ストレス（力学）

ストレス
プラスチック分度器内部の残留応力が偏光によって明らかにされます。
一般的な記号	σ
SI単位	パスカル
その他のユニット	psi、バール
SI基本単位では	Pa = kg ⋅ m −1 ⋅ s −2
寸法	${\displaystyle {\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}{\mathsf {T}}^{-2}}$

連続体力学では、応力は変形中に存在する力を表す物理量です。たとえば、引き伸ばされたゴムバンドなどの引き離されている物体は、引張応力を受け、伸びる可能性があります。しわくちゃのスポンジなどの押し付けられている物体は、圧縮応力を受け、短縮する可能性があります。^{[1] [2]}力が大きければ大きいほど、またそれが作用する物体の断面積が小さければ小さいほど、応力は大きくなります。応力は面積あたりの力の次元を持ち、 SI単位系はニュートン毎平方メートル (N/m ² ) またはパスカル(Pa) です。^[1]

応力は連続体の隣接する粒子が互いに及ぼす内部力を表し、一方、ひずみは物質の相対的な変形の尺度です。 ^[3]たとえば、垂直の棒が頭上の重りを支えている場合、棒内の各粒子はすぐ下の粒子を押します。液体が密閉容器内に圧力をかけられている場合、各粒子は周囲のすべての粒子から押されます。容器の壁と圧力を誘発する表面（ピストンなど）は、（ニュートンの）反応でそれらを押します。これらの巨視的な力は、実際には非常に多くの分子間力とそれらの分子内の粒子間の衝突の最終的な結果です。応力は、ギリシャ文字の小文字シグマ（σ）で表されることがよくあります。^[3]

物質内部のひずみは、外部の力によってバルク物質（重力など）またはその表面（接触力、外圧、摩擦など）に加えられる応力など、さまざまなメカニズムによって発生する可能性があります。固体物質のあらゆるひずみ（変形）は、バネの反力に類似した内部弾性応力を生成し、物質を元の変形していない状態に戻そうとします。液体と気体では、体積が変化する変形のみが持続的な弾性応力を生成します。変形が時間とともに徐々に変化する場合は、流体であっても、その変化に対抗する粘性応力が通常存在します。弾性応力と粘性応力は通常、機械的応力という名前でまとめられます。

変形が無視できるほど小さいか、または存在しない場合でも、大きな応力が存在する場合があります (水の流れをモデル化する場合の一般的な仮定)。 応力は外力がなくても存在する場合があります。このような内蔵応力は、たとえばプレストレスト コンクリートや強化ガラスで重要です。 応力は、正味の力を加えなくても、たとえば温度や化学組成の変化、または外部の電磁場(圧電材料や磁歪材料など) によって材料にかかる場合もあります。

機械的応力、ひずみ、ひずみ速度の関係は非常に複雑ですが、これらの量が十分に小さい場合は、線形近似で十分です。材料の特定の強度限界を超える応力は、永久変形（塑性流動、破壊、キャビテーションなど）を引き起こしたり、結晶構造 や化学組成を変えたりします。

人類は古代から材料内部の応力について知っていました。17世紀まで、この理解は主に直感的かつ経験的でしたが、複合弓や吹きガラスなどの比較的高度な技術の発展を妨げるものではありませんでした。^[4]

数千年にわたって、特に建築家や建設業者は、柱頭、アーチ、キューポラ、トラス、ゴシック様式の大聖堂のフライング・バットレスなどの独創的な装置を用いて、慎重に形作られた木の梁や石のブロックを最も効果的な方法で組み合わせ、応力に耐え、伝達し、分散する方法を学んできました。

古代および中世の建築家は、柱や梁の適切なサイズを計算するためのいくつかの幾何学的方法と簡単な公式を開発しましたが、応力の科学的理解が可能になったのは、17世紀と18世紀に必要なツールが発明されてからでした。ガリレオ・ガリレイの厳密な実験方法、ルネ・デカルトの座標と解析幾何学、ニュートンの運動と平衡の法則と微分積分です。^[5] これらのツールにより、オーギュスタン＝ルイ・コーシーは、応力と歪みの概念を導入することで、変形した弾性体の最初の厳密で一般的な数学モデルを与えることができました。^[6] コーシーは、仮想表面を横切る力はその法線ベクトルの線形関数であり、さらに対称関数（全運動量がゼロ）でなければならないことを観察しました。液体の応力に関する理解は、平行層流における摩擦力（せん断応力）の微分式を提示したニュートンから始まりました。

