1階偏微分方程式

数学において、一次偏微分方程式は、変数の未知の関数の一次導関数を含む偏微分方程式です。方程式は、の偏導関数を表すために下付き表記法 を使用した形式^[1]をとります。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle n\geq 2}$ $${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0,}$$${\displaystyle u}$

このような方程式は、双曲型偏微分方程式の特性面の構築、変分法、いくつかの幾何学的問題、および移流方程式などの特性法が解法に含まれる気体力学の簡単なモデルで発生します。単一の 1 次偏微分方程式の解の族が見つかった場合、その族の解のエンベロープを形成することによって追加の解を得ることができます。関連する手順では、常微分方程式の族を積分することによって一般解を得ることができます。

1階偏微分方程式の一般解は、任意の関数を含む解である。しかし、独立変数の数と同じ数の任意の定数を持つ1階偏微分方程式の解は、完全積分と呼ばれる。次のnパラメータの解の族

${\displaystyle \phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},u,a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$

は完全積分である。^[2]以下の積分の種類に関する議論は、アンドリュー・フォーサイス著の教科書『微分方程式に関する論文』（第9章、第6版、1928年）に基づいている。^[3]${\displaystyle {\text{det}}|\phi _{x_{i}a_{j}}|\neq 0}$

解は2次元または3次元では比較的単純な方法で記述され、主要な概念は高次元に簡単に拡張されます。3次元の一般的な1階偏微分方程式は、次の形式を持ちます。

${\displaystyle F(x,y,z,u,p,q,r)=0,\,}$

ここで、3つの任意の定数を含む完全積分を仮定する。これから、微分によって3つの関係式を得ることができる。 ${\displaystyle p=u_{x},\,q=u_{y},\,r=u_{z}.}$${\displaystyle \phi (x,y,z,u,a,b,c)=0}$${\displaystyle (a,b,c)}$

${\displaystyle \phi _{x}+p\phi _{u}=0}$

${\displaystyle \phi _{y}+q\phi _{u}=0}$

${\displaystyle \phi _{z}+r\phi _{u}=0}$

完全積分 ​​とともに、上記の 3 つの関係を使用して 3 つの定数を消去し、 に関連する方程式 (元の偏微分方程式) を取得できます。偏微分方程式を導く定数の消去は一意である必要はありません。つまり、2 つの異なる方程式が同じ完全積分を導くことができます。たとえば、関係から定数を消去すると、および が導かれます。 ${\displaystyle \phi =0}$${\displaystyle (x,y,z,u,p,q,r)}$${\displaystyle u={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}+z-c}$${\displaystyle p^{2}+q^{2}=1}$${\displaystyle r=1}$

完全積分が求まれば、そこから一般解を構築することができます。一般積分は、定数を座標の関数、つまり にすることで得られます。これらの関数は、 の形が変わらないように選択され、完全積分からの消去法を利用できます。完全積分の微分により、 ${\displaystyle a=a(x,y,z),\,b=b(x,y,z),\,c=c(x,y,z)}$${\displaystyle (p,q,r)}$

${\displaystyle \phi _{x}+p\phi _{u}=-(a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})}$

${\displaystyle \phi _{y}+q\phi _{u}=-(a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})}$

${\displaystyle \phi _{z}+r\phi _{u}=-(a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})}$

ここで、3つの方程式の右辺の項がすべて等しく消えることを要求し、を から消去すると偏微分方程式が得られる。この要求は次のように簡潔に書くことができる。 ${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle J\phi _{a}=0,\quad J\phi _{b}=0,\quad J\phi _{c}=0}$

どこ

${\displaystyle J={\frac {\partial (a,b,c)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{aligned}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

はヤコビ行列式です。条件は一般解を導きます。 のときはいつでも、 の間には関数関係があります。なぜなら、行列式がゼロのときはいつでも、列（または行）は線形独立ではないからです。この関数関係を次のようにとります。 ${\displaystyle J=0}$${\displaystyle J=0}$${\displaystyle (a,b,c)}$

${\displaystyle c=\psi (a,b).}$

が見つかれば、問題は解決します。上記の関係から、 が得られます。元の方程式、およびを合計すると、が見つかります。次に、導出された2つの方程式から を消去すると、 が得られます。 ${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle dc=\psi _{a}da+\psi _{b}db}$${\displaystyle (a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})=0}$${\displaystyle (a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})=0}$${\displaystyle (a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})=0}$${\displaystyle \phi _{a}da+\phi _{b}db+\phi _{c}dc=0}$${\displaystyle dc}$

