ジオメトロダイナミクス

理論物理学において、ジオメトロダイナミクスは時空とそれに関連する現象を幾何学で完全に記述しようとする試みである。技術的には、その目的は基本的な力を統一し、一般相対性理論を3次元微分同相写像を法とする3次元計量の配置空間として再定式化することである。このアイデアの起源は、英国の数学者ウィリアム・キングドン・クリフォードの著作に見出すことができる。^{[1]この理論は1960年代に}ジョン・ホイーラーによって熱心に推進され、21世紀においてもその研究は続いている。

ジオメトロダイナミクスという用語は、一般相対性理論の同義語です。より正確には、一部の著者は、1960 年頃にArnowitt、Deser、Misner ( ADM 形式主義) によって導入された一般相対性理論の初期値定式化を表すために、アインシュタインのジオメトロダイナミクスという語句を使用しています。この再定式化では、時空がかなり恣意的な^{[要出典]方法で}空間ハイパースライスに分割され、真空アインシュタイン場方程式が、初期ハイパースライスのジオメトリ (「初期値」) が与えられた場合に、ジオメトリが「時間」とともにどのように進化するかを説明する進化方程式として再定式化されます。これには、元のハイパースライスが満たさなければならない制約方程式を与える必要があります。また、いくつかの「ゲージの選択」、具体的には、ハイパースライス ジオメトリを記述するために使用される座標系がどのように進化するかについての選択も含まれます。

ウィーラー^[2]は、一般相対性理論をADMで再定式化したよりもさらに根本的な方法で、曲率が時間とともに変化する動的幾何学を用いて物理学を幾何学に還元しようとした。それは3つの概念を実現しようとするものである。

• 質量のない質量
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• フィールドなしのフィールド

彼は量子重力の基礎を築き、重力と電磁気学を統一したいと考えていました (1960 年当時、強い相互作用と弱い相互作用はまだ十分に理解されておらず、統合には至っていませんでした)。

ウィーラーは、時空のコンパクトな領域に閉じ込められ、波自体の（重力）場エネルギーの重力引力によってまとめられた重力波パケットであるジオンの概念を導入しました。 ^{[3]ウィーラーは、ジオンが質量のある物体のようにテスト粒子に影響を与える可能性、つまり}質量のない質量の可能性に興味をそそられました。

また、ホイーラーは、一般相対性理論の（回転しない）質点解であるシュバルツシルト真空がワームホールの性質を持つという事実にも大いに興味をそそられた。同様に、荷電粒子の場合、ライスナー・ノルドストロームの電気真空解の形状は、電界線（電荷で「終わる」）と磁力線（決して終わらない）の間の対称性は、電界線が実際には終わらず、ワームホールを通ってどこか遠い場所、あるいは宇宙の別の枝まで行くだけであれば回復できることを示唆している。ジョージ・ライニッチは数十年前、一般相対性理論では時空曲率に直接結びついている応力エネルギーテンソルへの電磁気的寄与から電磁場テンソルを得ることができることを示していた。ホイーラーとミスナーはこれを、重力と電磁気を部分的に統一し、電荷のない電荷を生み出す、いわゆる既統一場理論へと発展させた。

一般相対性理論の ADM 再定式化において、ホイーラーは、運動量制約が導出されれば完全なアインシュタイン場方程式を復元できると主張し、これが幾何学的考慮のみから導かれる可能性があり、一般相対性理論が論理的必然のようなものになるかもしれないと示唆した。具体的には、曲率 (重力場) は、非常に小さなスケールでの非常に複雑な位相的現象、いわゆる時空泡に対する一種の「平均化」として発生する可能性がある。これは、量子重力、つまり場のない場によって示唆される幾何学的直感を実現するだろう。

これらのアイデアは多くの物理学者の心をとらえたが、ウィーラー自身が彼の計画に対する初期の期待の一部をすぐに打ち砕いた。特に、スピン 1/2フェルミオンの取り扱いは困難であることが判明した。このためには、アインシュタイン - マクスウェル - ディラック システム、またはより一般的にはアインシュタイン - ヤン - ミルズ - ディラック - ヒッグス システムのアインシュタイン統一場理論に頼る必要がある。

幾何学力学は、空間の性質に関する デカルトやスピノザの考えのいくつかを実現する可能性に興味を持った哲学者たちからも注目を集めました。

最近では、クリストファー・アイシャム、ジェレミー・バターフィールド、および彼らの学生たちは、量子重力理論に向けた最近の研究と、一般相対性理論の初期値定式化に関する非常に広範な数学理論のさらなる発展を考慮して、量子幾何力学^{[4] の}開発を続けています。ホイーラーの当初の目標のいくつか、特に量子重力の強固な基盤を築くという希望は、この研究にとって依然として重要です。哲学的プログラムもまた、数人の著名な貢献者を刺激し続けています。

重力の領域における位相幾何学的アイデアは、リーマン、クリフォード、ワイルにまで遡り、オイラー-ポアンカレ不変量によって特徴付けられるホイーラーのワームホールでより具体的な実現が見られました。ワームホールは、ブラックホールにハンドルを取り付けることによって生じます。

観測的には、アルバート・アインシュタインの一般相対性理論(GR) は、太陽系と二重パルサーに関してかなり確立されています。しかし、一般相対性理論では、計量は 2 つの役割を果たします。つまり、時空内の距離を測定することと、クリストッフェル接続の重力ポテンシャルとして機能することです。この二分法は、重力を量子化する上での主な障害の 1 つであると思われます。アーサー・スタンレー・エディントンは、 1924 年にすでに著書『相対性理論の数学的理論(第 2 版)』で、接続を基本フィールドと見なし、計量を単なる派生概念と見なすことを提案しました。

