ハリシュ・チャンドラ同型性

数学において、ハリシュ・チャンドラ同型写像は、ハリシュ・チャンドラ（1951 ）によって導入されたもので、リー代数の理論で構築された可換環の同型写像である。この同型写像は中心を写像する。 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$普遍包絡代数の${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$還元リー代数の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$自然の要素に${\displaystyle S({\mathfrak {h}})^{W}}$対称代数の${\displaystyle S({\mathfrak {h}})}$カルタン部分代数の${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ワイル群の下で不変である${\displaystyle W}$。

させて${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$半単純リー代数である、${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$そのカルタン部分代数と$\displaystyle \lambda ,\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$重み空間の 2 つの要素(${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$は​​${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$）そして、正の根の集合を仮定する$\displaystyle \Phi _{+}}$修正されました。${\displaystyle V_{\lambda }}$そして${\displaystyle V_{\mu }}$最も重みの高いモジュール${\displaystyle \lambda }$そして${\displaystyle \mu }$それぞれ。

いかなる場合でも$\displaystyle \lambda ,\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$登場人物${\displaystyle \chi _{\lambda }=\chi _{\mu }}$かつその場合に限り${\displaystyle \lambda +\delta }$そして${\displaystyle \mu +\delta }$ワイル群の同じ軌道上にある${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$、 どこ${\displaystyle \delta }$は正の根の半分の和であり、ワイルベクトルとも呼ばれる。^{[ 1 ]}

もう一つ密接に関連する定式化は、普遍包絡代数の中心からのハリシュ・チャンドラ準同型である。${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$に${\displaystyle S({\mathfrak {h}})^{W}}$（ワイル群によって固定されたカルタン部分代数の対称代数の要素）は同型写像である。

この定理は、有限次元既約表現に対するワイルの指標公式の単純なリー代数的証明を得るために使用されてきた。 ^{[ 2 ]}この証明はビクター・カッツによってさらに簡略化され、二次カシミール作用素のみが必要となった。指標公式の対応する簡略化された処理の証明は、ハンフリーズの第2版（1978年、143-144ページ）にある。 

さらに、これは最高ウェイトのモジュールの非ゼロ準同型の存在に必要な条件である（このようなモジュールの準同型は中心性を保持する）。簡単な帰結として、Vermaモジュールまたは一般化Vermaモジュールの場合、${\displaystyle V_{\lambda }}$最高重量${\displaystyle \lambda }$重みは有限個しか存在しない${\displaystyle \mu }$非ゼロ準同型 ${\displaystyle V_{\lambda }\rightarrow V_{\mu }}$存在する。

のために${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$単純なリー代数、${\displaystyle r}$をそのランク、すなわち任意のカルタン部分代数の次元とする。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$HSM Coxeterは次のように観察した。${\displaystyle S({\mathfrak {h}})^{W}}$は多項式代数と同型である${\displaystyle r}$変数（より一般的な記述については、Chevalley–Shephard–Todd の定理を参照）。したがって、単純リー代数の普遍包絡代数の中心は、多項式代数と同型である。代数の生成元の次数は、次の表に示す基本不変量の次数である。

リー群の基本不変量の数は、その階数に等しい。基本不変量は、リー群のコホモロジー環とも関連している。特に、基本不変量の次数が$d_1, ..., d_r$すると、コホモロジー環の生成子の次数は${\displaystyle 2d_{1}-1,\cdots ,2d_{r}-1}$このため、基本不変量の次数はリー群のベッチ数から計算でき、またその逆も可能です。別の方向では、基本不変量は分類空間のコホモロジーと関連しています。コホモロジー環${\displaystyle H^{*}(BG,\mathbb {R} )}$次数を持つ生成元上の多項式代数と同型である$2d_1, ..., 2d_r$[ ^{3 ]​}

• もし${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$リー代数とは${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$すると、普遍包絡代数の中心は次数2のカシミール不変量によって生成され、ワイル群はカルタン部分代数に作用し、それは${\displaystyle \mathbb {R} }$否定により、ワイル群の不変量はカルタン部分代数の生成元の二乗であり、これも次数が2である。
• のために${\displaystyle {\mathfrak {g}}=A_{2}={\mathfrak {sl}}(3,\mathbb {C} )}$ハリシュ・チャンドラ同型性によれば${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$2変数のワイル不変多項式の多項式環と同型である${\displaystyle h_{1},h_{2}}$（カルタン部分代数は2次元であるため）。${\displaystyle A_{2}}$ワイルグループは${\displaystyle S_{3}\cong D_{6}}$これは標準表現のCSAに作用します。ワイル群は反射によって作用するため、これらは等長変換であり、したがって次数2の多項式${\displaystyle f_{2}(h_{1},h_{2})=h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}$はワイル不変です。次数 3 のワイル不変多項式の等高線 (標準表現の特定の選択、つまり反射の 1 つが x 軸に関して行われる場合) を以下に示します。これら 2 つの多項式は多項式代数を生成し、 の基本不変量です。${\displaystyle A_{2}}$。
• 分類に含まれるすべてのリー代数には、次数2の基本不変量、すなわち二次カシミールが存在する。同型写像では、これらはCSA上の次数2多項式に対応する。ワイル群はCSA上で鏡映によって作用するため、これらは等長写像であり、次数2不変多項式は${\displaystyle f_{2}(\mathbf {h} )=h_{1}^{2}+\cdots +h_{r}^{2}}$どこ${\displaystyle r}$CSAの寸法は${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$リー代数の階数とも呼ばれる。
• のために${\displaystyle {\mathfrak {g}}=A_{1}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$カルタン部分代数は一次元であり、ハリシュ・チャンドラ同型は${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$は、1変数のワイル不変多項式の代数と同型である。${\displaystyle h}$ワイルグループは${\displaystyle S_{2}}$反射として作用し、非自明な要素が多項式に作用する${\displaystyle h\mapsto -h}$完全多項式代数におけるワイル不変多項式の部分代数${\displaystyle K[h]}$したがって、偶数多項式のみであり、${\displaystyle f_{2}(h)=h^{2}}$。

