ピオラ・キルヒホフ応力テンソル

有限変形の場合、ピオラ・キルヒホフ応力テンソル（ガブリオ・ピオラとグスタフ・キルヒホフにちなんで命名）は基準配置に対する応力を表します。これは、現在の配置に対する応力を表すコーシー応力テンソルとは対照的です。微小変形と回転の場合、コーシーテンソルとピオラ・キルヒホフテンソルは同一です。コーシー応力テンソルは、${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}}$現在の構成における応力を関連付け、変形勾配テンソルとひずみテンソルは、運動を基準構成に関連付けることによって記述されます。したがって、材料の状態を記述するすべてのテンソルが基準構成または現在の構成のいずれかにあるわけではありません。基準構成または現在の構成のいずれかで応力、ひずみ、および変形を記述すると、構成モデルの定義が容易になります（たとえば、コーシー応力テンソルは純粋な回転に対して変化しますが、変形ひずみテンソルは不変です。したがって、純粋な回転中に不変なテンソルで変化するテンソルを関連付ける構成モデルを定義する際に問題が発生します。定義上、構成モデルは純粋な回転に対して不変でなければなりません）。第 1 ピオラ-キルヒホフ応力テンソル、${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$これは、この問題に対する一つの解決策となり得る。これは、現在の状態または参照状態における物体の構成を記述するテンソルの族を定義する。

最初のピオラ・キルヒホフ応力テンソル、${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$これは、現在の（「空間的」）構成における力と、参照（「物質的」）構成における領域との関係を示します。

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}~{\boldsymbol {F}}^{-T}~}$

どこ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$変形勾配であり、${\displaystyle J=\det {\boldsymbol {F}}}$はヤコビ行列式である。正規直交基底に関する成分で表すと、第1ピオラ・キルヒホフ応力は次のように与えられる。

${\displaystyle P_{iL}=J~\sigma _{ik}~F_{Lk}^{-1}=J~\sigma _{ik}~{\cfrac {\partial X_{L}}{\partial x_{k}}}~\,\!}$

異なる座標系を関連付けるため、第 1 ピオラ-キルヒホフ応力は2 点テンソルです。一般に、対称ではありません。第 1 ピオラ-キルヒホフ応力は、工学応力の 1 次元概念の 3 次元への一般化です。材料が応力状態の変化なしに回転する場合 (剛体回転)、第 1 ピオラ-キルヒホフ応力テンソルの成分は材料の向きによって変化します。第 1 ピオラ-キルヒホフ応力は、変形勾配とエネルギー的に共役です。これは、現在の構成における力を基準構成における面積に関連付けます。

第２ピオラ・キルヒホフ応力テンソル、${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$は、基準構成における力と基準構成における面積との関係を表します。基準構成における力は、基準構成における力の方向と面積法線との相対的な関係を維持するマッピングによって得られます。

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~.}$

正規直交基底に関する指数表記では、

${\displaystyle S_{IL}=J~F_{Ik}^{-1}~F_{Lm}^{-1}~\sigma _{km}=J~{\cfrac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}~{\cfrac {\partial X_{L}}{\partial x_{m}}}~\sigma _{km}\!\,\!}$

このテンソルは一点テンソルであり、対称性を持つ。材料が応力状態を変化させずに回転する場合（剛体回転）、第2ピオラ・キルヒホフ応力テンソルの成分は、材料の向きに関係なく一定のままである。第2ピオラ・キルヒホフ応力テンソルは、グリーン・ラグランジュ有限ひずみテンソルとエネルギー的に共役である。

• J. ボネット、RW ウッド著、『有限要素解析のための非線形連続体力学』、ケンブリッジ大学出版局。