構成方程式

物理学および工学において、構成方程式または構成関係とは、物質、実体、または場に固有の、2つ以上の物理量（特に運動量と運動学的量に関連する運動量）間の関係であり、通常は印加された場や力などの外部刺激に対するその応答を近似するものです。これらは、物理法則を支配する他の方程式と組み合わせて、物理的な問題を解決します。たとえば、流体力学ではパイプ内の流体の流れ、固体物理学では電場に対する結晶の応答、構造解析では印加された応力または荷重とひずみまたは変形との関係などです。

構成方程式の中には、単に現象論的なものもあれば、第一原理から導出されるものもあります。一般的な近似構成方程式は、電気伝導率やばね定数など、材料の特性とみなされるパラメータを用いた単純な比例関係として表されることがよくあります。しかし、材料の方向依存性を考慮する必要がある場合が多く、スカラーパラメータはテンソルに一般化されます。構成関係は、材料の応答速度や非線形挙動を考慮するためにも修正されます。^{[ 1 ]}線形応答関数の記事を参照してください。

物質の機械的性質

最初の構成方程式（構成法則）はロバート・フックによって開発され、フックの法則として知られています。これは線形弾性材料の場合を扱います。この発見の後、この種の方程式は、この例ではしばしば「応力-ひずみ関係」と呼ばれますが、「構成仮定」または「状態方程式」とも呼ばれ、一般的に使用されるようになりました。ウォルター・ノールは構成方程式の使用を発展させ、その分類と不変性の要件、制約、および「材料」、「等方性」、「異方性」などの用語の定義の役割を明確にしました。応力速度= $f$ (速度勾配、応力、密度) の形式の「構成関係」のクラスは、1954 年にクリフォード・トゥルーズデルの下でウォルター・ノールが行った博士論文の主題でした。^[²^]

現代の凝縮系物理学では、構成方程式が重要な役割を果たします。線形構成方程式と非線形相関関数を参照してください。^{[ 3 ]}

定義

どこ：

Fは、面積

A

に加わる力の成分（平行または垂直）である。

L

と

V

は寸法（長さ、体積）を表します。

ΔL

、

Δx 、

および

ΔV は

、加えられた力による寸法の変化である

。

固体の変形

摩擦

摩擦は複雑な現象である。巨視的に見ると、2つの材料の界面における摩擦力 $F f は、$ 2つの界面間の接触点における反力 $R$ に比例するものとしてモデル化できる。ただし、この摩擦係数 $μ f$ は材料の組み合わせによって異なる。

$F_{\text{f}}=\mu _{\text{f}}R.$

これは、静止摩擦（静止している2つの物体が自然に滑るのを防ぐ摩擦）、動摩擦（互いに擦れ合ったり滑ったりする2つの物体間の摩擦）、または転がり摩擦（滑りを防ぐ摩擦力だが、丸い物体にトルクを及ぼす）に適用できる。

ストレスとひずみ

線形材料の応力-ひずみ構成関係は、一般にフックの法則として知られています。最も単純な形では、この法則は、ばね定数（または弾性定数） $kを$ スカラー方程式で定義し、引張力/圧縮力が伸長（または収縮）変位 $x$ に比例することを示しています。

$F_{i}=-kx_{i}$

つまり、材料は線形的に応答する。同様に、応力 $σ$ 、ヤング率 $E$ 、およびひずみ $ε$ (無次元) を用いて表すと次のようになる。

$\sigma =E\,\varepsilon$

一般に、固体を変形させる力は、材料の表面に垂直な力（垂直力）または接線方向の力（せん断力）のいずれかであり、これは応力テンソルを用いて数学的に記述することができる。

$\sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\,\rightleftharpoons \,\varepsilon _{ij}=S_{ijkl}\,\sigma _{kl}$

ここで、 $C$ は弾性テンソル、 $Sは$ コンプライアンステンソルである。

固体変形

弾性材料の変形にはいくつかの種類があります。^{[ 4 ]}

プラスチック

加えられた力が、応力（または弾性ひずみ）が降伏点と呼ばれる臨界値に達すると、材料に回復不能な変形を引き起こす。

伸縮性のある

この素材は変形後、元の形状に戻る。

粘弾性: 時間依存の抵抗成分が大きく、無視できない場合。ゴムやプラスチックはこの性質を持ち、フックの法則を満たさない。実際、弾性ヒステリシスが発生する。
非弾性: 材料が弾性に近い場合でも、加えられた力によって時間依存の抵抗力（つまり、伸び／圧縮の変化率に加えて、伸び／圧縮の変化率にも依存する力）が加わることがあります。金属やセラミックスはこの特性を持っていますが、通常は無視できる程度です。ただし、摩擦による発熱（機械の振動やせん断応力など）が発生する場合は、無視できないほど大きくなります。
超弾性: 加えられた力は、ひずみエネルギー密度関数に従って材料に変位を引き起こす。