応力は、境界のすべての方向に対して、その境界の単位面積あたりの小さな境界を横切る力として定義されます。^{[7]応力は、物理量（力）と純粋に幾何学的な量（面積）から導き出され、速度、}トルク、エネルギーなどの物理量であり、材料の性質や物理的原因を明示的に考慮することなく定量化および分析できます。

連続体力学の基本前提に従えば、応力はマクロな概念である。つまり、その定義と解析で考慮される粒子は、組成と状態が均質であると扱えるほど十分に小さく、かつ量子効果と分子の詳細な運動を無視できるほど十分に大きくなければならない。したがって、2つの粒子間の力は、実際にはそれらの分子間の非常に多数の原子間力の平均であり、質量、速度、重力のような3次元物体の大部分に作用する力などの物理量は、それらの全体に滑らかに分布していると想定される。^{[8] : 90–106}文脈によっては、粒子が金属棒の粒子や木片の繊維などの他の微視的特徴を平均化できるほど十分に大きいと想定することもできる。

量的には、応力は、仮想の分離面S を横切る材料の隣接部分間の牽引力F をSの面積で割ったものとして定義されるコーシー牽引ベクトル Tによって表されます。^{[9] : 41–50}静止した流体では、力は表面に対して垂直であり、よく知られている圧力です。固体、または粘性液体の流れでは、力F はSに対して垂直ではない場合があります。したがって、表面全体の応力はスカラー量ではなくベクトル量と見なす必要があります。さらに、方向と大きさは一般にSの向きによって異なります。したがって、材料の応力状態は、（コーシー）応力テンソルと呼ばれるテンソルによって記述する必要があります。これは、表面Sの法線ベクトルnとS全体の牽引ベクトルTを関連付ける線形関数です。任意の選択された座標系に対して、コーシー応力テンソルは、 3×3 の実数の対称行列として表すことができます。均質な物体内でも、応力テンソルは場所によって異なり、また時間の経過とともに変化する可能性があります。したがって、物質内の応力は、一般に、時間とともに変化するテンソル場です。

一般に、粒子P が表面S を横切って別の粒子Qに及ぼす応力T は、 Sに対して任意の方向を持ちます。ベクトルT は、表面に垂直な法線応力(圧縮または張力) と、表面に平行な せん断応力の 2 つの成分の合計と見なすことができます。

表面の法線単位ベクトルn ( QからPに向かう) が固定されていると仮定すると、法線成分は 1 つの数値、つまりドット積 T · nで表すことができます。この数値は、 PがQを「引っ張る」場合 (引張応力) は正になり、PがQに対して「押す」場合(圧縮応力) は負になります。したがって、せん断成分はベクトルT − ( T · n ) n になります。

応力の次元は圧力の次元であるため、その座標は圧力と同じ単位で測定されます。つまり、国際単位系ではパスカル(Pa、つまり平方メートルあたりのニュートン) 、ヤードポンド法では平方インチあたりの重量ポンド(psi)です。機械的応力は 100 万パスカルを簡単に超えるため、メガパスカルを表す MPa が応力の一般的な単位です。

物質体内の応力は、外部からの影響や内部の物理的プロセスなど、複数の物理的原因によって生じます。これらの要因の一部（重力、温度や位相の変化、電磁場など）は、位置や時間とともに連続的に変化しながら、物質全体に作用します。その他の要因（外部荷重や摩擦、周囲圧力、接触力など）は、特定の表面、線、点に集中する応力や力を生み出します。また、衝突による衝撃のように、非常に短い時間間隔で発生することもあります。活性物質では、ミクロ粒子の自己推進によってマクロな応力プロファイルが生成されます。^[11]一般に、物体内の応力分布は、空間と時間の区分的に 連続した関数として表されます。

