降伏面

降伏面は、6次元の応力空間における5次元の面である。降伏面は通常凸型で、降伏面内の応力状態は弾性である。応力状態が表面にあるとき、材料は降伏点に到達し、塑性化したと言われる。材料がさらに変形すると、塑性変形が進むにつれて表面の形状とサイズが変化する可能性があるにもかかわらず、応力状態は降伏面上に留まる。これは、降伏面の外側にある応力状態は速度非依存塑性では許容されないためであるが、粘塑性モデルの一部では許容される。^[1]

降伏曲面は通常、3次元主応力空間（ ）、応力不変量（ ）によって張られる2次元または3次元空間、または3次元Haigh-Westergaard応力空間のバージョンで表現され（視覚化され）、3次元Haigh-Westergaard応力空間で表現されます。したがって、降伏曲面（つまり降伏関数）の方程式は次の形式で表すことができます。 ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$${\displaystyle I_{1},J_{2},J_{3}}$

• ${\displaystyle f(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=0\,}$主応力はどこにありますか。${\displaystyle \sigma_{i}}$
• ${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0\,}$ここで、はコーシー応力の第 1 主不変量であり、はコーシー応力の偏差部分の第 2 および第 3 主不変量です。${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle J_{2},J_{3}}$
• ${\displaystyle f(p,q,r)=0\,}$ここで、は とのスケールバージョンであり、 はの関数です。${\displaystyle p,q}$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle J_{2},J_{3}}$
• ${\displaystyle f(\xi,\rho,\theta)=0\,}$ここで、はおよびのスケールバージョンであり、は応力角^[2]またはロード角^{[3]である。}${\displaystyle \xi,\rho}$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle \theta}$

コーシー応力（）の第1主不変量（ ）と、コーシー応力の偏差部分（）の第2および第3主不変量（ ）は次のように定義されます。 ${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}}$${\displaystyle J_{2},J_{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&={\text{Tr}}({\boldsymbol {\sigma }})=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\J_{2}&={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {s}}:{\boldsymbol {s}}={\tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\J_{3}&=\det({\boldsymbol {s}})={\tfrac {1}{3}}({\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}):{\boldsymbol {s}}=s_{1}s_{2}s_{3}\end{aligned}}}$

ここで、（）は の主値、（）は の主値、そして ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}}$${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {s}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\tfrac {I_{1}}{3}}\,{\boldsymbol {I}}}$

ここで、は単位行列です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$

関連する一連の量（）は、通常、岩石、土壌、セラミックなどの凝集摩擦材料の降伏面を記述するために使用されます。これらは次のように定義されます。 ${\displaystyle p,q,r\,}$

${\displaystyle p={\tfrac {1}{3}}~I_{1}~:~~q={\sqrt {3~J_{2}}}=\sigma _{\mathrm {eq} }~;~~r=3\left({\tfrac {1}{2}}\,J_{3}\right)^{1/3}}$

ここで、 は等価応力です。しかし、とその結果生じる虚数が負の値になる可能性があるため、これらの量を実際に使用するのは困難です。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }}$${\displaystyle J_{3}}$${\displaystyle r}$

広く使われている別の不変量の関連セットは、円筒座標系（ヘイグ・ウェスターガード座標系）を記述する（）である。これらは次のように定義される。 ${\displaystyle \xi,\rho,\theta\,}$

${\displaystyle \xi ={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}~I_{1}={\sqrt {3}}}~p~;~~\rho ={\sqrt {2J_{2}}}={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~q~;~~\cos(3\theta )=\left({\tfrac {r}{q}}\right)^{3}={\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}}$

平面はレンデュリック平面とも呼ばれる。角度は応力角と呼ばれ、値はロードパラメータと呼ばれることもある^{[4] [5] [6]。}との関係は1951年にノヴォジロフVVによって初めて示された^{[7] 。 [8]}も参照。${\displaystyle \xi -\rho \,}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \cos(3\theta )}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle J_{2},J_{3}}$

主応力とヘイグ・ウェスターガード座標は次のように関係している。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\\cos \left(\theta -{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\\\cos \left(\theta +{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}-\theta \right)\\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}+\theta \right)\end{bmatrix}}\,.}$

文献にはロード角の異なる定義も記載されている: ^[9]

${\displaystyle \sin(3\theta )=~{\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}}$