衝突

物体Aが別の物体Bと衝突した後の相対的な分離速度 $v は$ 、ニュートンの実験的衝撃法則で定義される反発係数によって、相対的な $接近速度$ $v$ と関連付けられます。^[⁵^]

$e={\frac {|\mathbf {v} |_{\text{分離}}}{|\mathbf {v} |_{\text{接近}}}}$

これは、衝突がAとBの表面での相互作用を伴うため、AとBの材料によって異なります。通常は $0 \leq e \leq 1$ で、 $e = 1$ は完全弾性衝突、 $e = 0$ は完全非弾性衝突です。超弾性（または爆発的）衝突の場合は、 $e \geq 1に$ なることもあります。

流体の変形

抗力方程式は、断面積 $A$ の物体が密度 $ρ$ の流体中を速度 $v$ （流体に対する相対速度）で移動する際に働く抗力 $D$ を表す。

$D={\tfrac {1}{2}}c_{d}\rho Av^{2}$

ここで、抗力係数（無次元） $c d は$ 、物体の形状と流体と物体の界面における抗力に依存します。

粘度 $μ$ のニュートン流体の場合、せん断応力 $τは$ ひずみ速度（横方向流速勾配） $\partialu$ $/$ $\partialy$ （単位 $：$ s⁻¹ ）^と線形関係にある。均一せん断流では：

$\tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}},$

ここで、 $u (y)$ は流れの横方向（横断方向） $y$ における流速 $u$ の変化を表す。一般に、ニュートン流体の場合、せん断応力テンソルの要素 $τij$ $と$ 流体の変形との関係は次のように表される。

$\tau _{ij}=2\mu \left(e_{ij}-{\frac {1}{3}}\Delta \delta _{ij}\right)$

場所: ^{[ 6 ]}

δ ij

はクロネッカーデルタです。

Δは

体積ひずみ速度（または膨張速度）である。

\Delta =\sum _{k}e_{kk}={\text{div}}\;\mathbf {v} ,

e ij

はひずみ速度テンソルの成分である

e_{ij}={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\tfrac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)

ここで、

v i は

対応するx

i

座標方向における流速ベクトルの成分である。

理想気体の法則は $、圧力p$ と体積 $V$ が気体のモル数 $n$ を介して温度 $T$ と関係しているという意味で、構成関係である。

$pV=nRT$

ここで、 $R$ は気体定数（J⋅K ⁻¹ ⋅mol ⁻¹）である。

電磁気

電磁気学および関連分野における構成方程式

古典物理学と量子物理学の両方において、系の正確なダイナミクスは連立微分方程式の集合を形成し、統計力学のレベルであっても、ほとんどの場合、厳密に解くには複雑すぎる。電磁気学の文脈では、このことは自由電荷と自由電流のダイナミクス（マクスウェル方程式に直接含まれる）だけでなく、束縛電荷と束縛電流のダイナミクス（構成関係を介してマクスウェル方程式に含まれる）にも当てはまる。そのため、通常は様々な近似手法が用いられる。

例えば、実際の物質においては、電荷の時間的・空間的応答を決定するために、ボルツマン方程式、フォッカー・プランク方程式、ナビエ・ストークス方程式などの複雑な輸送方程式を解く必要があります。例えば、磁気流体力学、流体力学、電気流体力学、超伝導、プラズマモデリングなどを参照してください。これらの問題を扱うための物理体系全体が開発されています。例えば、線形応答理論、グリーン・久保関係、グリーン関数（多体理論）などを参照してください。

これらの複雑な理論は、誘電率、透磁率、導電率など、さまざまな材料の電気的応答を記述する構成関係の詳細な公式を提供する。

電磁気学における計算（すなわち、マクスウェルの巨視的方程式の適用）を行う前に、変位場 $D$ と $E$ 、および磁場 $H$ と $B$ の関係を明確にする必要があります。これらの式は、印加された場に対する束縛電荷と電流の応答を規定するものであり、構成関係と呼ばれます。

補助場 $D$ と $H$ 、および場 $Eと$ $B$ の間の構成関係を決定するには、まず補助場自体を定義することから始める。 ${\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)\\[4pt]\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}$