逆に、応力は通常、材料に対するさまざまな効果と相関しており、複屈折、分極、透過性などの物理的特性の変化が含まれる可能性があります。外部要因による応力の印加は、通常、検出できないほど小さい場合でも、材料に何らかの歪み（変形）を引き起こします。固体材料では、このような歪みは、伸びたバネの反力に類似した内部弾性応力を生成し、材料を元の変形していない状態に戻そうとします。流体材料（液体、気体、プラズマ）は、定義上、体積が変化する変形にのみ抵抗できます。変形が時間とともに変化する場合は、流体であっても、通常はその変化に抵抗する粘性応力が発生します。このような応力は、せん断応力または垂直応力のいずれかです。流体のせん断応力の分子起源については、粘度に関する記事で説明しています。垂直粘性応力については、Sharma（2019）を参照してください。^[12]

応力と、変形や変形の変化率などのその影響や​​原因との関係は、非常に複雑になることがあります (ただし、量が十分に小さい場合は、線形近似で十分です)。材料の特定の強度限界を超える応力は、永久変形 (塑性流動、破壊、キャビテーションなど) を引き起こしたり、結晶構造 や化学組成を変えたりします。

状況によっては、物体内部の応力は単一の数値、または単一のベクトル（数値と方向）で適切に記述できる場合があります。エンジニアリング設計でよく見られる3つの単純な応力状況は、一軸垂直応力、単純せん断応力、等方性垂直応力です。^[13]

単純な応力パターンの一般的な状況は、均一な材料と断面を持つまっすぐな棒が、その軸に沿って大きさが反対の力によって張力を受ける場合です。システムが平衡状態にあり、時間とともに変化せず、棒の重量が無視できる場合、棒の各横断面では、上部が下部を全断面積Aにわたって連続して同じ力Fで引っ張る必要があります。したがって、任意の水平面を横切る棒全体の応力 σ は、これらの力Fの大きさと断面積Aで計算した単一の数値 σ で簡単に表すことができます。一方、棒が長さに沿って軸に平行に切断されていると想像すると、切断面を横切る 2 つの半分の間には力 (したがって応力) はありません。このタイプの応力は、(単純な) 垂直応力または一軸応力、具体的には (一軸、単純など) 引張応力と呼ばれることがあります。^{[13]棒に引張荷重ではなく}圧縮 荷重がかかっている場合、力Fと応力の符号が変わることを除いて解析は同じであり、応力は圧縮応力と呼ばれます。 ${\displaystyle F}$$${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}}$$${\displaystyle \sigma }$

この解析では、応力が断面全体に均等に分散されていると仮定しています。実際には、バーの端部の取り付け方法や製造方法によっては、この仮定が有効でない場合があります。その場合、値= F / Aは平均応力のみとなり、工学応力または公称応力と呼ばれます。バーの長さLが直径Dの何倍もあり、大きな欠陥や内蔵応力がない場合は、両端からD の数倍以上離れた断面では応力が均等に分散されていると仮定できます。(この観察結果はサン・ブナンの原理として知られています)。 ${\displaystyle \sigma }$

垂直応力は、軸方向の引張と圧縮以外にも、さまざまな状況で発生します。均一で対称な断面を持つ弾性棒を対称面の 1 つで曲げると、曲げ応力は垂直 (断面に垂直) のままですが、断面全体で変化します。外側の部分は引張応力を受け、内側の部分は圧縮されます。垂直応力の別のバリエーションは、加圧された流体で満たされた円筒形のパイプ または容器の壁に発生するフープ応力です。

別の単純なタイプの応力は、接着剤やゴムなどの弾性材料の均一な厚さの層が、層に平行な力によって反対方向に引っ張られている 2 つの硬い物体、またははさみのようなツールのあごで切断されている柔らかい金属棒の一部にしっかりと取り付けられている場合に発生します。F をそれらの力の大きさ、M をその層の中央平面とします。通常の応力の場合と同様に、 Mの片側の層の部分は、同じ力Fで他の部分を引っ張る必要があります。力の方向がわかっていると仮定すると、M全体の応力は、それらの力の大きさFと断面積Aを使って簡単に計算される単一の数値 で表すことができます。通常の応力とは異なり、この単純なせん断応力は、検討している断面に垂直ではなく平行に向けられています。^[13]層に垂直な任意の 平面Sについて、 S全体の正味の内部力、したがって応力はゼロになります。 ${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle \tau ={\frac {F}{A}}}$$