この場合、順序付けられた主応力（ここで）は^[10]で関連付けられる。${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3} }}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\tfrac {\rho }{\sqrt {2}}}~{\begin{bmatrix}\cos \theta -{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\{\tfrac {2\sin \theta }{\sqrt { 3}}}\\-{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}-\cos \theta \end{bmatrix}}\,.}$

工学ではいくつかの異なる降伏曲面が知られていますが、最も人気のあるものを以下に示します。

トレスカ降伏条件は、アンリ・トレスカ^[11]の研究成果とされている。最大せん断応力理論（MSST）やトレスカ・ゲスト^[12] （TG）条件としても知られている。主応力に関して、トレスカ条件は次のように表現される。

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\max(|\sigma _{1}-\sigma _{2}|,|\sigma _{2}-\sigma _{3}|,|\sigma _{3}-\sigma _{1}|)=S_{sy}={\tfrac {1}{2}}S_{y}}\!}$

ここで、はせん断降伏強度、 は引張降伏強度です。 ${\displaystyle S_{sy}}$${\displaystyle S_{y}}$

図 1 は、主応力の 3 次元空間における Tresca-Guest 降伏面を示しています。これは、6 辺の無限長の角柱です。つまり、3 つの主応力がすべてほぼ等しい場合 (静水圧)、材料は、どれだけ圧縮または伸張されても弾性状態を維持します。ただし、主応力の 1 つが他の主応力よりも小さくなる (または大きくなる) と、材料はせん断を受けます。このような状況では、せん断応力が降伏限界に達すると、材料は塑性領域に入ります。図 2 は、2 次元応力空間における Tresca-Guest 降伏面を示しています。これは、平面に沿った角柱の断面です。 ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

フォン・ミーゼスの降伏条件は主応力で次のように表される。

${\displaystyle {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}=2{S_{y}}^{2}}\!}$

ここで、一軸引張における降伏強度です。 ${\displaystyle S_{y}}$

図 3 は、主応力の 3 次元空間におけるフォン ミーゼス降伏面を示しています。これは、軸が 3 つの主応力に対して等角度で傾斜した、無限長の円筒です。図 4 は、トレスカ ゲスト基準と比較した 2 次元空間におけるフォン ミーゼス降伏面を示しています。フォン ミーゼス円筒の平面での断面は、楕円形の降伏面を 生成します。${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

この基準^{[13] [14]}は、座標と静水力学ノードの関数として再定式化され、${\displaystyle 1/\gamma _{1}}$${\displaystyle 1/\gamma _{2}}$

${\displaystyle 3I_{2}'={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

は静水圧軸を中心とした2次回転面の一般的な方程式を表す。いくつかの特殊なケースは以下の通りである: ^[15]

• シリンダー（マクスウェル（1865）、フーバー（1904）、フォン・ミーゼス（1913）、ヘンキー（1924））、${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}=0}$
• コーン(ボトキン (1940)、ドラッカー・プラガー (1952)、ミロリュボフ (1953))、${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}\in ]0,1[}$
• 放物面(Burzyński (1928)、Balandin (1937)、Torre (1947))、${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}=0}$
• 対称面を中心とした楕円体（ ベルトラミ（1885））、${\displaystyle I_{1}=0}$${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}\in ]0,1[}$
• 対称面を中心と する楕円体（シュライヒャー（1926））、${\displaystyle I_{1}={\frac {1}{2}}\,{\bigg (}{\frac {1}{\gamma _{1}}}+{\frac {1}{\gamma _{2}}}{\bigg )}}$${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}<0}$
• 二枚双曲面（Burzynski (1928)、Yagn (1931)）、${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}\in ]0,\gamma _{1}[}$
• 対称面を中心とした 一枚の双曲面、、 （クーン（1980））${\displaystyle I_{1}=0}$${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}=a\,i}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$
• 一枚の双曲面（ Filonenko-Boroditsch (1960)、Gol'denblat-Kopnov (1968)、Filin (1975)）。${\displaystyle \gamma _{1,2}=b\pm a\,i}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

圧縮-張力とねじり-張力の関係は次のように計算できる。

${\displaystyle {\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}},\qquad {\bigg (}{\sqrt {3}}\,{\frac {\tau _{*}}{\sigma _{+}}}{\bigg )}^{2}={\frac {1}{(1-\gamma _{1})(1-\gamma _{2})}}}$

