ゴールドバーグ・コクセター構成

ゴールドバーグ・コクセター構成またはゴールドバーグ・コクセター演算（GC構成またはGC演算）は、次数3または4の正多面体グラフ上で定義されるグラフ演算である^{。[1] [2]}また、これらのグラフの双対グラフ、つまり三角形または四角形の「面」を持つグラフにも適用される。GC構成は、多面体の面を三角形、正方形、または六角形の多角形の格子で細分化するものと考えることができる。元の面に対して歪んでいる可能性もある。これは、ゴールドバーグ多面体と測地線多面体によって導入された概念の拡張である。GC構成は、主に有機化学でフラーレンへの応用について研究されているが、^{[1] [2]}ナノ粒子、^[3]コンピュータ支援設計、^[4]バスケット編み、^{[5] [6]および}グラフ理論と多面体の一般的な研究にも応用されている。^[7]

Goldberg–Coxeter 構成は と表記されます。ここで、は操作対象のグラフ、は整数、、です。 ${\displaystyle GC_{k,\ell}(G_{0})}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle l}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle \ell \geq 0}$

マイケル・ゴールドバーグは1937年にゴールドバーグ多面体を発表しました。 ^[8] バックミンスター・フラーは1940年代に「ジオデシック・ドーム」という用語を作り出しましたが、ドームの背後にある数学の大部分は企業秘密としていました。 ^[9]ジオデシック・ドームはゴールドバーグ多面体（の一部）の幾何学的双対です。完全なジオデシック・ドームは、ゴールドバーグ多面体の双対であるジオデシック・多面体と考えることができます。 1962年、ドナルド・カスパーとアーロン・クルーグは、ゴールドバーグとフラーの概念を応用し拡張したウイルスカプシドの幾何学に関する記事を発表しました。 ^[10] HSMコクセターは1971年に同じ情報の多くを網羅した記事を発表しました。^[11]カスパーとクルーグは測地多面体の最も一般的な正しい構築法を初めて発表し、「ゴールドバーグ・コクセター構築」という名前をスティグラーの名詞法則の一例とした。^[12]

1985年のバックミンスターフラーレンの発見は、ゴールドバーグ多面体構造を持つ他の分子の研究のきっかけとなった。「ゴールドバーグ・コクセターフラーレン」および「ゴールドバーグ・コクセター構造」という用語は、2000年にミシェル・デザによって導入された。 ^{[13] [14]}これは、次数4の場合が考慮された初めてのケースでもある。

このセクションは主にDezaらの2つの論文に従っています。^{[1] [2]}

複素平面上の正則格子は、「マスターポリゴン」を作成するために使用できます。測地線ドームの用語では、これは「ブレークダウン構造」または「主多面体三角形」(PPT) と呼ばれます。4 正則の場合はガウス整数上の正方格子を使用し、3 正則の場合はアイゼンシュタイン整数上の三角格子を使用します。便宜上、3 乗根ではなく 6 乗根に基づくアイゼンシュタイン整数の代替パラメータ化が使用されます。^[a]アイゼンシュタイン整数の通常の定義では、要素 が使用されます。ノルム は、複素数の絶対値の 2 乗として定義されます。3 正則グラフの場合、このノルムはウイルス学で使用されるT 数または三角測量数です。 ${\textstyle \omega ={\frac {1}{2}}\left(-1+i{\sqrt {3}}\right)=e^{{\frac {2}{3}}\pi i}=u-1}$${\displaystyle t(k,\ell )}$

マスター多角形は、格子上に配置された正三角形または正方形です。右の表は、複素平面におけるマスター多角形の頂点の公式を示しており、下のギャラリーは (3,2) マスター三角形と正方形を示しています。多角形を単一の複素数で記述できるように、1 つの頂点は 0 に固定されています。同じ多角形を記述できる数は複数あります。これらは互いに関連付けされています。つまり、 と が関連付けられている場合、アイゼンシュタイン分布またはガウス分布では、ある整数 に対して となります。互いに関連付けられている要素の集合は同値類であり、およびを持つ各同値類の要素は正規形です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x=u^{n}y}$${\displaystyle x=i^{n}y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle b\geq 0}$

