 ステップ前の項と 16 だけ異なる調整シーケンスによって与えられます 。タイル張りの頂点に類似の調整シーケンスをタイルの代わりに定義することもできますが、頂点には 2 つのタイプ (次数 3 と次数 4) があるため、この方法では 2 つの異なる調整シーケンスが発生します。 4次のシーケンスは正方格子の場合と同じです。^{[11] [12]}${\displaystyle i}$${\displaystyle i=0,1,2,\dots }$ $${\displaystyle 1,5,11,16,21,27,32,37,\dots }$$

スナブ正方形タイルは、2つの正方形と各頂点の周りの3つの正三角形で構成され、そのデュアルタイルとして左右対称のカイロタイルがあります。^[13]カイロタイルは、スナブ正方形タイルの各正方形または三角形の中心にカイロタイルの頂点を配置し、隣接するタイルから来る場合はこれらの頂点を辺で接続することによって、スナブ正方形タイルから形成されます。^{[14]その五角形は}円に外接できます。それらには4つの長い辺と1つの短い辺があり、長さの比率はです。これらの五角形の角度は、120°、120°、90°、120°、90°のシーケンスを形成します。^[15]${\displaystyle 1:{\sqrt {3}}-1}$

スナブスクエアタイルはアルキメデスタイルであり、アルキメデスタイルの双対として、この形式のカイロ五角形タイルはカタロニアタイルまたはラベスタイルである。^[14]これは、タイルが単位面積の場合にタイルの周囲を最小化する2つの単面五角形タイルの1つである。もう1つは、2つの直角と3つの120°角を持つ外接五角形によるタイルであるが、2つの直角は隣接している。また、両方の種類の五角形を組み合わせて形成されるタイルも無数に存在する。^[15]

頂点座標が整数、、を持ち、4 つの辺が残りの 1 辺より短い五角形は、カイロ タイル張りを形成します。カイロ タイル張りの 2 つの六角形タイル張りは、垂直方向に の比率で正六角形を使用して 2 つの垂直タイル張りを平坦化することで形成できます。カイロ タイル張りのこの形式は、すべての辺が無限に多くの他の辺と同一線上にあるという、正六角形によるタイル張りの特性 (平坦化によって変化しない) を継承します。^{[9] [16]}${\displaystyle (\pm 2,0)}$${\displaystyle (\pm 3,3)}$${\displaystyle (0,4)}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

正五角形は、隙間なく平面を敷き詰めることができないため、カイロタイリングを形成することはできない。タイプ4のカイロタイリングを形成できる唯一の正五角形が存在する。これは5つの辺が等しいが、角度が等しくなく、タイリングは左右対称である。^{[4] [13]}カイロタイリングを形成できる正五角形は他にも無数に存在する。^[4]

カイロのいくつかの通りは、カイロタイルと同じ直線状の舗装が施されている。^{[9] [17]}この使用がタイルの名前の由来である。^{[18] [19]} 2019年現在でも、この模様はカスル・エル・ニル橋やエル・ベフース地下鉄駅の近くの正方形のタイルの表面装飾として見ることができる。また、このタイルの他のバージョンは、市内の他の場所でも見ることができる。^[20]マーティン・ガードナーを含む一部の著者は、この模様はイスラム建築でより広く使用されていると書いているが、この主張は誤解に基づいているようだが、カイロタイルに似た模様はインドの17世紀のイティマード・ウッダウラ廟で見ることができ、カイロタイル自体は17世紀のムガル 帝国のジャリで発見されている。^[16]

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  イティマード・ウッダウラの墓。カイロのタイル張りに似た長方形の側面パネルがある。
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  壁にカイロのタイルが見られるセンター・ザメット
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  デンマーク、ホースホルムのカイロタイル

装飾模様としてのカイロタイルに関する最も古い出版物の一つは、1906年のテキスタイルデザインに関する本である。^[21]発明者HCムーアは、1908年にこの模様を形成するタイルの米国特許を申請した。^[22]ほぼ同じ時期に、ビレロイ＆ボッホはカイロタイル模様のセラミック床タイルのシリーズを作成し、ドイツのハンブルクにあるライスハレの玄関ホールで使用された。カイロタイルは、最近の多くの建築デザインの装飾模様として使用されている。例えば、デンマークのホルスホルムの市内中心部はこの模様で舗装されており、クロアチアのスポーツホールであるセンターザメットでは、外壁と舗装タイルの両方にこの模様が使用されている。^[16]

結晶学では、このタイリングは少なくとも1911年以来研究されてきました。^{[23]これは、層状}水和物結晶の構造として提案されており、 ^[24]ビスマスと鉄の特定の化合物、^[25]および純粋な炭素の仮想化合物であるペンタグラフェンです。ペンタグラフェン構造では、タイリングの4次頂点に接するエッジは単結合を形成し、残りのエッジは二重結合を形成します。その水素化形態であるペンタグラフェンでは、すべての結合が単結合であり、構造の3次頂点の炭素原子は、それらを水素原子に接続する4番目の結合を持ちます。^[26]

カイロタイルは、MCエッシャーの「お気に入りの幾何学模様」の1つと言われています。^[7]彼はこれを、1941年の絵「貝殻とヒトデ」、1967年から1968年にかけての「変身III 」の花に止まる蜂の部分、そして1967年から1968年にかけての他のいくつかの絵のベースとして使用しました。このモザイク模様のイメージは、1974年にHSMコクセターの著書「正則複素多面体」の初版の表紙にも使用されました。^{[4] [16]}

ウィキメディア・コモンズには、カイロの五角形のタイルに関連するメディアがあります。

• ワイスタイン、エリック W.、「カイロ テッセレーション」、MathWorld