${\displaystyle (\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})da+(\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})db=0}$

と は独立なので、 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle (\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})=0}$

${\displaystyle (\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})=0.}$

上記の 2 つの方程式は、およびを解くのに使用できます。を に代入すると、一般積分が得られます。したがって、一般積分は、 、2 つの既知の独立した関数、および任意の関数の関係を表します。行列式を 0 にすることを前提としていますが、これは常に必要なわけではありません。 または の関係があれば、行列式を 0 にするのに十分です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle \phi =0}$${\displaystyle (x,y,z,u)}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle \psi (a,b)}$${\displaystyle c=\psi (a,b)}$${\displaystyle J}$${\displaystyle c=\psi (a)}$${\displaystyle c=\psi (b)}$

のとき特異積分が得られる。この場合、を から消去することは、${\displaystyle J\neq 0}$${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle \phi =0}$

${\displaystyle \phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0,\quad \phi _{c}=0.}$

3 つの方程式を使用して 3 つの未知数を解くことができます。この方法で消去法によって得られる解は、特異積分と呼ばれるものになります。 ${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle (a,b,c)}$

通常、ほとんどの積分は上で定義した3つのカテゴリに分類されますが、解が上記の3つのタイプの積分のいずれにも当てはまらない場合があります。これらの解は特殊積分と呼ばれます。偏微分方程式を満たす関係は、次の式から 決定できない場合は特殊積分と呼ばれます。${\displaystyle \chi (x,y,z,u)=0}$${\displaystyle (a,b,c)}$

${\displaystyle \phi _{x}\chi _{u}-\chi _{x}\phi _{u}=0}$

${\displaystyle \phi _{y}\chi _{u}-\chi _{y}\phi _{u}=0}$

${\displaystyle \phi _{z}\chi _{u}-\chi _{z}\phi _{u}=0.}$

上記の方程式のセットから決定できれば、 は前述の 3 つの積分のうちの 1 つであることがわかります。 ${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle \chi =0}$

2次元空間における完全積分は と書くことができる。一般積分は、次の式から を 消去することによって得られる。${\displaystyle \phi (x,y,u,a,b)=0}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \phi (x,y,z,a,\psi (a))=0,\quad \phi _{a}+\psi _{a}\phi _{b}=0.}$

特異積分が存在する場合、次の式から 消去することで得られる。${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle \phi (x,y,z,a,b)=0,\quad \phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0.}$

完全な積分が利用できない場合でも、常方程式系を解くことで解が得られる場合があります。この系を得るには、まず、PDE が各点で円錐 (光円錐に類似) を決定することに注意してください。PDE がuの導関数で線形(準線形) である場合、円錐は直線に退化します。一般的なケースでは、方程式を満たすペア ( p、q ) によって、特定の点での平面の族が決定されます。

${\displaystyle u-u_{0}=p(x-x_{0})+q(y-y_{0}),\,}$

どこ

${\displaystyle F(x_{0},y_{0},u_{0},p,q)=0.\,}$

これらの平面の包絡線は円錐、または偏微分方程式が準線形の場合は直線である。包絡線の条件は

${\displaystyle F_{p}\,dp+F_{q}\,dq=0,\,}$

ここで、Fは で評価され、dpとdqはpとqの増分であり、 F =0を満たす。したがって、円錐の生成子は方向 ${\displaystyle (x_{0},y_{0},u_{0},p,q)}$

${\displaystyle dx:dy:du=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}).\,}$

この方向は波動方程式の光線に対応します。これらの方向に沿って微分方程式を積分するには、光線に沿った pとqの増分が必要です。これは PDE を微分することで得られます。

${\displaystyle F_{x}+F_{u}p+F_{p}p_{x}+F_{q}p_{y}=0,\,}$

${\displaystyle F_{y}+F_{u}q+F_{p}q_{x}+F_{q}q_{y}=0,\,}$

したがって、空間 における光線の方向は${\displaystyle (x,y,u,p,q)}$

${\displaystyle dx:dy:du:dp:dq=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}):(-F_{x}-F_{u}p):(-F_{y}-F_{u}q).\,}$

これらの方程式を積分すると、各点における放射円錐が得られます。PDE の一般解は、このような円錐のエンベロープから得ることができます。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0},u_{0})}$

