代替ストレス対策

コーシー応力（または真応力）は、変形した形状の面積要素に作用する力の尺度です。このテンソルは対称であり、次のように定義されます。

${\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma }$

または

${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} }$

どこ${\displaystyle \mathbf {t} }$トラクションと${\displaystyle \mathbf {n} }$これは、牽引力が作用する表面に対する法線です。

数量、

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}}$

これはキルヒホッフ応力テンソルと呼ばれ、${\displaystyle J}$決定要因${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$これは、金属塑性（塑性変形中に体積変化がない場合）における数値アルゴリズムで広く用いられています。重み付きコーシー応力テンソルとも呼ばれます。

ビオ応力は、右伸張テンソルとエネルギー的に共役であるため有用である。${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ビオ応力はテンソルの対称部分として定義される。${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}}$どこ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$は、変形勾配の極分解から得られる回転テンソルである。したがって、ビオ応力テンソルは次のように定義される。

${\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})~.}$

ビオ応力はヤウマン応力とも呼ばれる。

数量${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$物理的な解釈はありません。しかし、非対称化されたビオ応力には、

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}~d\mathbf {f} =({\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

基準形状と変形形状における面積の関係を示すナンソンの公式より：

${\displaystyle \mathbf {n} ~d\Gamma =J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

今、

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma =d\mathbf {f} ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

したがって、

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot (J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

または、

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}=J~({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})^{T}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

または、

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {N}}^{T}={\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

インデックス表記では、

${\displaystyle N_{Ij}=J~F_{Ik}^{-1}~\sigma _{kj}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=J~\sigma _{ki}~F_{Jk}^{-1}}$

したがって、

${\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}~.}$

ご了承ください${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ そして${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$（一般的に）対称ではないのは、${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$（一般的に）対称ではない。

思い出してください

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}=d\mathbf {f} }$

そして

${\displaystyle d\mathbf {f} ={\boldsymbol {F}}\cdot d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})}$

したがって、

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}}$

または（対称性を利用して）${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$)

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}}$

インデックス表記では、

${\displaystyle N_{Ij}=S_{IK}~F_{jK}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=F_{iK}~S_{KJ}}$

あるいは、次のように書くこともできます。

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {P}}}$

思い出してください

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

2番目のPKストレスに関しては、

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

したがって、

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

インデックス表記では、

${\displaystyle S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}~\tau _{kl}~F_{Jl}^{-1}}$

コーシー応力（したがってキルヒホッフ応力）は対称であるため、第2のキルヒホッフ応力も対称である。

あるいは、次のように書くこともできます。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$

または、

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

明らかに、プッシュフォワード操作とプルバック操作の定義から、

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\varphi ^{*}[{\boldsymbol {\tau }}]={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

そして

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\varphi _{*}[{\boldsymbol {S}}]={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

したがって、${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$引き戻し${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$による${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$そして${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$前進は${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$。

鍵：$${\displaystyle J=\det \left({\boldsymbol {F}}\right),\quad {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {U}}^{2},\quad {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {U}},\quad {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {R}}^{-1},}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {\tau }}=J{\boldsymbol {\sigma }},\quad {\boldsymbol {S}}=J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}},\quad {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}$$