運動変数

数学において、運動変数の関数は、複素変数の関数が通常の複素数を扱うのと同様に、分割複素数平面上の引数と値を持つ関数である。ウィリアム・キングドン・クリフォードは、著書『二元数の予備的概説』（1873年）の中で、運動学的演算子を表す用語として「運動変数」という用語を造語した。彼は、分割二元数においてスカラーを表すのに分割複素数を用いた。ここでは、語呂の良さと慣習上の理由から、分割複素数の代わりに「運動変数」という用語を用いている。

例えば、

${\displaystyle f(z)=u(z)+j\ v(z),\ z=x+jy,\ x,y\in R,\quad j^{2}=+1,\quad u(z),v(z)\in R.}$

運動変数の関数は、実解析を拡張し、平面上の写像を簡潔に表現するための枠組みを提供する。しかし、この理論は通常の複素平面上の関数論には遠く及ばない。それでもなお、従来の複素解析のいくつかの側面は、運動変数、そしてより一般的には超複素解析によって解釈される。

D =​${\displaystyle \{z=x+jy:x,y\in R\}}$、分割複素平面。以下の関数fは、定義域と値域がDにある。

双曲型変数の作用${\displaystyle u=\exp(aj)=\cosh a+j\sinh a}$アフィン変換を生成するために、並進と組み合わせる。

${\displaystyle f(z)=uz+c\ }$c = 0の場合、この関数はスクイーズ写像と同等です。

二乗関数は、通常の複素数演算には類似するものがない。

${\displaystyle f(z)=z^{2}\ }$そして、次の点に注意してください。${\displaystyle f(-1)=f(j)=f(-j)=1.\ }$

その結果、4つの象限は1つの同一成分にマッピングされる。

${\displaystyle U_{1}=\{z\in D:\mid y\mid <x\}}$また、この成分の要素には4つの平方根が存在するが、他の3つの成分の要素には平方根は存在しない。

ご了承ください${\displaystyle zz^{*}=1\ }$単位双曲線を形成する${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$したがって、 相互作用

${\displaystyle f(z)=1/z=z^{*}/\mid z\mid ^{2}{\text{ただし}}\mid z\mid ^{2}=zz^{*}}$

C の円とは対照的に、双曲線を基準曲線として使用する。

環上の射影直線の概念を用いて、射影直線 P( D ) が形成される。この構成では、複素数成分を持つ同次座標が用いられる。射影直線 P( D ) は、線形分数変換によって変換される。

${\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=[az+b:cz+d],}$時折表記される

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$ただし、cz + dはDの単位である。

基本的な線形分数変換には以下が含まれます

• 双曲線回転${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}},}$
• 翻訳${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}},}$そして
• 反転${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

これらのそれぞれには逆変換が存在し、合成によって線形分数変換のグループが完成します。モーター変数は極座標で双曲線角によって特徴付けられ、この角はモーター変数の線形分数変換によって保存されます。これは、通常の複素平面のメビウス変換によって円角が保存されるのと同様です。角度を保存する変換は等角変換と呼ばれ、したがって線形分数変換は等角写像です。

領域を境界付ける変換は比較できます。たとえば、通常の複素平面では、ケイリー変換は上半平面を単位円盤に写像し、それによって上半平面を境界付けます。Dの単位成分 U _1を長方形に写像すると、同様の境界付け操作が得られます。

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z+1/2}},\quad f:U_{1}\to T}$