引張および圧縮時のポアソン比は次のようにして得られる。

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }={\frac {-1+2(\gamma _{1}+\gamma _{2})-3\gamma _{1}\gamma _{2}}{-2+\gamma _{1}+\gamma _{2}}}}$

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}}$

延性材料の場合、制限

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in {\bigg [}\,0.48,\,{\frac {1}{2}}\,{\bigg ]}}$

脆性破壊に対する回転対称基準の適用は重要である。

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in ]-1,~\nu _{+}^{\mathrm {el} }\,]}$

十分に研究されていない。^[16]

Burzyński-Yagn基準は学術目的には適しているが、実際の応用では、奇数と偶数の偏差の3番目の不変量を方程式に導入する必要がある。例: ^[17]

${\displaystyle 3I_{2}'{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

フーバー基準は、ベルトラミ楕円体と主応力空間におけるスケール化されたフォンミーゼス円筒から構成される。^{[18] [19] [20] [21 ] [22] [23]}も参照。

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }+\gamma _{1}\,I_{1}}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}>0\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}\leq 0\end{array}}\right.}$

断面内の表面間の遷移は連続的に微分可能である。この基準は、非弾性材料の挙動に関する「古典的な見方」を表す。 ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$${\displaystyle I_{1}=0}$

• 圧力に敏感な材料の挙動と${\displaystyle I_{1}>0}$${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in \left]-1,\,1/2\right]}$
• 圧力に敏感でない材料の挙動 ${\displaystyle I_{1}<0}$${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=1/2}$

フーバー基準は、張力 におけるポアソン比 についての経験的制約を伴う降伏面として使用することができ、 となります。 ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in [0.48,1/2]}$${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,0.1155]}$

修正フーバー基準、^{[24] [23]}も参照、^[25] cf. ^[26]

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}},&I_{1}>-d\,\sigma _{\mathrm {+} }\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }^{2}}{(1-\gamma _{1}-\gamma _{2})^{2}}},&I_{1}\leq -d\,\sigma _{\mathrm {+} }\end{array}}\right.}$

圧縮時のポアソン比の制限を伴うシュライヒャー楕円体で構成される

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}={\frac {1}{2}}}$

断面に -遷移を持つ円筒。パラメータと2番目の設定は、圧縮/張力関係に従う。 ${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle I_{1}=-d\,\sigma _{\mathrm {+} }}$${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$${\displaystyle \gamma _{2}<0}$

${\displaystyle d={\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}}\geq 1}$

修正 Huber 基準は、Huber 基準と同様に測定データに適合します。設定するには、およびに従います。 ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }=0.48}$${\displaystyle \gamma _{1}=0.0880}$${\displaystyle \gamma _{2}=-0.0747}$

フーバー基準と修正フーバー基準は、フォンミーゼス基準よりも優先されるべきである。なぜなら、領域ではより安全な結果が得られるからである。実際の応用では、これらの基準では偏差の第3不変量を考慮する必要がある。^[23]${\displaystyle I_{1}>\sigma _{\mathrm {+} }}$${\displaystyle I_{3}'}$

モール・クーロン降伏（破壊）基準はトレスカ基準に似ていますが、異なる引張降伏強度と圧縮降伏強度を持つ材料に対する追加の規定があります。このモデルは、コンクリート、土壌、または粒状材料をモデル化するためによく使用されます。モール・クーロン降伏基準は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\frac {m+1}{2}}\max {\Big (}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{2})~,~~|\sigma _{1}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{3})~,~~|\sigma _{2}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{2}+\sigma _{3}){\Big )}=S_{yc}}$

どこ

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}};K={\frac {m-1}{m+1}}}$

パラメータと は、それぞれ一軸圧縮と引張における材料の降伏（破壊）応力です。 の場合には、式は Tresca の条件に簡約されます。 ${\displaystyle S_{yc}}$${\displaystyle S_{yt}}$${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$

図 5 は、主応力の 3 次元空間におけるモール・クーロン降伏面を示しています。これは円錐柱であり、円錐面の傾斜角を決定します。図 6 は、2 次元応力空間におけるモール・クーロン降伏面を示しています。図 6 では、式の および にそれぞれと が使用されています。これは、この円錐柱の 平面における断面です。図 6 では、式の Syc と Syt にそれぞれ Rr と Rc が使用されています。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle R_{r}}$${\displaystyle R_{c}}$${\displaystyle S_{yt}}$${\displaystyle S_{yc}}$${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

