ボルループ

数学と抽象代数において、ボルループは群の概念を一般化する代数構造です。ボルループは、(Bol 1937) でボルループを導入した オランダの数学者Gerrit Bolにちなんで名付けられました。

ループLは、次の恒等式を満たすとき、左ボルループと呼ばれる。

${\displaystyle a(b(ac))=(a(ba))c}$L内の任意のa、b、cに対して、

一方、Lは次を満たす場合、 右ボルループであると言われる。

${\displaystyle ((ca)b)a=c((ab)a)}$L内の任意のa、b、cに対して。

これらのアイデンティティは、連想性の弱体化、または（左派または右派の）選択性の強化された形態として見ることができます。

ループは、 Moufang ループである場合に限り、左 Bol と右 Bol の両方になります。あるいは、右 Bol ループまたは左 Bol ループが Moufang となるのは、柔軟な恒等式a(ba) = (ab)a を満たす場合のみです。さまざまな著者が、「Bol ループ」という用語を左 Bol ループまたは右 Bol ループのいずれかを指すために使用します。

左（右）Bol 恒等式は、b を恒等式に設定することで示されるように、 左（右）代替プロパティを直接意味します。

また、左（右）逆の性質も暗示しています。これは、b を a の左（右）逆に設定し、ループ除算を使用して a の余分な因子をキャンセルすることで確認できます。結果として、Bol ループには両側逆があります。

Bol ループもべき乗結合的です。

前述の両側逆行列がL内のすべてのa,bに対して( ab ) ⁻¹ = a ⁻¹ b ^{−1という}自己同型逆行列の性質を満たすボルループは、（左または右）ブルックループまたはK ループ（アメリカの数学者リチャード・ブルックにちなんで名付けられた）として知られています。次のセクションの例はブルックループです。

ブルックループは特殊相対論に応用されています。Ungar (2002) を参照してください。左ブルックループは、Ungar (2002) のジャイロ可換ジャイロ群と同等ですが、2 つの構造は定義が異なります。

L が複素数上のnxn の 正定値エルミート行列 の集合を表すものとします。 L内の行列A、Bの行列積 ABがエルミートであることは一般には正しくなく、正定値であることは言うまでもありません。しかし、 Lには一意のPと一意のユニタリ行列U が存在し、 AB = PUとなります。これがABの極分解です。 L上の二項演算 * をA * B = Pで定義します。すると、 ( L、 *) は左ブルックループになります。 * の明示的な式はA * B = ( AB ² A ) ^1/2で与えられます。ここで、上付き文字 1/2 は一意の正定値エルミート平方根を示します。

（左）ボル代数は、以下の恒等式を満たす二項演算と三項演算を備えたベクトル空間である： ^[1]${\displaystyle [a,b]+[b,a]=0}$${\displaystyle \{a,b,c\}}$

${\displaystyle \{a,b,c\}+\{b,a,c\}=0}$

そして

${\displaystyle \{a,b,c\}+\{b,c,a\}+\{c,a,b\}=0}$

そして

${\displaystyle [\{a,b,c\},d]-[\{a,b,d\},c]+\{c,d,[a,b]\}-\{a,b,[c,d]\}+[[a,b],[c,d]]=0}$

そして

${\displaystyle \{a,b,\{c,d,e\}\}-\{\{a,b,c\},d,e\}-\{c,\{a,b,d\},e\}-\{c,d,\{a,b,e\}\}=0}$。

{.,.,.} はリー三重システムとして機能することに注意してください。Aが左または右の代替代数である場合、関連するボル代数A ^bを持ちます。ここで、は交換子であり、 はジョルダン結合子です。 ${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$${\displaystyle \{a,b,c\}=\langle b,c,a\rangle }$

• Bol, G. (1937)、「Gewebe und gruppen」、Mathematische Annalen、114 (1): 414–431、doi :10.1007/BF01594185、ISSN  0025-5831、JFM  63.1157.04、MR  1513147、Zbl  0016.22603
• Kiechle, H. (2002). Kループの理論. Springer. ISBN 978-3-540-43262-3。
• Pflugfelder, HO (1990).準群とループ: 入門. Heldermann. ISBN 978-3-88538-007-8。 第 6 章は Bol ループについて説明します。
• Robinson, DA (1966). 「Bol loops」. Trans. Amer. Math. Soc . 123 (2): 341–354. doi : 10.1090/s0002-9947-1966-0194545-4 . JSTOR  1994661.
• Ungar, AA (2002)。アインシュタインの加法則とそのジャイロスコープのトーマス歳差運動を超えて：ジャイロ群とジャイロベクトル空間の理論。Kluwer。ISBN 978-0-7923-6909-7。