軸方向に荷重がかかった棒の場合と同様に、実際にはせん断応力が層全体に均一に分散されない可能性があるため、前述のように、比F / A は平均 (「公称」、「工学的」) 応力に過ぎません。その平均は、多くの場合、実用上は十分です。^{[14] : 292}せん断応力は、シャフトなどの円筒形の棒の両端に反対方向のトルクがかかった場合にも観察されます。その場合、各断面のせん断応力は断面に平行ですが、軸に対して接線方向に向いており、軸からの距離とともに増加します。曲げ荷重を受けると、ウェブが端板 (「フランジ」 ) を拘束するため、 I ビームの中間板 (「ウェブ」) に大きなせん断応力が発生します。

もう 1 つの単純なタイプの応力は、物体がすべての方向に均等に圧縮または張力を受けている場合に発生します。これは、たとえば、容器に閉じ込められているか、より大きな流体の塊の一部である静止状態の液体または気体の一部の場合、または、6 つの面すべてで均等に垂直な力によって押されたり引っ張られたりしている弾性材料の立方体の内部の場合に当てはまります。ただし、どちらの場合も、材料が均質で、内部応力がなく、重力やその他の外力の影響を無視できることが条件です。

このような状況では、仮想内部表面を横切る応力は大きさが等しく、表面の向きに関係なく常に表面に対して垂直に向いています。このタイプの応力は、等方性垂直応力または単に等方性応力と呼ばれることがあります。圧縮応力の場合は、静水圧または単に圧力と呼ばれます。定義により、気体は引張応力に耐えられませんが、一部の液体は、状況によっては非常に大きな等方性引張応力に耐えられる場合があります。Zチューブを参照してください。

車輪、車軸、パイプ、柱などの回転対称性を持つ部品は、エンジニアリングでは非常に一般的です。このような部品で発生する応力パターンは、回転対称性または円筒対称性を持つことがよくあります。このような円筒応力の解析では、対称性を利用して、ドメインや応力テンソルの次元を減らすことができます。

多くの場合、機械物体は同時に複数の種類の応力を受けます。これを複合応力と呼びます。法線応力とせん断応力では、応力の大きさは、特定の方向 に垂直な表面で最大になり、 に平行な表面全体ではゼロになります。せん断応力が特定の 1 つの方向に垂直な表面全体でのみゼロになる場合、その応力は二軸応力と呼ばれ、2 つの法線応力またはせん断応力の合計と見なすことができます。最も一般的なケースは三軸応力と呼ばれ、応力はすべての表面要素でゼロではありません。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

複合応力は単一のベクトルでは説明できません。物体の体積全体にわたって材料に同じ応力がかかっている場合でも、仮想表面全体の応力はその表面の向きによって大きく左右されます。

コーシーは、表面を横切る応力ベクトルは常に、その表面の法線ベクトル （その表面に対して垂直な単位長さのベクトル）の線形関数になることを観察しました。つまり、 であり、関数 は 任意のベクトルおよび任意の実数に対して を満たします 。現在では(コーシー) 応力テンソル と呼ばれる関数 は、均一に応力がかかっている物体の応力状態を完全に表します。(今日では、2 つの物理ベクトル量間の線形接続はすべてテンソルと呼ばれ、コーシーがもともと材料の「張力」（応力）を表すために使用したことを反映しています。)テンソル計算では、慣例に応じて (0,2) 型または (1,1) 型の 2 次テンソルとして分類されます。${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle T={\boldsymbol {\sigma }}(n)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\alpha u+\beta v)=\alpha {\boldsymbol {\sigma }}(u)+\beta {\boldsymbol {\sigma }}(v)}$$${\displaystyle u,v}$${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