ドラッカー・プラガー降伏基準は、フォン・ミーゼス降伏基準に似ていますが、引張降伏強度と圧縮降伏強度が異なる材料を扱うための規定があります。この基準は、垂直応力とせん断応力の両方が破壊を決定するコンクリートに最もよく使用されます。ドラッカー・プラガー降伏基準は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {m-1}{2}}{\bigg )}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})+{\bigg (}{\frac {m+1}{2}}{\bigg )}{\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}=S_{yc}}$

どこ

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}}}$

および は、それぞれ圧縮と引張における一軸降伏応力です。 の場合には、この式はフォン・ミーゼス方程式に簡約されます。 ${\displaystyle S_{yc}}$${\displaystyle S_{yt}}$${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$

図 7 は、主応力の 3 次元空間における Drucker–Prager 降伏面を示しています。これは正円錐です。図 8 は、2 次元空間における Drucker–Prager 降伏面を示しています。楕円形の弾性領域は、 の平面上における円錐の断面です。モール–クーロン降伏面と交差する頂点の数は、さまざまです。1 つの選択肢は、モール–クーロン降伏面と線の両側の 3 つの頂点で交差することですが、通常は慣例により、圧縮領域内の頂点が選択されます。^[27]もう 1 つの選択肢は、モール–クーロン降伏面と両軸上の 4 つの頂点で交差すること (一軸フィット)、または対角線上の 2 つの頂点で交差すること(二軸フィット) です。^{[28] Drucker-Prager 降伏基準は}、材料の凝集力と摩擦角によって表現されることもよくあります。 ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$${\displaystyle \sigma _{1}=-\sigma _{2}}$${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}}$

ブレスラー・ピスター降伏条件は、 3つのパラメータを使用するドラッカー・プラガー降伏条件の拡張であり、静水圧圧縮下で降伏する材料に対する追加条件があります。主応力の観点から、この降伏条件は次のように表すことができます。

${\displaystyle S_{yc}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}-c_{0}-c_{1}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-c_{2}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}}$

ここで、 は材料定数です。追加のパラメータは、軸に垂直な方向から見たときに降伏面を楕円形の断面にします。 が一軸圧縮における降伏応力、が一軸引張における降伏応力、 が二軸圧縮における降伏応力である場合、パラメータは次のように表すことができます。 ${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle \sigma _{c}}$${\displaystyle \sigma _{t}}$${\displaystyle \sigma _{b}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}=&\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {4\sigma _{b}^{2}-\sigma _{b}(\sigma _{c}+\sigma _{t})+\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{2}=&\left({\cfrac {1}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {\sigma _{b}(3\sigma _{t}-\sigma _{c})-2\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{0}=&c_{1}\sigma _{c}-c_{2}\sigma _{c}^{2}\end{aligned}}}$

ウィリアム・ワーンケ降伏基準は、モール・クーロン降伏基準の 3 パラメータ平滑化バージョンであり、形式的にはドラッカー・プラガー降伏基準やブレスラー・ピスター降伏基準と類似しています。

降伏基準は関数形式を持つ。

${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0~.}$

しかし、ヘイグ・ウェスターガード座標では次のように表現されることが多い。

${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0~.}$

軸に沿って見ると、表面の断面は滑らかな三角形になります (モール・クーロンとは異なります)。ウィリアム・ワーンケ降伏面は凸型で、その表面のすべての点に一意で明確に定義された 1 次導関数と 2 次導関数があります。そのため、ウィリアム・ワーンケ モデルは計算的に堅牢であり、さまざまな粘着摩擦材料に使用されてきました。

一軸引張応力に関して正規化すると、 応力角の関数としてのポドゴルスキー基準^[29]は次のようになる。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }=\sigma _{+}}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})}{\Omega _{3}(0,\beta _{3},\chi _{3})}},}$

平面 における三角対称の形状関数${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(\pi \beta _{3}-\arccos[\,\sin(\chi _{3}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 3\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{3}\in [0,\,1],\quad \chi _{3}\in [-1,\,1].}$