この部分はクーラントの本の参照です。 ^[4]${\displaystyle \S 1.2.3}$

これらの方程式は独立している、つまり、微分や消去法によって他の方程式から導き出すことはできないと仮定します。${\displaystyle h}$

— クーラント、R. & ヒルベルト、D. (1962)、数理物理学の方法：偏微分方程式、II、p.15-18

同等の説明が与えられます。一次線形偏微分方程式に対して、線形依存性の 2 つの定義が与えられます。

${\displaystyle (*)\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(1)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{1}}=0\\\vdots \\\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(n)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{n}}=0\end{array}}\right.}$

ここで、は独立変数、は従属未知数、 は線形係数、 は 非同次項目です。 とします 。 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y_{j}}$${\displaystyle a_{ij}^{(k)}}$${\displaystyle f_{k}}$${\textstyle {Z_{k}}\equiv \sum _{ij}^{}{a_{ij}^{(k)}{\frac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{k}}}$

定義 I: 数体 が与えられ、係数 ( ) がすべてゼロではなく、 となるとき、式 (*) は線形従属です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle c_{k}\in P}$${\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}=0}}$

定義 II (微分線形従属): 数体 が与えられ、係数 ( ) がすべてゼロではなく、 となるとき、式 (*) は微分線形従属であると考えられます。 の場合、この定義は定義 I に退化します。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle {c_{k}},d_{kl}\in P}$${\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}}+\sum _{kl}{{d_{kl}}{\frac {\partial }{\partial {x_{l}}}}{Z_{k}}=0}}$${\displaystyle {d_{kl}}\equiv 0}$

div-curl システム、マクスウェル方程式、アインシュタイン方程式(4 つの調和座標を持つ)、および ヤン-ミルズ方程式(ゲージ条件を持つ) は、定義 II では適切決定ですが、定義 I では過剰決定です。

波動方程式の特性面は、方程式の解の平面である。

${\displaystyle u_{t}^{2}=c^{2}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\right).\,}$

と設定しても一般性はほとんど失われない。その場合、uは ${\displaystyle u_{t}=1}$

${\displaystyle u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}={\frac {1}{c^{2}}}.\,}$

ベクトル表記では、

${\displaystyle {\vec {x}}=(x,y,z)\quad {\hbox{and}}\quad {\vec {p}}=(u_{x},u_{y},u_{z}).\,}$

平面を水平面とする解の族は次のように与えられる。

${\displaystyle u({\vec {x}})={\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}),\,}$

どこ

${\displaystyle |{\vec {p}}\,|={\frac {1}{c}},\quad {\text{and}}\quad {\vec {x_{0}}}\quad {\text{is arbitrary}}.\,}$

xとx ₀が固定されている場合、これらの解の包絡線は、半径 1/ cの球面上でuの値が定常となる点を見つけることで得られます。これは、が に平行である場合に当てはまります。したがって、包絡線は次の式で表されます。 ${\displaystyle {\vec {p}}}$${\displaystyle {\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}}$

${\displaystyle u({\vec {x}})=\pm {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|.}$

これらの解は、速度cとともに半径が拡大または縮小する球に対応します。これらは時空内の光円錐です。

この方程式の初期値問題は、 t =0 のときu =0 となる水平面S を指定することである。解は、 S上に中心を持ち、半径が速度cとともに大きくなるすべての球の包絡線を取ることによって得られる。この包絡線は、

${\displaystyle {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|\quad {\hbox{is stationary for}}\quad {\vec {x_{0}}}\in S.\,}$

この条件は、 がSに垂直である場合に満たされます。したがって、エンベロープは、Sの各法線に沿った速度cの運動に対応します。これがホイヘンスの波面構成です。 S上の各点は、時刻t =0で球面波を放射し、後の時刻tでの波面は、これらの球面波のエンベロープです。Sの法線は光線です。 ${\displaystyle |{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|}$

• エヴァンス、LC（1998）。偏微分方程式。プロビデンス：アメリカ数学会。ISBN 0-8218-0772-2。
• Polyanin, AD; Zaitsev, VF; Moussiaux, A. (2002).一次偏微分方程式ハンドブック。ロンドン: Taylor & Francis。ISBN 0-415-27267-X。
• ポリアニン、AD（2002）。エンジニアと科学者のための線形偏微分方程式ハンドブック。ボカラトン：チャップマン＆ホール/CRCプレス。ISBN 1-58488-299-9。
• サラ、スコット (2003)。「保存則への応用を伴う特性法」。オンライン数学とその応用ジャーナル。