ここで、 $P$ は分極場、 $M$ は磁化場であり、それぞれ微視的な束縛電荷と束縛電流によって定義されます。MとPの計算方法に入る前に、 $次$ $の$ 特殊なケースを検討しておくと便利です。

磁性材料または誘電体材料を使用

磁性体や誘電体が存在しない場合、構成関係は単純である。

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ,$

ここで $、$ $ε₀$ と $μ₀ は$ それぞれ真空の誘電率と真空の透磁率と呼ばれる2つの普遍定数である。

等方性線形材料

（等方性^{[ 7 ]}）線形材料では、 $Pは$ $E$ に比例し、 $Mは$ $B$ に比例するため、構成関係も単純明快である。分極 $P$ と磁化 $M$ に関して、それらは次のようになる。

$\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,$

ここで $、$ $χe$ と $χm は$ それぞれ、ある材料の電気感受率と磁気感受率である。Dと $Hを用いて表すと$ $、$ 構成関係は次のようになる。

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B} ,$

ここで $、ε$ と $μは$ 定数（材料に依存する）であり、それぞれ材料の誘電率と透磁率と呼ばれる。これらは、感受率と次の関係にある。

${\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{0}}}=\varepsilon _{r}=\chi _{e}+1,\quad {\frac {\mu }{\mu _{0}}}=\mu _{r}=\chi _{m}+1.$

一般的なケース

実際の材料の場合、構成関係は近似的に線形である場合を除き、線形ではありません。第一原理から構成関係を計算するには、与えられた $E$ と $Bから$ $P$ と $M が$ どのように生成されるかを決定する必要があります。^[^{注 1}^]これらの関係は、経験的（直接測定に基づく）または理論的（統計力学、輸送理論、または凝縮系物理学の他のツールに基づく）である場合があります。使用される詳細は、検討対象の問題に必要なレベルに応じて、巨視的または微視的である場合があります。

一般的に、構成関係は通常、次のように記述できます。 $\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mu ^{-1}\mathbf {B}$ しかし、 $ε$ と $μは$ 一般に単純な定数ではなく、 $E$ 、 $B$ 、位置、時間の関数であり、テンソル的な性質を持つ。例は以下のとおりである。

分散と吸収は $、 ε$ と $μが$ 周波数の関数である場合に発生します。（因果律により、物質が非分散性であることはできません。例えば、クラマース・クローニッヒの関係式を参照してください。）また、場が同位相である必要はなく、その結果、 $ε$ と $μは$ 複素数になります。これも吸収につながります。
非線形性、ここで $ε$ と $μは$ $E$ と $B$ の関数である。
$ε$ と $μが$ 2階テンソルである場合に発生する異方性（複屈折や二色性など）、 $D_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}E_{j},\quad B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}.$
$P$ と $Mの$ $E$ と $B$ に対する依存性は、他の場所や時間で現れます。これは、空間的不均一性、例えばドメイン構造、ヘテロ構造、液晶、あるいは最も一般的なのは、複数の材料が異なる空間領域を占めている状況などが原因である可能性があります。また、時間的に変化する媒体やヒステリシスが原因の場合もあります。このような場合、 $P$ と $Mは$ 次のように計算できます。^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} ${\begin{aligned}\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{e}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {E} \right)\,\mathbf {E} \left(\mathbf {r} ',t'\right)\\[4pt]\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{m}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {B} \right)\,\mathbf {B} \left(\mathbf {r} ',t'\right),\end{aligned}}$ ここでは、誘電率と透磁率の関数がより一般的な電気感受率と磁気感受率の積分に置き換えられています。^{[ 10 ]}均質な材料では、他の場所への依存性は空間分散として知られています。

これらの例のバリエーションとして、一般に材料は双異方性であり、 $D$ と $Bは$ 追加の結合定数 $ξ$ と $ζを介して$ $E$ と $H$ の両方に依存します。^[¹¹^] $\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E} .$

実際には、特定の状況下では材料特性の影響が無視できるほど小さい場合があり、小さな影響は無視できます。例えば、低電界強度では光学的非線形性は無視できます。周波数が狭い帯域幅に制限されている場合は、材料分散は重要ではありません。材料が透明な波長では、材料吸収は無視できます。また、有限の導電率を持つ金属は、マイクロ波またはそれ以上の波長では、無限の導電率を持つ完全な金属として近似されることがよくあります（表皮深さがゼロの硬い障壁を形成します）。