ベクトル間の線形写像と同様に、応力テンソルは任意の直交座標系で実数の 3×3 行列で表すことができます。座標に番号が付けられるか と名前が付けられるかによって、行列は または と 記述されます 。法線ベクトル(共変- 「行; 水平」 - ベクトル)を持つ座標を持つ表面を横切る 応力ベクトルは、行列積になります(ここで、上位インデックスの T は転置であり、結果として共変(行) ベクトルが得られます) (コーシー応力テンソルを参照)。つまり、 ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle x,y,z}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle T={\boldsymbol {\sigma }}(n)}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}}$${\displaystyle T=n\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}&T_{2}&T_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{21}&\sigma _{31}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{32}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$

と の間の線形関係は、線形運動量保存と力の静的平衡の基本法則に従うため、あらゆる材料およびあらゆる応力状況に対して数学的に正確です。材料内のあらゆる点におけるコーシー応力テンソルの成分は、平衡方程式（加速度ゼロのコーシーの運動方程式）を満たします。さらに、角運動量保存の原理は、応力テンソルが対称、つまり、、 であることを意味します。したがって、任意の点および瞬間における媒体の応力状態は、9 つ​​ではなく 6 つの独立したパラメータによってのみ指定できます。これらは 、要素が直交垂直応力（選択した座標系に対して）、および直交せん断応力と呼ばれる場合に記述できます 。^{[出典が必要]}${\displaystyle T}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}}$${\displaystyle \sigma _{13}=\sigma _{31}}$${\displaystyle \sigma _{23}=\sigma _{32}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{xz}&\tau _{yz}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}}$${\displaystyle \tau _{xy},\tau _{xz},\tau _{yz}}$

コーシー応力テンソルは、座標系の変化に応じてテンソル変換法則に従います。この変換法則をグラフィカルに表現したものが、モールの応力分布円です。

対称 3×3 実数行列である応力テンソルは、互いに直交する 3 つの単位長さの固有ベクトルと 3 つの実数固有値を持ち、 となる。したがって、軸 を持つ座標系では、応力テンソルは対角行列であり、主応力 の 3 つの法線成分 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}} のみを持つ。3つ の 固有値が等しい場合、応力は等方性圧縮または等方性引張であり、常にどの面に対しても垂直であり、せん断応力はなく、テンソルはどの座標フレームでも対角行列である。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}e_{i}=\lambda _{i}e_{i}}$${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$

一般に、応力は物質全体に均一に分布しているわけではなく、時間とともに変化する可能性があります。したがって、応力テンソルは、各点および各瞬間について、その点を取り囲む媒体の微小粒子を考慮し、その粒子の平均応力をその点の応力として定義する必要があります。

人工物は、多くの場合、切断、穴あけ、エッジに沿った緩やかな曲げ、溶接など、本質的に 2 次元の特性を変えない操作によって、さまざまな材料のストック プレートから作られています。このような物体の応力の説明は、それらの部品を 3 次元の物体ではなく 2 次元の表面としてモデル化することで簡素化できます。

この見方では、「粒子」をプレートの表面の微小なパッチとして再定義し、隣接する粒子間の境界が微小な線要素になるようにします。粒子と粒子は両方とも、プレートに対して垂直な (まっすぐに) 3 次元に暗黙的に拡張されます。次に、「応力」は、共通の線要素を横切る 2 つの隣接する「粒子」間の内部力の測定値として再定義され、その線の長さで割られます。応力テンソルの一部の要素は無視できますが、粒子は 3 次元では微小ではないため、粒子が隣接する粒子に及ぼすトルクを無視することはできません。そのトルクは、プレートの曲率を変える傾向がある曲げ応力としてモデル化されます。これらの単純化は、溶接部、鋭い曲がり、折り目 (曲率半径がプレートの厚さに匹敵する)では当てはまらない場合があります。

応力の分析は、中程度の曲げやねじれを受ける均一な（または滑らかに変化する）構成と断面を持つ薄い棒、梁、またはワイヤの場合にも、大幅に簡素化できます。これらの物体の場合、棒の軸に垂直な断面のみを考慮し、「粒子」をそのような 2 つの断面の間にある極小の長さを持つワイヤ片として再定義できます。通常の応力はスカラー（棒の張力または圧縮）に縮小されますが、曲げ応力（軸に垂直な方向に棒の曲率を変えようとする）とねじり応力（軸を中心に棒をねじったりねじれを戻そうとする）も考慮する必要があります。

