7次元空間

数学では、 n 個の 実数の列はn次元空間内の位置として理解できます。n = 7 の場合、そのような位置の集合は7 次元空間と呼ばれます。多くの場合、そのような空間は距離の概念なしでベクトル空間として研究されます。7 次元ユークリッド空間は、ドット積によって定義されるユークリッド計量を備えた 7 次元空間です。^{[議論中–議論]}

より一般的には、この用語は、 14 の実次元を持つ7 次元複素ベクトル空間などの、任意の体上の 7 次元ベクトル空間を指すことがあります。また、 7 次元球面などの7 次元多様体や、その他のさまざまな幾何学的構成 を指すこともあります。

7 次元空間には多くの特殊な性質があり、その多くは八元数に関連しています。特に特徴的な性質は、外積が3 次元または 7 次元でのみ定義できることです。これは、 2、4、8 以外の次元では四元数や八元数などの代数構造の存在を禁じるフルヴィッツの定理に関連しています。これまでに発見された最初のエキゾチックな球は7 次元でした。

7 次元の多面体は7 多面体と呼ばれます。最も研究されているのは正多面体で、 7 次元には7 単体、7立方体、7 正多面体の 3 つしかありません。より広いファミリーは一様 7 多面体で、これは反射の基本対称領域から構成され、各領域はCoxeter 群によって定義されます。各一様多面体は、環状Coxeter-Dynkin 図によって定義されます。7デミキューブは D ₇ファミリーからの唯一の多面体であり、3 ₂₁、2 ₃₁、1 _{32 の}多面体は E ₇ファミリーから来ています。

7次元ユークリッド空間における6次元球面または超球面は、原点などの点から等距離にある6次元面である。記号はS ⁶で、半径rの 6次元球面の正式な定義は次の通りである。

${\displaystyle S^{6}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{7}:\|x\|=r\right\}.}$

この6次元球面に囲まれた空間の体積は

${\displaystyle V_{7}\,={\frac {16\pi ^{3}}{105}}\,r^{7}}$

これは4.72477 × r ⁷、つまり6次元球面を含む 7次元立方体の0.0369である。

外積は、2 つのベクトルのベクトル値、双線型、反可換、直交積であり、7 次元で定義されます。3 次元でのより一般的な外積とともに、これは、自明な積を除いて、唯一の積です。

1956 年、ジョン・ミルナーは7 次元の異次元球面を構築し、7 次元球面上に少なくとも 7 つの微分可能な構造があることを示しました。1963 年に、彼はそのような構造の正確な数は 28 であることを示しました。

• ユークリッド幾何学
• 幾何学トピックのリスト
• 正多面体の一覧

• HSM コクセター:正多面体。ドーバー、1973 年
• JW ミルナー: 7 次元球面に同相な多様体についてAnnals of Mathematics 64, 1956

• 「ユークリッド幾何学」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]