_{A 2}のワイル不変三次関数、次数 3 の基本不変量に対応

• のために${\displaystyle {\mathfrak {g}}=B_{2}={\mathfrak {so}}(5)={\mathfrak {sp}}(4)}$ワイルグループは${\displaystyle D_{8}}$2つの座標に作用する${\displaystyle h_{1},h_{2}}$、そして、(非最小) 4 つの反射によって生成され、それらは座標に作用します。${\displaystyle (h_{1}\mapsto -h_{1},h_{2}\mapsto h_{2}),(h_{1}\mapsto h_{1},h_{2}\mapsto -h_{2}),(h_{1}\mapsto h_{2},h_{2}\mapsto h_{1}),(h_{1}\mapsto -h_{2},h_{2}\mapsto h_{1})}$不変な4次式は、両方の点で偶数でなければならない。${\displaystyle h_{1}}$そして${\displaystyle h_{2}}$、座標の交換に対する不変性は、任意の不変四次式が次のように書けることを意味する。${\displaystyle f_{4}(h_{1},h_{2})=ah_{1}^{4}+bh_{1}^{2}h_{2}^{2}+ah_{2}^{4}.}$これは2次元ベクトル空間であるにもかかわらず、次の新しい基本不変量のみをもたらします。${\displaystyle f_{2}(h_{1},h_{2})^{2}}$は空間内にあります。この場合、四次不変量の一意な選択はありません。なぜなら、任意の多項式は${\displaystyle b\neq 2a}$（そして${\displaystyle a,b}$両方ともゼロでなくても十分です。

上記の結果は、還元リー代数、特に半単純リー代数に対して成り立つ。アフィンリー代数への一般化がFeiginとFrenkelによって示されており、Feigin-Frenkel中心として知られる代数が、Langlands双対リー代数に関連付けられたW代数と同型であることが示されている。${\displaystyle ^{L}{\mathfrak {g}}}$[ ^{4 ] [ 5 ]​}

アフィンリー代数のフェイギン・フレンケル中心${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$は、普遍包絡代数の中心とは正確には一致しない。${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\hat {\mathfrak {g}}}))}$それらは要素です${\displaystyle S}$臨界レベルにおける真空アフィン頂点代数の${\displaystyle k=-h^{\vee }}$、 どこ${\displaystyle h^{\vee }}$は、​${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$これらは正のループ代数によって消滅する${\displaystyle {\mathfrak {g}}[t]}$の一部${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$つまり、 $${\displaystyle {\mathfrak {Z}}({\hat {\mathfrak {g}}}):=\{S\in V_{\text{cri}}({\mathfrak {g}})|{\mathfrak {g}}[t]S=0\}}$$ どこ${\displaystyle V_{\text{cri}}({\mathfrak {g}})}$これは、臨界レベルにおけるアフィン頂点代数です。この中心の要素は、特異ベクトルまたはセガル・菅原ベクトルとしても知られています。

この場合の同型写像は、ドリンフェルド・ソコロフ還元によってラングランズ双対リー代数に関連付けられて構築されたW代数とフェイギン・フレンケル中心との間の同型写像である。 $${\displaystyle {\mathfrak {Z}}({\hat {\mathfrak {g}}})\cong {\mathcal {W}}(^{L}{\mathfrak {g}}).}$$ また、以下の説明もあります。${\displaystyle {\mathfrak {Z}}({\hat {\mathfrak {g}}})}$有限個の可算無限生成子族における多項式代数として、${\displaystyle \partial ^{n}S_{i},i=1,\cdots ,l,n\geq 0}$、 どこ${\displaystyle S_{i},i=1,\cdots ,l}$学位を持っている${\displaystyle d_{i}+1,i=1,\cdots ,l}$そして${\displaystyle \partial }$は、ループ代数上の自然微分演算子の（負の）ものです。

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ハリシュ・チャンドラ同型性に関する注記