三角錐六十面体

幾何学において、三角状六十面体（たかだいじょうにじゅうめん、とんぼうじん、とんぼうじん^[1]とも呼ばれる）は、アルキメデスの立体である菱形十二面体の双対多面体であるカタラン立体である。頂点間にハミルトン路を持たない6つのカタラン立体のうちの1つである。^[2]

これは非凸菱形六十面体と位相的に同一である。

長さと角度

60 面は三角筋または凧状です。各凧の短辺と長辺の比率は 1: ⁠です。7 + √ 5/6⁠ ≈ 1:1.539344663...

1つの面にある2つの短い辺の間の角度はarccos( ⁠-5-2√5/20⁠ )≈118.2686774705°。長辺間の反対角はarccos( ⁠-5 + 9√5/40⁠ )≈67.783011547435° 。各面の短辺と長辺の間の他の2つの角度は、どちらもarccos( ⁠5-2√5/10⁠ )≈86.97415549104°。

隣接する面のペア間の二面角はarccos( ⁠-19-8√5/41⁠ )≈154.12136312578°。

トポロジー

位相的には、三角状六十面体は非凸菱形六十面体と同一です。三角状六十面体は、面の中心、辺の中心、頂点を体の中心から異なる半径に押し出すことで、十二面体（または二十面体）から派生できます。半径は、頂点が次数 3 の角に、面が次数 5 の角に、辺の中心が次数 4 の点になるように、結果として得られる形状がそれぞれ平面凧形面を持つように選択されます。

デカルト座標

二等三十面体の 62 個の頂点は、原点を中心とした 3 つの集合に分かれます。

12 個の頂点は、単位外接半径の正 20 面体の形状をしています。
20 個の頂点はスケール付き正十二面体の形状をしています。 ${\frac {3}{11}}{\sqrt {15-{\frac {6}{\sqrt {5}}}}}\approx 0.9571$
30 個の頂点は、スケール付き二十面体の形状をしています。 $3{\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}\approx 0.9748$

これらの船体は下の図に視覚化されています。

直交投影

三角状六十面体には、3 種類の頂点に 3 つの対称位置があります。

バリエーション

三角六十面体は、正二十面体または正十二面体から、頂点の中間辺と中間面を追加し、各辺の中心から面の中心まで新しい辺を作成することで構築できます。コンウェイ多面体表記では、これらは oI、oD、正二十面体、正十二面体となります。これらの幾何学的バリエーションは、1 つの自由度に沿って連続体として存在します。

参照

三角錐二十四面体

参考文献

^ コンウェイ『ものの対称性』p.284-286
^ 「アルキメデスの双対グラフ」。

ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。（第3-9節）
物事の対称性2008、ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン・シュトラウス、ISBN 978-1-56881-220-5 [1] （第21章、アルキメデスとカタロニアの多面体とタイリングの命名、286ページ、四方六十面体）
http://mathworld.wolfram.com/ArchimedeanDualGraph.html

外部リンク

Weisstein, Eric W.、「三角六面体とハミルトン経路」(「カタラン立体」) 、 MathWorldにて。
三角錐六十面体（台形六十面体） - インタラクティブ多面体モデル
実際の例 - 直径約 4 メートルのリップストップナイロン製のボールで、風で膨らみます。地面で跳ね回るので、凧揚げ祭りで子供たちが遊ぶことができます。

[1] コンウェイ『ものの対称性』p.284-286

[2] 「アルキメデスの双対グラフ」。