応力解析は、固体物体の内部力の内部分布の決定を扱う応用物理学の分野です。規定または予想される負荷の下でのトンネル、ダム、機械部品、構造フレームなどの構造の研究と設計のための工学上の必須ツールです。また、他の多くの分野でも重要です。たとえば、地質学では、プレートテクトニクス、火山活動、雪崩などの現象を研究するため、生物学では、生物の解剖学を理解するために重要です。

応力解析は一般に、マクロ的な静的平衡にあると想定できる物体や構造に関係する。ニュートンの運動の法則によれば、そのようなシステムに加えられる外力は、内部反力^{[15] : 97}と釣り合わなければならない。内部反力は、ほとんどの場合、隣接する粒子間の表面接触力、つまり応力である。^[9]すべての粒子は平衡にある必要があるため、この反作用応力は通常、粒子から粒子へと伝播し、物体全体に応力分布を作り出す。応力解析における典型的な問題は、システムに作用する外力が与えられた場合、これらの内部応力を決定することである。後者は、物質の体積全体に作用する体積力（重力や磁力など）である可能性がある。 ^{[16] : 42–81}または、2次元領域、線に沿って、または単一の点で作用すると想定される集中荷重（車軸とベアリング間の摩擦、レール上の列車の車輪の重さなど）である可能性がある。

応力解析では、通常、力の物理的原因や材料の正確な性質は無視されます。代わりに、応力は既知の構成方程式によって材料の変形（非静的問題では変形速度）に関連していると仮定します。^[17]

応力解析は、実際の人工物またはスケールモデルに荷重をかけ、いくつかの利用可能な方法のいずれかを使用して結果として生じる応力を測定することによって、実験的に実行できます。このアプローチは、安全性の認証と監視によく使用されます。ほとんどの応力は、特に設計時に数学的手法によって解析されます。基本的な応力解析問題は、連続体に対するオイラーの運動方程式 (ニュートンの線形運動量と角運動量保存の法則の結果) とオイラー-コーシーの応力原理、および適切な構成方程式によって定式化できます。したがって、決定すべき未知の関数として、応力テンソル場とひずみテンソル場を含む偏微分方程式のシステムが得られます。外部の物体力は、微分方程式の独立した (「右側」の) 項として表示され、集中力は境界条件として表示されます。したがって、基本的な応力解析問題は境界値問題です。

弾性構造の応力解析は、弾性理論と微小ひずみ理論に基づいています。加えられた荷重によって永久変形が生じる場合、関係する物理的プロセス (塑性流動、破壊、相変化など) を考慮できる、より複雑な構成方程式を使用する必要があります。工学的構造は通常、最大予測応力が線形弾性(連続媒体に対するフックの法則の一般化) の範囲内に収まるように設計されます。つまり、内部応力によって生じる変形は、それらに線形に関係します。この場合、応力テンソルを定義する微分方程式は線形であり、問​​題ははるかに簡単になります。まず、どの点でも応力は荷重の線形関数になります。応力が十分に小さい場合、非線形システムであっても通常は線形であると想定できます。

物理的寸法と荷重の分布により、構造を 1 次元または 2 次元として扱える場合、応力解析は簡素化されます。たとえば、トラスの解析では、応力場は各メンバーにわたって均一かつ一軸であると想定できます。すると、微分方程式は有限個の未知数を持つ有限の方程式セット (通常は線形) に簡略化されます。他の状況では、3 次元の問題を 2 次元の問題に簡略化したり、一般的な応力テンソルとひずみテンソルを一軸張力/圧縮、単純せん断などのより単純なモデルに置き換えたりできる場合があります。

それでも、2 次元または 3 次元の場合は、偏微分方程式の問題を解く必要があります。微分方程式の解析解または閉じた形式の解は、形状、構成関係、境界条件が十分に単純な場合に得られます。そうでない場合は、通常、有限要素法、有限差分法、境界要素法などの数値近似に頼る必要があります。

その他の有用な応力測定法には、第 1 および第 2ピオラ–キルヒホッフ応力テンソル、ビオ応力テンソル、キルヒホッフ応力テンソルなどがあります。