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  (3,2) 三角形グリッド上のマスター三角形
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  (3,2) マスタースクエアとスクエアグリッド

マスターポリゴンと演算子は、次のように分類できます。 ${\displaystyle GC_{k,\ell }\left(G_{0}\right)}$

• クラスI:${\displaystyle \ell =0.}$
• クラス II:${\displaystyle k=\ell .}$
• クラス III: その他すべて。クラス III 演算子はカイラル ペアで存在します。は のカイラル ペアです。${\displaystyle GC_{k,\ell }\left(G_{0}\right)}$${\displaystyle GC_{\ell ,k}(G_{0})}$

以下はマスター三角形と正方形の表です。クラス I は最初の列に対応し、クラス II はやや暗い背景の対角線に対応します。

ゴールドバーグ・コクセター演算の合成は複素数の乗算に対応します。 の場合に限り(つまり、左側の一連の演算によって右側のグラフと同型のグラフが生成される場合)、3 正則グラフの場合 はの同値類に属し、4 正則グラフの場合 はの同値類に属します。このことから、次のような有用な結果が得られます。 ${\displaystyle GC_{a,b}\left(GC_{c,d}\left(G_{0}\right)\right)=GC_{e,f}\left(G_{0}\right)}$${\displaystyle (a+bu)(c+du)}$${\displaystyle (e+fu)}$${\displaystyle (a+bi)(c+di)}$${\displaystyle (e+fi)}$

• ゴールドバーグ・コクセター演算を繰り返し適用することは、交換可能かつ結合的です。
• 要素の複素共役または構築されたグラフの反射に対応します。${\displaystyle a+bi}$${\displaystyle a+bu}$
• ガウス整数とユークリッド整数はどちらもユークリッド領域であるため、これらの領域の元は一意に素因数分解できます。したがって、ゴールドバーグ-コクセター演算子を「素」ゴールドバーグ-コクセター演算子のシーケンスに分解することも意味があり、このシーケンスは一意です (並べ替えを除く)。

GC 構築を実行する手順は次のとおりです。 ${\displaystyle GC_{k,\ell }(G_{0})}$

1. 、、およびに基づいてマスターポリゴンを決定します。${\displaystyle k}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle G_{0}}$
2. 3 次元または 4 次元の正規グラフ (三角形または四辺形の面を持つグラフではなく) を操作する場合は、その双対グラフを取ります。この双対グラフには三角形または四辺形の面があります。
3. 三角形/四角形グラフの面をマスター ポリゴンに置き換えます。平面グラフには「外部」面があり、これも置き換える必要があることに注意してください。以下の例では、これをグラフの 1 つの側面に取り付け、必要に応じて他の側面を接続します。これにより、一時的にグラフに重複するエッジが導入されますが、結果として得られるグラフは平面です。重複するエッジがないように頂点を再配置できます。
4. 元のグラフが 3 または 4 正則グラフだった場合は、ステップ 3 の結果の双対を取得します。それ以外の場合は、ステップ 3 の結果が GC 構築になります。

以下は、立方体のスケルトン上に が構築される例です。最後の 2 つのグラフでは、青い線は の辺であり、黒い線は の辺です。(点線は通常のグラフの辺ですが、重なり合うグラフの辺をわかりやすくするために異なって描かれています。)赤い頂点は にあり、 に残りますが、青い頂点は の構築によって新しく作成され、 にのみ存在します。 ${\displaystyle GC_{1,1}(G_{0})}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle GC_{1,1}(G_{0})}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle GC_{1,1}(G_{0})}$${\displaystyle GC_{1,1}(G_{0})}$

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  マスタースクエア（1,1）
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  開始多面体（立方体）
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  ${\displaystyle G_{0}}$、立方体の骨格
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  構築の中間ステップ。${\displaystyle GC_{1,1}(G_{0})}$
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  再配置後の結果${\displaystyle GC_{1,1}(G_{0})}$
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  結果の埋め込み（菱形十二面体）

ゴールドバーグ・コクセター構成は、トーラスグラフなどの非平面グラフに簡単に拡張できます。^[15]クラスIII演算子は、そのキラリティーのため、向き付け可能な表面上に埋め込むことができるグラフを必要としますが、クラスIおよびII演算子は向き付け不可能なグラフでも使用できます。

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