ここで、T = { z = x + j y  : | y | < x < 1 または | y | < 2 – x (1 ≤ x < 2 の場合) }。

射影直線上の全単射として線形分数変換を実現するために、Dのコンパクト化が用いられます。詳細は下記のセクションを参照してください。

指数関数は平面D全体をU ₁に運びます。

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\cosh x+\sinh x}$。

したがって、x = b j の場合、e ^xは双曲型変数である。一般的な運動変数z = a + b j については、次のようになる。

${\displaystyle e^{z}=e^{a}(\cosh b+j\ \sinh b)\ }$。

運動変数の関数理論においては、平方根関数と対数関数に特に注意を払う必要がある。特に、分割複素数の平面は4つの連結成分から構成される。${\displaystyle \{U_{1},-U_{1},jU_{1},-jU_{1}\},}$そして逆関数を持たない特異点の集合、すなわち対角線z = x ± x j、x ∈ R である。恒等成分、すなわち { z  : x > | y | } = U ₁は、二乗関数と指数関数の値域である。したがって、これは平方根関数と対数関数の定義域である。平方根関数と対数関数は二乗関数と指数関数の1 対 1 の逆関数として定義されているため、他の 3 象限は定義域に含まれない。

Dの対数の図解は、Motter と Rosa の論文「Hyperbolic Calculus」（1998 年）で示されている。^{[ 1 ]}

複素平面上の領域における正則関数を特徴付けるコーシー・リーマン方程式には、モーター変数の関数に対する類似の方程式が存在する。Wirtinger微分を用いたD正則関数へのアプローチは、MotterとRossaによって与えられた。^{[ 1 ]}

関数f = u + j v は、次の場合にD-正則であると呼ばれます。

${\displaystyle 0\ =\ \left({\partial \over \partial x}-j{\partial \over \partial y}\right)(u+jv)=\ u_{x}-j^{2}v_{y}+j(v_{x}-u_{y}).}$

実数部と虚数部を考慮すると、D正則関数は以下を満たす。

${\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=u_{y}.}$

これらの方程式は1893年にゲオルク・シェファースによって発表されたため^{[ 2 ]} 、シェファースの条件と呼ばれている^{[ 3 ]}。

調和関数理論における同様のアプローチは、ピーター・デュレンのテキストで見ることができる。^{[ 4 ]} D正則関数fの 成分u とvはダランベールに関連付けられた 波動方程式を満たすのに対し、C正則関数の成分はラプラス方程式を満たすことは明らかである。

1935年、ラプラタ国立大学において、無限級数の収束に関する専門家であるJC・ヴィニョーは、運動変数に関する4つの論文を大学の年刊誌に寄稿した。^{[ 5 ]}彼は最初の論文を単独で執筆し、他の論文については学科長のA・ドゥラニョーナ・イ・ヴェディアと協議した。「双曲複素数級数について」の中で、彼は次のように述べている（ 123ページ）。

この双曲型複素数（運動変数）の体系は、実数体と同型な2つの体の直和であり、この性質により、実数体の性質を用いて、双曲型複素変数の級数論および関数論を説明することが可能となる。

彼は次に、例えばコーシー、アーベル、メルテンス、ハーディによる定理を運動変数の領域に一般化するなどの作業を進める。

以下に引用する主要論文において、彼はD正則関数と、それらの成分によるダランベールの方程式の充足について考察している。彼は、対角線y = x と y = − xに平行な辺を持つ長方形を、辺が等方線上にあることから等方性長方形と呼んでいる。彼は要約を次の言葉で締めくくっている。

等方性長方形は、正則関数の存在領域、冪級数の収束領域、および関数級数の収束領域を形成するため、この理論において基本的な役割を果たします。

ヴィニョーは、単位等方性長方形における D 正則関数のベルンシュタイン多項式による近似に関する 6 ページのノートでこのシリーズを締めくくった。このシリーズにはいくつかの誤植や技術的なつまずきが見られるものの、ヴィニョーは実解析と通常の複素解析の中間に位置する理論の主要な流れを明確に示すことに成功している。特に、その基礎から模範的に展開されているため、学生や教師にとって非常に有益な資料となっている。さらに、この探求全体は「エミール・ボレルの幾何学との関連」に根ざしており、その動機を裏付けている。

