強化された固体

固体力学において、強化固体とは、延性のある棒や繊維で補強された脆性材料のことである。一般的な例としては、鉄筋コンクリートが挙げられる。コンクリートにひび割れが生じると、ひび割れ内の引張力はコンクリート自体ではなく、鉄筋のみによって支えられる。十分な補強があれば、鉄筋コンクリートは荷重を支え続けることができる。典型的な設計課題は、小さな立方体（図1）にかかる応力を支えることができる最小限の補強量を求めることである。これは最適化問題として定式化できる。

鉄筋はx、y、z方向に配置される。鉄筋比は、鉄筋の断面における鉄筋面積として定義される。${\displaystyle A_{r}}$総面積にわたって${\displaystyle A}$これは、脆性材料領域と補強領域の合計です。

$\displaystyle \rho _{x}}$=${\displaystyle A_{rx}}$/${\displaystyle A_{x}}$

$\displaystyle \rho _{y}}$=${\displaystyle A_{ry}}$/${\displaystyle A_{y}}$

$\displaystyle \rho _{z}}$=${\displaystyle A_{rz}}$/${\displaystyle A_{z}}$

鉄筋コンクリートの場合、鉄筋比は通常0.1%から2%の間である。鉄筋の降伏応力は次のように表される。${\displaystyle f_{y}}$脆性材料の応力テンソルは

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{x}f_{y}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}-\rho _{y}f_{y}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}-\rho _{z}f_{y}\\\end{matrix}}\right]}$。

これは、複合材料の応力テンソルから降伏時の補強材が負担する応力を差し引いたものと解釈できます。この定式化は、補強比が 5% 未満の場合正確です。脆性材料には引張強度がないと仮定します。（鉄筋コンクリートの場合、コンクリートには小さな収縮ひび割れがあるため、この仮定が必要です。）したがって、脆性材料の主応力は圧縮である必要があります。応力テンソルの主応力は、その固有値です。

最適化問題は次のように定式化される。最小化$\displaystyle \rho _{x}}$+$\displaystyle \rho _{y}}$+$\displaystyle \rho _{z}}$脆性材料応力テンソルのすべての固有値がゼロ以下（負半正定値）であるという制約条件を満たす。追加の制約条件は以下のとおりである。$\displaystyle \rho _{x}}$≥ 0、$\displaystyle \rho _{y}}$≥ 0、$\displaystyle \rho _{z}}$≥ 0。

この問題の解は、手計算に最も適した形式で示すことができます。^{[ 1 ] [ 2 ]}図式形式で示すこともできます。^{[ 3 ]}また、コンピュータによる実装に最も適した形式で示すこともできます。^{[ 4 ] [ 5 ]}本稿では、後者の方法を示します。

この問題には12通りの補強方法が考えられ、それらは以下の表に示されています。各行には考えられる解決策が1つずつ記載されています。最初の列には解決策の番号が、2番目の列にはその解決策が有効となる条件が、3番目、4番目、5番目の列には補強比率を計算するための式が示されています。

${\displaystyle I_{1}}$、${\displaystyle I_{2}}$そして${\displaystyle I_{3}}$これらは複合材料応力テンソルの応力不変量である。

正しい解を得るためのアルゴリズムは単純です。条件を満たす各可能な解の補強比を計算します。さらに、補強比がゼロ未満の解は無視します。${\displaystyle \rho _{x}}$+${\displaystyle \rho _{y}}$+${\displaystyle \rho _{z}}$そして、この値が最小となる解を選択します。脆性材料の主応力は、例えばヤコビ法によって、脆性材料応力テンソルの固有値として計算できます。

脆性材料の応力テンソルに補強比を代入して不変量を計算することで、式を簡単に確認できます。最初の不変量はゼロ以下である必要があります。2番目の不変量はゼロ以上である必要があります。これらが2列目の条件となります。解2～12の場合、3番目の不変量はゼロである必要があります。^{[ 3 ]}

下の表は、10個の応力テンソルに対する計算された補強比を示しています。適用された補強降伏応力は${\displaystyle f_{y}}$= 500 N/mm²。鉄筋の質量密度 は 7800 kg/m³^です。表では${\displaystyle \sigma _{m}}$これは計算された脆性材料の応力です。${\displaystyle m_{r}}$これは最適化された補強量です。

梁、持ち送り、杭頭、トラニオン桁の詳細な等高線図は、Reinaldo Chen の博士論文に記載されています。^{[ 6 ]}

最適化問題の解は、保守的に近似することができる。

${\displaystyle \rho _{x}f_{y}}$=${\displaystyle \sigma _{xx}+|\sigma _{xy}|+|\sigma _{xz}|}$

${\displaystyle \rho _{y}f_{y}}$=${\displaystyle \sigma _{yy}+|\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}|}$

${\displaystyle \rho _{z}f_{y}}$=${\displaystyle \sigma _{zz}+|\sigma _{xz}|+|\sigma _{yz}|}$

これは次のように証明できます。この上限の場合、脆性材料の応力テンソルの特性多項式は次のようになります。

${\displaystyle \lambda ^{3}+2(|\sigma _{yz}|+|\sigma _{xz}|+|\sigma _{xy}|)\lambda ^{2}+3(|\sigma _{xz}\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}\sigma _{xz}|)\lambda +2|\sigma _{yz}\sigma _{xz}\sigma _{xy}|-2\sigma _{yz}\sigma _{xz}\sigma _{xy}}$、