これには、フォン・ミーゼス（- 平面の円、、）、トレスカ（正六角形、、）、マリオット（正三角形、、）、イヴレフ^[30]（正三角形、、）の基準、および を伴うサイール^[31]（オットーゼン基準^[32]）の立方基準、および を伴うカプルソ基準^{[30] [31] [33]}の等角（正三角形）六角形が含まれます。フォン・ミーゼス-トレスカ遷移^[34]は、 で続きます。シュミット-イシュリンスキー基準（正六角形）を含むヘイソーンスウェイト基準^{[23] [35] [36]}の等角（正三角形）六角形は、ポドゴルスキー基準では説明できません。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \beta _{3}=[0,\,1]}$${\displaystyle \chi _{3}=0}$${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$${\displaystyle \beta _{3}=\{1,0\}}$${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$${\displaystyle \chi _{3}=[0,1]}$

ローゼンダール基準^{[37] [38] [39]}は

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})}{\Omega _{6}(0,\beta _{6},\chi _{6})}},}$

平面 における六角形対称の形状関数を持つ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(\pi \beta _{6}-\arccos[\,\sin(\chi _{6}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 6\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{6}\in [0,\,1],\quad \chi _{6}\in [-1,\,1].}$

これには、フォン・ミーゼス（円、、）、トレスカ（正六角形、、）、シュミット-イシュリンスキー（正六角形、、）、ソコロフスキー（正十二角形、、）の基準、および または を伴う双三次基準^{[23] [37] [40] [41]} と、を伴うユウ^[42]の統一降伏基準の等角十二角形が含まれます。イシュリンスキー-イヴレフ基準（正十二角形）を含む六方対称性の乗法的仮説基準^[23]の等角十二角形は、ローゼンダール基準では説明できません。 ${\displaystyle \beta _{6}=[0,\,1]}$${\displaystyle \chi _{6}=0}$${\displaystyle \beta _{6}=\{1,0\}}$${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$${\displaystyle \beta _{6}=\{0,1\}}$${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$${\displaystyle \beta _{6}=1/2}$${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$${\displaystyle \beta _{6}=0}$${\displaystyle \beta _{6}=1}$${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$

PodgórskiとRosendahlの基準は、追加の外輪郭や平面交差のない主応力空間内の単一の表面を記述します。数値的な問題を回避するために、実部関数を形状関数に導入できることに留意してください。^[37]の形式での一般化は、理論的調査に関連しています。 ${\displaystyle Re}$${\displaystyle Re(\Omega _{3})}$${\displaystyle Re(\Omega _{6})}$${\displaystyle \Omega _{3n}}$

基準の圧力感受性拡張は線形置換によって得られる^[23]${\displaystyle I_{1}}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }\rightarrow {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\qquad {\mbox{with}}\qquad \gamma _{1}\in [0,\,1[,}$

これは、金属、鋳鉄、合金、コンクリート、非強化ポリマーなど、多くの用途に十分です。

ビゴニ・ピッコロアズ降伏条件^{[43] [44]}は、7つのパラメータ面によって定義される。

${\displaystyle f(p,q,\theta )=F(p)+{\frac {q}{g(\theta )}}=0,}$

「子午線」関数は どこにありますか${\displaystyle F(p)}$

${\displaystyle F(p)=\left\{{\begin{array}{ll}-Mp_{c}{\sqrt {(\phi -\phi ^{m})[2(1-\alpha )\phi +\alpha ]}},&\phi \in [0,1],\\+\infty ,&\phi \notin [0,1],\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \phi ={\frac {p+c}{p_{c}+c}},}$

圧力感度を記述する「偏差」関数である ^[45]${\displaystyle g(\theta )}$

${\displaystyle g(\theta )={\frac {1}{\cos[\beta {\frac {\pi }{6}}-{\frac {1}{3}}\cos ^{-1}(\gamma \cos 3\theta )]}},}$

降伏のロード依存性を記述する。7つの非負の材料パラメータ:

${\displaystyle \underbrace {M>0,~p_{c}>0,~c\geq 0,~0<\alpha <2,~m>1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {F(p)}},~~~\underbrace {0\leq \beta \leq 2,~0\leq \gamma <1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {g(\theta )}},}$

子午線と偏差断面の形状を定義します。

この基準は、静水圧引張と圧縮の両方で閉じられ、滴のような形状を持つ滑らかな凸面を表し、特に摩擦材料や粒状材料の記述に適しています。この基準は、角のある表面の場合にも一般化されています。^[46]