1892年、コッラード・セグレはテッサリン代数を双複素数として想起した。^{[ 6 ]}当然ながら実テッサリンの部分代数が現れ、双実数と呼ばれるようになった。

1946年、U. Bencivengaは双対数と分裂複素数に関する論文^{[ 7 ]}を発表し、その中で双実数という用語を用いました。彼はまた、双実変数の関数理論の一部についても説明しました。この論文は、1949年にブリティッシュコロンビア大学でジェフリー・フォックスが修士論文「超複素変数の初等関数理論と双曲平面における等角写像の理論」を執筆した際に研究されました。フォックスは46ページで、「Bencivengaは、双実変数の関数が双曲平面をそれ自身に写像する際に、関数の導関数が存在してゼロにならない点において、双曲角が写像において保存されることを示した」と報告しています。

G. Foxは双実変数の極分解を示し、双曲直交性について論じている。彼は別の定義から出発して、57ページで証明している。

定理 3.42  : 2 つのベクトルが互いに直交するのは、それらの単位ベクトルが、0 を通る対角線のいずれか一方に関して互いに鏡像関係にある場合のみである。

フォックスは「双線形変換」に焦点を当てている${\displaystyle w={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }}}$、 どこ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$これらは双実定数である。特異点に対処するため、彼は平面に無限遠点を1点追加する（73ページ）。

関数論への彼の斬新な貢献の一つに、相互連動システムの概念がある。フォックスは、双実数kが以下の条件を満たすことを示している。

( a − b ) ² < | k | < ( a + b ) ²

双曲線

| z | = a2^および| z − k | = ^b2

交差しない（連動したシステムを形成しない）。そして彼は、この性質が双実変数の双線形変換によって保持されることを示す。

乗法逆関数は非常に重要であるため、微分幾何学の写像にそれを含めるために極端な手段が講じられる。例えば、通常の複素数演算では複素平面がリーマン球面に巻き上げられる。分割複素数演算では、球面の代わりに双曲面が用いられる。${\displaystyle H=\{(x,y,z):z^{2}+x^{2}-y^{2}=1\}。}$リーマン球面の場合と同様に、この方法はP = (0, 0, 1)からt = ( x , y , 0) を経由して双曲面への立体投影です。直線L = Ptはsによってパラメータ化されます。${\displaystyle L=\{(sx,sy,1-s):s\in R\}}$つまり、sがゼロのときはPを通過し、sが1のときはtを通過する。

H ∩ Lから、

${\displaystyle (1-s)^{2}+(sx)^{2}-(sy)^{2}=1,{\text{したがって}}\quad s={\frac {2}{1+x^{2}-y^{2}}}.}$

tがヌル円錐上にある場合、s = 2 となり、(2 x , ±2 x , – 1) はH上にある。反対の点 (2 x , ±2 x , 1) は無限遠の光円錐を構成し、それは反転によるヌル円錐の像である。

tの場合、${\displaystyle y^{2}>1+x^{2},}$sは負の値をとる。これは、点Pを通って点tに至る逆光線が、双曲線H上の点を与えることを意味する。これらの点tは、単位双曲線と共役な双曲線の上と下にある。

コンパクト化は、同次座標( w, x, y, z )を持つP ³ Rで完了する必要があり、 w = 1 はこれまで使用されてきたアフィン空間( x, y, z ) を指定します。双曲面Hは射影円錐に吸収されます。${\displaystyle \{(w,x,y,z)\in P^{3}R:z^{2}+x^{2}=y^{2}+w^{2}\},}$それはコンパクトな空間です。

ウォルター・ベンツはハンス・ベックによる写像を用いてコンパクト化を行った。イサーク・ヤグロムは上記と同様の2段階コンパクト化を示したが、双曲面に接する分割複素平面を用いた。^{[ 8 ]} 2015年にエマヌエロとノルダーは、まずモーター平面をトーラスに埋め込み、次に反対蹠点を同一視することで射影的にコンパクト化を行った。^{[ 9 ]}

• Francesco Catoni、Dino Boccaletti、Roberto Cannata (2008)ミンコフスキー時空の数学、Birkhäuser Verlag、バーゼル。第 7 章: 双曲変数の関数。
• Shahram Dehdasht + 他7名 (2021) 「共形双曲光学」、Physical Review Research 3,033281 doi : 10.1103/PhysRevResearch.3.033281