メタマテリアルやフォトニック結晶などの一部の人工材料は、誘電率と透磁率をカスタマイズできるように設計されている。

構成関係の計算

物質の構成方程式を理論的に計算することは、理論凝縮系物理学および材料科学において一般的で重要かつ時に困難な課題である。一般に、構成方程式は、ローレンツ力を介して分子が局所場にどのように応答するかを計算することによって理論的に決定される。結晶の格子振動や結合力など、他の力もモデル化する必要がある場合がある。すべての力を含めることで分子に変化が生じ、それを用いて局所場の関数として圧力 $P$ と $質量Mを計算する。$

局所磁場は、近傍物質の分極や磁化によって生じる磁場によって、印加磁場とは異なるものとなる。この影響もモデル化する必要がある。さらに、実際の物質は連続体ではなく、原子スケールで局所磁場は大きく変化する。連続体近似を行うためには、適切な体積で磁場を平均化する必要がある。

これらの連続体近似では、凝縮系物理学に適用される量子場理論などの量子力学的解析が必要となる場合が多い。例えば、密度汎関数理論、グリーン・久保関係、グリーン関数などを参照されたい。

別の均質化手法（コングロマリットやラミネートなどの材料を扱う伝統から発展したもの）は、不均質な材料を均質な有効媒質で近似することに基づいています^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} （不均質性のスケールよりもはるかに大きな波長の励起に対して有効）。 ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}

多くの実際の材料の連続体近似特性の理論的モデリングは、実験的測定にも依存することが多い。^{[ 18 ]}例えば、低周波数での絶縁体の $εは$ 平行平板コンデンサにすることで測定でき、光周波数での $εは$ エリプソメトリーで測定されることが多い。

物質の熱電特性と電磁特性

これらの構成方程式は、固体物理学の一分野である結晶学でよく使用されます。^[¹⁹^]

フォトニクス

屈折率

媒質の（絶対）屈折率 $n （無次元）は、$ 幾何光学および物理光学において本質的に重要な特性であり、真空中の光速 $c 0$ と媒質中の光速 $c$ の比として定義される。

$n={\frac {c_{0}}{c}}={\sqrt {\frac {\varepsilon \mu }{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}={\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}$

ここで、 $ε$ は誘電率、 $ε r は$ 媒質の比誘電率であり、同様に $μ$ は透磁率、 $μ r は$ 媒質の比透磁率である。真空の誘電率は $ε 0$ であり、真空の透磁率は $μ 0$ である。一般に、 $n$ (および $ε r$ ) は複素数である。

相対屈折率は、2つの屈折率の比として定義されます。絶対屈折率は1つの材料に対するものであり、相対屈折率はあらゆる界面の組み合わせに適用されます。

$n_{AB}={\frac {n_{A}}{n_{B}}}$

物質中の光速

この定義の結果として、物質中の光の速度は

$c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}$

真空の特殊な場合。 $ε = ε 0$ および $μ = μ 0$ 、

$c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$

圧電光学効果

圧電光学効果は、固体内の応力 $σ$ と誘電率 $aを関連付け、これらは圧電光学係数$ $Π$ （単位 K ^-1）と呼ばれる4階テンソルによって結合されます。

$a_{ij}=\Pi _{ijpq}\sigma _{pq}$

輸送現象

定義

決定的な法律

物質の輸送、あるいは物質の性質をほぼ同じように記述する法則がいくつか存在する。いずれの場合も、それらを言葉で表すと次のようになる。

流量（密度）は勾配に比例し、比例定数は物質固有の値である。

一般的に、定数は、材料の方向依存性を考慮するために、2階テンソルに置き換える必要がある。

注記

↑自由電荷と自由電流はローレンツ力法則に従って電場に反応し、この反応は力学を用いて基本的なレベルで計算されます。束縛電荷と束縛電流の反応は、磁化と分極の概念に含まれるより大まかな方法を用いて扱われます。問題によっては、自由電荷を全く考慮しないという選択肢もあります。

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[bound_free-8] 自由電荷と自由電流はローレンツ力法則に従って電場に反応し、この反応は力学を用いて基本的なレベルで計算されます。束縛電荷と束縛電流の反応は、磁化と分極の概念に含まれるより大まかな方法を用いて扱われます。問題によっては、自由電荷を全く考慮しないという選択肢もあります。

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[Noll-2] トゥルーズデルの著書『ウォルター・ノールの自然化と神格化』を参照。ノールの著書および両著者による古典的な論文も参照：トゥルーズデル、クリフォード；ノール、ウォルター（2004）。「序文」（1965年版『物理学百科事典』第3巻第3部として初出）。アントマン、スチュアート・S（編）『非線形場力学理論（第3版）』シュプリンガー、p. xiii。ISBN 3-540-02779-3。

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