強度基準の定式化のために、応力角度

${\displaystyle \cos 3\theta ={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}{\frac {I_{3}'}{I_{2}'^{\frac {3}{2}}}}}$

使用できます。

等方性材料挙動の次の基準

${\displaystyle (3I_{2}')^{3}{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}=\displaystyle \left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\right)^{6-l-m}\,\left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}}\right)^{l}\,\sigma _{\mathrm {eq} }^{m}}$

適切なパラメータ値が選択される限り、他のよく知られた、あまり一般的ではない基準もいくつか含まれています。

パラメータと は、 -平面における表面の形状を記述する。これらは制約を受ける。 ${\displaystyle c_{3}}$${\displaystyle c_{6}}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle c_{6}={\frac {1}{4}}(2+c_{3}),\qquad c_{6}={\frac {1}{4}}(2-c_{3}),\qquad c_{6}\geq {\frac {5}{12}}\,c_{3}^{2}-{\frac {1}{3}},}$

これらは凸性条件から導かれる。3番目の制約のより正確な定式化は^{[47] [48]で提案されている。}

パラメータと は、降伏面と静水圧軸 (主応力空間の空間対角線) の交点の位置を表します。これらの交点は静水圧ノードと呼ばれます。静水圧で破損しない材料 (鋼鉄、真鍮など) の場合は となります。静水圧で破損する材料 (硬質フォーム、セラミック、焼結材料など) の場合は となります。 ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,\,1[}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle \gamma _{2}\in [0,\,\gamma _{1}[}$${\displaystyle \gamma _{2}<0}$

整数乗およびは子午線 の曲率を表します。 の子午線は直線で、の子午線は放物線です。 ${\displaystyle l\geq 0}$${\displaystyle m\geq 0}$${\displaystyle l+m<6}$${\displaystyle l=m=0}$${\displaystyle l=0}$

異方性材料の場合、適用されたプロセス (例: 圧延) の方向に応じて機械的特性が変化するため、異方性降伏関数の使用が重要です。1989 年以来、Frederic Barlat は、塑性異方性の構成モデル化のための降伏関数ファミリーを開発してきました。その中でも、Yld2000-2D 降伏基準は、さまざまなシート メタル (例: アルミニウム合金、高度な高強度鋼) に適用されています。Yld2000-2D モデルは、応力テンソルの 2 つの線形変換に基づく非 2 次タイプの降伏関数です。

${\displaystyle \Phi =\Phi '(X')+\Phi ''(X'')=2{{\bar {\sigma }}^{a}}}$ :

ここで、は有効応力です。およびは変換された行列です（線形変換CまたはLによって）。${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X''}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}X'=C'.s=L'.\sigma \\X''=C''.s=L''.\sigma \end{array}}}$

ここで、s は偏差応力テンソルです。

X'とX”の主値に対して、モデルは次のように表現できます。

${\displaystyle {\begin{array}{l}\Phi '={\left|{{{X'}_{1}}+{{X'}_{2}}}\right|^{a}}\\\Phi ''={\left|{2{{X''}_{2}}+{{X''}_{1}}}\right|^{a}}+{\left|{2{{X''}_{1}}+{{X''}_{2}}}\right|^{a}}\end{array}}\ }$

そして：

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L'}_{11}}\\{{L'}_{12}}\\{{L'}_{21}}\\{{L'}_{22}}\\{{L'}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{2/3}&0&0\\{-1/3}&0&0\\0&{-1/3}&0\\0&{-2/3}&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{1}}\\{\alpha _{2}}\\{\alpha _{7}}\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L''}_{11}}\\{{L''}_{12}}\\{{L''}_{21}}\\{{L''}_{22}}\\{{L''}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{-2}&2&8&{-2}&0\\1&{-4}&{-4}&4&0\\4&{-4}&{-4}&4&0\\{-2}&8&2&{-2}&0\\0&0&0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{3}}\\{\alpha _{4}}\\{\alpha _{5}}\\{\alpha _{6}}\\{\alpha _{8}}\end{array}}\right]}$

ここで、一連の実験で識別される Barlat の Yld2000-2D モデルの 8 つのパラメーターです。 ${\displaystyle \alpha _{1}...\alpha _{8}}$