その結果、4 次元における原始作用は、対応するゲージ接続のポンチャギン不変量などの計量フリーの位相作用から構築されるはずです。ヤン・ミルズ理論と同様に、位相ゴーストを介して曲率の定義とビアンキ恒等式を修正することで量子化を実現できます。このような次数付きカルタン形式において、ゴースト演算子のべき零性は、外微分に対するポアンカレ補題と同等です。双対性ゲージ固定によるBRST反場形式を使用すると、二重双対曲率の空間で無矛盾な量子化が得られます。この制約は、 1919 年に Weyl によって、1974 年にYangによってアフィン形式で既に提案されている曲率二乗の「ヤン・ミールケ重力理論」^[5]にインスタントン型の解を課します。ただし、これらの厳密な解は「真空の縮退」を示します。部分的に位相的な起源を持つ誘導宇宙定数を持つアインシュタインの方程式を唯一の巨視的「背景」として保持するためには、スケールを破る項を介して曲率の二重双対性を修正する必要がある。

このようなスケール破れの項は、ゲージ曲率が F で表される制約形式、いわゆるBF スキームでより自然に生じます。重力の場合、これは 4 次元の特殊線型群SL(5, R )から逸脱し、重力の(反)ド・ジッターゲージ理論を一般化します。対応する位相的 BF 理論に自発的対称性の破れを適用した後、対称性の破れのスケールに関連する小さな宇宙定数を持つアインシュタイン空間が再び出現します。ここで、「背景」計量はヒッグスのようなメカニズムによって誘導されます。このような変形された位相的スキームの有限性は、自発的に破れたモデルの量子化後に漸近的な安全性に変換される可能性があります。^[6]

リチャード・J・ペティは、アインシュタイン・カルタン理論に基づく、ねじれはあるが回転粒子はない宇宙論モデルは、「場のない（非伝播）場」の状況を示していると信じている。 ^[7]

• 一般相対性理論の数学
• ハミルトン・ヤコビ・アインシュタイン方程式(HJEE)
• 数値相対性
• ブラックホール電子
• テレパラレリズム

• Wheeler, J (1962)。Nagel, Ernest、Suppes, Patrick、Tarski, Alfred (編)。「曲がった空の空間は物理的世界の構築材料である: 評価」。論理、方法論、科学哲学: 論理、方法論、科学哲学に関する国際会議の議事録。カリフォルニア州スタンフォード: スタンフォード大学出版局。

• アンダーソン、E. (2004)。「ジオメトリダイナミクス：時空か空間か？」arXiv：gr-qc / 0409123。 この博士論文は、「ジオメトロダイナミクス」の概念の長期にわたる発展について読みやすい説明を提供します。
• バターフィールド、ジェレミー（1999年）。『時間の議論』オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-726207-8。この本は、現代の地質力学プログラムの哲学的動機と意味に焦点を当てています。
• プラスタロ、アゴスティーノ (1985)。ジオメトロダイナミクス：議事録、1985年。フィラデルフィア：ワールドサイエンティフィック。ISBN 978-9971-978-63-1。
• ミスナー、チャールズ W; ソーン、キップS .; ウィーラー、ジョン アーチボルド (1973)。『重力』サンフランシスコ: WH フリーマン。ISBN 978-0-7167-0344-0。超空間については第 43 章、時空泡については第 44 章 を参照してください。
• ウィーラー、ジョン・アーチボルド (1963)。ジオメトロダイナミクス。ニューヨーク：アカデミックプレス。LCCN 62013645  。
• ミスナー、チャールズ W; ウィーラー、ジョン A ( 1957)。「幾何学としての古典物理学」。Annals of Physics。2 (6): 525–603。doi :10.1016/0003-4916(57)90049-0。
• J. Wheeler (1961). 「幾何力学と運動の問題」Rev. Mod. Phys . 44 (1): 63–78. Bibcode :1961RvMP...33...63W. doi :10.1103/RevModPhys.33.63.オンライン版（購読が必要）
• J. Wheeler (1957). 「量子幾何力学の性質について」. Ann. Phys . 2 (6): 604–614. Bibcode :1957AnPhy...2..604W. doi :10.1016/0003-4916(57)90050-7.オンライン版（購読が必要）
• Mielke, Eckehard W. (2008). 「位相的作用からのアインシュタイン重力」.一般相対性理論と重力. 40 (6): 1311–1325. arXiv : 0707.3466 . doi :10.1007/s10714-007-0603-3. ISSN  0001-7701.
• Wang, Charles H.-T. (2005-06-15). 「共形ジオメトロダイナミクス: 真に標準的な構造における真の自由度」. Physical Review D . 71 (12). American Physical Society (APS): 124026. arXiv : gr-qc/0501024 . Bibcode :2005PhRvD..71l4026W. doi :10.1103/physrevd.71.124026. ISSN  1550-7998. S2CID  118968025.

• グリュンバウム、アドルフ(1973):ジオメトロダイナミクスとオントロジー、The Journal of Philosophy、第 70 巻、第 21 号、1973 年 12 月 6 日、775 ～ 800 ページ、オンライン版 (購読が必要)
• Mielke, Eckehard W. (1987): ゲージ場の幾何学力学 --- ヤン＝ミルズと重力ゲージ理論の幾何学について、(Akademie—Verlag、ベルリン)、242 ページ。(第 2 版、Springer International Publishing Switzerland、Mathematical Physics Studies 2017)、373 ページ。