三角錐二十四面体

幾何学において、三角二十四面体（または台形二十四面体、正方二十四面体、^[1] 正方三八面体、^[2] ストロンビック二十四面体）はカタラン立体である。24面は合同な 凧形である。^[3]三角二十四面体の双対は（均一な）菱形三十四面体であり、擬似三角二十四面体の双対は擬似菱形三十四面体と密接な関係があるが、実際のものと擬似ものを混同しないように注意する必要がある。

上の画像では、長体対角線は反対側の赤い頂点間と反対側の青い頂点間の対角線であり、短体対角線は反対側の黄色い頂点間の対角線です。原点を中心とし、長体対角線の長さが 2 である三角錐 20 四面体の頂点の
直交座標は次のとおりです。

• 赤い頂点（- 倍対称軸上にある）：${\displaystyle 4}$

${\displaystyle \left(\pm 1,0,0\right),\left(0,\pm 1,0\right),\left(0,0,\pm 1\right);}$

• 青い頂点（- 倍対称軸上にある）：${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \left(0,\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}},\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right),\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}},0,\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right),\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}},\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}},0\right);}$

• 黄色の頂点（ - 倍対称軸上にある）：${\displaystyle 3}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {2{\sqrt {2}}+1}{7}},\pm {\frac {2{\sqrt {2}}+1}{7}},\pm {\frac {2{\sqrt {2}}+1}{7}}\right).}$

白銀比δs はどこですか。${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$

例えば、座標を持つ点は、方程式を持つ平面と方程式系を持つ直線の交点である。${\displaystyle \left({\frac {2{\sqrt {2}}+1}{7}},{\frac {2{\sqrt {2}}+1}{7}},{\frac {2{\sqrt {2}}+1}{7}}\right)}$${\displaystyle \left({\sqrt {2}}-1\right)x+\left({\sqrt {2}}-1\right)y+1\left(z-1\right)=0}$${\displaystyle x=y=z\,.}$

三角錐二十四面体には、3 つの直交平面に位置する 3 つの正八角形の赤道があります。

長体対角長D = 2の三角錐二十四面体は次のようになります。

• 短胴対角長:

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {3}}\left(2{\sqrt {2}}+1\right)}{7}}\approx 1.894\,580;}$

• 長辺の長さ: ^[4]

${\displaystyle S={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\approx 0.765\,367;}$

• 短辺の長さ: ^[4]

${\displaystyle s={\frac {\sqrt {20-2{\sqrt {2}}}}{7}}\approx 0.591\,980;}$

• 内半径: ^[4]

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {7+4{\sqrt {2}}}{17}}}\approx 0.862\,856.}$

${\displaystyle r}$は中心から任意の面までの距離です。これは、上記の平面の方程式を正規化し、( x , y , z )を(0, 0, 0)に置き換えて、結果の 絶対値を取ることで計算できます。

三角錐二十四面体の長辺と短辺の比率は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {S}{s}}=2-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 1.292\,893.}$

辺の長さが短い三角錐二十四面体は次のようになります。 ${\displaystyle s}$

• エリア: ^[4]

${\displaystyle A=6{\sqrt {29-2{\sqrt {2}}}}\,s^{2};}$

• 巻数: ^[4]

${\displaystyle V={\sqrt {122+71{\sqrt {2}}}}\,s^{3}.}$

三角錐二十四面体の場合、各凧面は次のようになります。

• 3 つの等しい鋭角、値:

${\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{4}}\right)\approx 81.578\,942^{\circ };}$

• 1 つの鈍角 (短辺間)、値:

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {2}}{8}}\right)\approx 115.263\,174^{\circ }.}$

三角錐二十四面体では、各面は凧形の四辺形です。これらの凧の辺の長さは、0.7731900694928638:1 の比率で表すことができます。具体的には、鈍角に隣接する辺の長さは約 0.707106785 で、鋭角に隣接する辺の長さは約 0.914213565 です。

三角状二十四面体は、方沸石鉱物や時にはガーネットによって形成される結晶の癖である。この形状は鉱物の文脈では台形と呼ばれることが多いが、立体幾何学では台形という名前には別の意味がある。

『ガーディアンズ・オブ・ギャラクシー Vol. 3』では、ロケット・ラクーンで行われた実験に関するファイルを収めた装置は三角錐二十四面体の形をしています。

三角錐二十四面体には、すべて頂点を中心とする 3 つの対称位置があります。

三角錐二十四面体を立方体に投影すると、正方形が四分円に分割されます。正八面体に投影すると、正三角形が凧形に分割されます。コンウェイ多面体表記では、これは立方体または八面体への直交演算を表します。

三角錐二十四面体（小菱形三十八面体の双対）は、二三角錐十二面体（ 大菱形三十八面体の双対）と密接な関連があります。主な違いは、後者は3回対称軸と4回対称軸上の頂点間にも辺があることです（下の画像の黄色の頂点と赤色の頂点の間）。

ピリトヘドロン対称性を持つ変種は、二倍体十^{二面体[5] [6]}または二倍体^[7]と呼ばれます。結晶学では一般的です。
二倍体十二面体は、二倍体十二面体の48面のうち24面を拡大することで作成できます。四倍体十二面体は、二倍体十二面体の24面のうち12面を拡大することで作成できます。

^[8]

大三角八面体は三角二十四面体の星型です。

三角状二十四面体は、立方体や正八面体に関連する均一多面体の双対ファミリーのメンバーです。

球面上に投影すると (右図参照)、立方体と正八面体の辺が双対位置に配置されていることがわかります。また、3 倍角と 4 倍角の中心からの距離を同じにできることもわかります。その場合、結果として得られる二十四面体は双対の菱形立方八面体ではなくなります。これは、菱形立方八面体の正方形と三角形の面の中心が中心から異なる距離にあるためです。

この多面体は、面構成 V3.4. n .4 を持つ位相的に関連する三角多面体のシーケンスの項です。このシーケンスは、ユークリッド平面と双曲平面のタイリングに続きます。これらの面推移図形は、反射対称性(* n 32)を持ちます。

• 三角錐六十面体
• テトラキス六面体。膨らみすぎた立方体のような別の 24 面カタロニア立体。
• HP ラヴクラフトの小説「闇をさまよう者」には、この人物が登場する。

• ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。（第3-9節）
• ウェニンガー、マグナス（1983）、デュアルモデル、ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/CBO9780511569371、ISBN 978-0-521-54325-5、MR  0730208(13 個の半正凸多面体とその双対、23 ページ、三角錐二十四面体)
• 物事の対称性2008、ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン・シュトラウス、ISBN 978-1-56881-220-5 [1] （第21章、アルキメデスとカタロニアの多面体とタイリングの命名、286ページ、正方二十面体） 

• Weisstein, Eric W.、「三角錐二十四面体」（「カタロニア立体」）（MathWorld）
• 三角錐（台形）二十四面体 - インタラクティブ多面体モデル