これは正の根、つまり固有値を持たない。

この近似式は覚えやすく、計算結果の確認や置き換えに使用できます。

上記の解決策は鉄筋の設計に非常に役立ちますが、実際的な制約がいくつかあります。凸最適化を用いて問題を解決する場合、以下の点も考慮に入れることができます。

• 構造物に複数の荷重がかかるため、1点に複数の応力テンソルが存在する（1つの応力テンソルだけではない）。
• 構造物の表面における亀裂幅に課せられた制約
• 亀裂内のせん断応力（骨材のかみ合い）
• x、y、z以外の方向への補強
• 鉄筋設計プロセスですでに配置されている鉄筋
• 小さな材料の立方体ではなく、構造全体が順番に
• 大きな補強比率
• 圧縮補強

鉄筋は、x、y、z方向以外の方向を持つことができます。一方向の鉄筋の場合、脆性材料の応力テンソルは次のように計算されます。

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]-\rho f_{y}\left[{\begin{matrix}\cos ^{2}(\alpha )&\cos(\alpha )\cos(\beta )&\cos(\alpha )\cos(\gamma )\\\cos(\beta )\cos(\alpha )&\cos ^{2}(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\gamma )\cos(\alpha )&\cos(\gamma )\cos(\beta )&\cos ^{2}(\gamma )\\\end{matrix}}\right]}$

どこ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$これらは、棒グラフとx軸、y軸、z軸とのなす角度です。他の方向の棒グラフも同様の方法で追加できます。

鉄筋コンクリート構造物の建設者は、経験から鉄筋をどこに配置すべきかを知っていることが多い。コンピュータツールは、提案された鉄筋が十分かどうかをチェックすることでこれを支援できる。この目的のために、引張基準、

の固有値​${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{x}f_{y}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}-\rho _{y}f_{y}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}-\rho _{z}f_{y}\\\end{matrix}}\right]}$0以下でなければならない。

書き換えると、

の固有値${\displaystyle \left[{\begin{matrix}{\frac {\sigma _{xx}}{\rho _{x}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{xy}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{y}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{xz}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{z}}}f_{y}}}\\{\frac {\sigma _{xy}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{y}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yy}}{\rho _{y}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yz}}{{\sqrt {\rho _{y}\rho _{z}}}f_{y}}}\\{\frac {\sigma _{xz}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{z}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yz}}{{\sqrt {\rho _{y}\rho _{z}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{zz}}{\rho _{z}f_{y}}}\\\end{matrix}}\right]}$1以下でなければならない。

後者の行列は利用率テンソルです。このテンソルの最大固有値が利用率（単位性チェック）であり、終局限界状態に関連するすべての荷重組み合わせについて、構造物の等高線図に表示することができます。

例えば、構造物のある場所での応力は${\displaystyle \sigma _{xx}}$= 4 N/mm²、${\displaystyle \sigma _{yy}}$= -10 N/mm²、${\displaystyle \sigma _{zz}}$= 3 N/mm²、${\displaystyle \sigma _{yz}}$= 3 N/mm²、${\displaystyle \sigma _{xz}}$= -7 N/mm²、${\displaystyle \sigma _{xy}}$= 1 N/mm²。鉄筋の降伏応力は${\displaystyle f_{y}}$= 500 N/mm²。提案された補強材は${\displaystyle \rho _{x}}$= 1.4%、${\displaystyle \rho _{y}}$= 0.1%、${\displaystyle \rho _{z}}$= 1.9%。利用率テンソルの固有値は-20.11、-0.33、1.32です。利用率は1.32です。これは、鉄筋が過負荷状態であり、32%の補強が必要であることを示しています。

検証は次のように記述することもできます。

最大の固有値は${\displaystyle \left[{\begin{matrix}{\frac {\sigma _{xx}}{\rho _{x}}}&{\frac {\sigma _{xy}}{\sqrt {\rho _{x}\rho _{y}}}}&{\frac {\sigma _{xz}}{\sqrt {\rho _{x}\rho _{z}}}}\\{\frac {\sigma _{xy}}{\sqrt {\rho _{x}\rho _{y}}}}&{\frac {\sigma _{yy}}{\rho _{y}}}&{\frac {\sigma _{yz}}{\sqrt {\rho _{y}\rho _{z}}}}\\{\frac {\sigma _{xz}}{\sqrt {\rho _{x}\rho _{z}}}}&{\frac {\sigma _{yz}}{\sqrt {\rho _{y}\rho _{z}}}}&{\frac {\sigma _{zz}}{\rho _{z}}}\\\end{matrix}}\right]}$未満である${\displaystyle f_{y}}$。

この中で、${\displaystyle f_{y}}$は鉄筋の降伏応力です。計算された鉄筋応力は、コンクリートがどの方向にも引張応力を負担しないような値です。

脆性材料の圧縮とせん断の複合破壊は、脆性材料の応力テンソルの固有値にモール・クーロン基準を適用することで確認できる。

${\displaystyle {\frac {\sigma _{1}}{f_{t}}}+{\frac {\sigma _{3}}{f_{c}}}}$≤ 1、

どこ${\displaystyle \sigma _{1}}$最大の主応力は、${\displaystyle \sigma _{3}}$最小の主応力は、${\displaystyle f_{c}}$は一軸圧縮強度（負の値）であり、${\displaystyle f_{t}}$は引張強度です。圧縮対角線を形成するコンクリートの塊にはひび割れがないため、ここでは引張強度を使用できます。

固体材料中のひび割れは、非線形有限要素解析を数回繰り返すことで計算できます。有限要素法によるひび割れ幅は、積分点に表示されます。鉄筋コンクリートの場合、技術者は設計基準を用いてひび割れ間隔を計算し、積分点のひび割れ幅をひび割れ間隔に加算する必要があります。設計基準では、許容されるひび割れ幅も規定されています。ひび割れ幅は、使用性限界状態に関連する荷重組み合わせによる応力状態については、構造物の表面でのみ確認すればよいことは明らかです。

• 鉄筋コンクリート
• 固体力学
• 構造工学