ベルトラミのアイデンティティ

ベルトラミ恒等式は、エウジェニオ・ベルトラミにちなんで名付けられ、変分法におけるオイラー・ラグランジュ方程式の特殊なケースです。

オイラー・ラグランジュ方程式は、次の形の 作用関数を極値化するのに役立つ。

${\displaystyle I[u]=\int _{a}^{b}L[x,u(x),u'(x)]\,dx\,,}$

ここで、およびは定数であり、である。^[1]${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle u'(x)={\frac {du}{dx}}}$

ならば、オイラー・ラグランジュ方程式はベルトラミ恒等式に帰着する。 ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0}$

ここでCは定数である。^{[2] [注1]}

連鎖律によれば、 Lの導関数は

${\displaystyle {\frac {dL}{dx}}={\frac {\partial L}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial L}{\partial u}}{\frac {du}{dx}}+{\frac {\partial L}{\partial u'}}{\frac {du'}{dx}}\,.}$

なぜなら、私たちは書く ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dx}}={\frac {\partial L}{\partial u}}u'+{\frac {\partial L}{\partial u'}}u''\,.}$

オイラー・ラグランジュ方程式から 次の式が得られます。${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial u}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial u}}={\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u'}}\,}$

これを上記の式に代入すると、 ${\displaystyle {\frac {dL}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dx}}=u'{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u'}}+u''{\frac {\partial L}{\partial u'}}\,.}$

積の法則により、右辺は

${\displaystyle {\frac {dL}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}\right)\,.}$

両辺を積分し、両項を一方に置くと、ベルトラミ恒等式が得られる 。

${\displaystyle L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}=C\,.}$

ベルトラミ恒等式の応用例としては、最速降下線問題が挙げられる。これは、積分を最小にする 曲線を求める問題である。${\displaystyle y=y(x)}$

${\displaystyle I[y]=\int _{0}^{a}{\sqrt {{1+y'^{\,2}} \over y}}dx\,.}$

積分関数

${\displaystyle L(y,y')={\sqrt {{1+y'^{\,2}} \over y}}}$

は積分の変数に明示的に依存しないので、ベルトラミ恒等式が適用される。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle L-y'{\frac {\partial L}{\partial y'}}=C\,.}$

置き換えて簡略化すると、 ${\displaystyle L}$

${\displaystyle y(1+y'^{\,2})=1/C^{2}~~{\text{(constant)}}\,,}$

これはパラメトリック方程式の形で結果を出すことで解くことができる。

${\displaystyle x=A(\phi -\sin \phi )}$

${\displaystyle y=A(1-\cos \phi )}$

は上記の定数の半分、は変数です。これらはサイクロイドのパラメトリック方程式です。^[3]${\displaystyle A}$${\displaystyle {\frac {1}{2C^{2}}}}$${\displaystyle \phi }$

長さ の均一な密度を持つ弦が、高さが等しく、距離 の 2 点から吊り下げられているとします。弧の長さの公式により、 は弦の経路、および は境界条件です。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle l}$${\displaystyle D}$$${\displaystyle l=\int _{S}dS=\int _{s_{1}}^{s_{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx,}$$${\displaystyle S}$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{2}}$

曲線は位置エネルギーを最小化する必要があり 、 重力の 制約を受けます 。 $${\displaystyle U=\int _{S}g\mu y\cdot dS=\int _{s_{1}}^{s_{2}}g\mu y{\sqrt {1+y'^{2}}}dx,}$$$${\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx=l,}$$${\displaystyle g}$

独立変数は積分関数に現れないので、ベルトラミ恒等式は弦の経路を分離可能な1階微分方程式として表現するために使用できる。${\displaystyle x}$

$${\displaystyle L-y\prime {\frac {\partial L}{\partial y\prime }}=\mu gy{\sqrt {1+y\prime ^{2}}}+\lambda {\sqrt {1+y\prime ^{2}}}-\left[\mu gy{\frac {y\prime ^{2}}{\sqrt {1+y\prime ^{2}}}}+\lambda {\frac {y\prime ^{2}}{\sqrt {1+y\prime ^{2}}}}\right]=C,}$$ ここで、ラグランジュ乗数です。 ${\displaystyle \lambda }$

微分方程式を次のように簡略化することができます。 $${\displaystyle {\frac {g\rho y-\lambda }{\sqrt {1+y'^{2}}}}=C.}$$

この方程式を解くと双曲余弦が得られる。ここで、は積分から得られる2番目の定数である。 ${\displaystyle C_{0}}$

$${\displaystyle y={\frac {C}{\mu g}}\cosh \left[{\frac {\mu g}{C}}(x+C_{0})\right]-{\frac {\lambda }{\mu g}}.}$$

3 つの未知数、、 は、弦の端点 と弧の長さ の制約を使用して解くことができますが、閉じた形式の解を得るのは非常に難しいことがよくあります。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle l}$