フレドホルム理論

数学において、フレドホルム理論は積分方程式の理論である。最も狭義には、フレドホルム理論はフレドホルム積分方程式の解に関係する。より広義には、フレドホルムの理論の抽象構造は、ヒルベルト空間上のフレドホルム作用素とフレドホルム核のスペクトル理論によって与えられる。この理論はエリック・イヴァル・フレドホルムにちなんで名付けられた。

以下の節では、作用素理論と関数解析のより広い文脈におけるフレドホルム理論の位置づけについて簡単に概説する。ここで示す概要は大まかであるが、この概要を形式化することは、もちろん詳細において困難である。

フレドホルム理論の多くは、 gとKが与えられた場合のfに関する次の積分方程式に関係しています。

${\displaystyle g(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy.}$

この方程式は、微分方程式の逆として物理学や数学の多くの問題で自然に現れます。つまり、微分方程式を解くことが求められます。

${\displaystyle Lg(x)=f(x)}$

ここで関数f は与えられ、 g は未知数です。ここで、 L は線形微分演算子を表します。

例えば、 Lを楕円演算子とすると、

${\displaystyle L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\,}$

その場合、解くべき方程式はポアソン方程式になります。

このような方程式を解く一般的な方法はグリーン関数を用いるもので、直接解くのではなく、まず与えられたx,yの組に対して、 ${\displaystyle K=K(x,y)}$

${\displaystyle LK(x,y)=\delta (xy),}$

ここで δ ( x )はディラックのデルタ関数 である。

上記の微分方程式の望ましい解は、フレドホルム積分方程式の形で積分として表される。

${\displaystyle g(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy.}$

関数K ( x,y )は、グリーン関数、積分の核などとも呼ばれます。積分の核と呼ばれることもあり、そこから核演算子という用語が生まれました。

一般理論では、 xと y は任意の多様体上の点、つまり最も単純な場合には実数直線または m次元ユークリッド空間上の点である。一般理論では、関数が何らかの与えられた関数空間に属することもしばしば要求される。多くの場合、二乗可積分関数の空間が研究され、ソボレフ空間がよく登場する。

実際に使用される関数空間は、微分演算子の 固有値問題の解、つまり、

${\displaystyle L\psi_{n}(x)=\omega_{n}\psi_{n}(x)}$

ここで、 ω _nは固有値、 ψ _n ( x ) は 固有ベクトルです。固有ベクトルの集合はバナッハ空間を張り、自然な内積がある場合、固有ベクトルはヒルベルト空間を張り、その時点でリースの表現定理が適用されます。このような空間の例には、2 次常微分方程式のクラスの解として現れる直交多項式があります。

上記のようなヒルベルト空間が与えられた場合、核は次のように書ける。

${\displaystyle K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n}}}.}$

この形式では、オブジェクト K ( x,y )はフレドホルム演算子またはフレドホルム核 と呼ばれることが多い。これが前と同じ核であることは、ヒルベルト空間の基底の完全性から導かれる。つまり、

${\displaystyle \delta (xy)=\sum _{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y).}$

ω _{n は}一般に増加するため 、結果として生じる演算子 K ( x,y )の固有値はゼロに向かって減少することがわかります。

非同次フレドホルム積分方程式

${\displaystyle f(x)=-\omega \varphi (x)+\int K(x,y)\varphi (y)\,dy}$

正式には次のように書かれる。

${\displaystyle f=(K-\omega )\varphi }$

正式な解は

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{K-\omega }}f.}$

この形式の解はレゾルベント形式と呼ばれ、レゾルベントは演算子として定義される。

${\displaystyle R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}.}$

Kの固有ベクトルと固有値の集合が与えられた場合、レゾルベントは次のように具体的な形で表すことができる。

${\displaystyle R(\omega ;x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n}-\omega }}}$

解決策は

${\displaystyle \varphi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy.}$

このような解が存在するための必要十分条件は、フレドホルムの定理の1つである。レゾルベントは一般に のべき乗で展開され、その場合はリウヴィル・ノイマン級数として知られている。この場合、積分方程式は次のように記述される。 ${\displaystyle \lambda =1/\omega }$

${\displaystyle g(x)=\varphi (x)-\lambda \int K(x,y)\varphi (y)\,dy}$

そして、解決手段は別の形で次のように書かれる。

${\displaystyle R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}.}$

フレドホルム行列式は一般的に次のように定義される。

${\displaystyle \det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\frac {\lambda ^{n}}{n}}\operatorname {Tr} \,K^{n}\right]}$

どこ

${\displaystyle \operatorname {Tr} \,K=\int K(x,x)\,dx}$

そして

${\displaystyle \operatorname {Tr} \,K^{2}=\iint K(x,y)K(y,x)\,dx\,dy}$

などである。対応するゼータ関数は

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\det(I-sK)}}.}$

ゼータ関数は、レゾルベントの行列式として考えることができます。

ゼータ関数は、力学系の研究において重要な役割を果たします。これはリーマンゼータ関数と同じ一般的なタイプのゼータ関数ですが、この場合、対応するカーネルは不明です。このようなカーネルの存在は、ヒルベルト-ポリア予想として知られています。

この理論の古典的な結果はフレドホルムの定理であり、その 1 つがフレドホルムの代替定理です。

一般理論からの重要な結果の 1 つは、関数の空間が等連続である場合にカーネルがコンパクトな演算子であるということです。

関連する有名な結果は、コンパクト多様体上の楕円型作用素の指数 (dim ker – dim coker) に関するアティヤ・シンガー指数定理です。

フレドホルムが1903年にActa Mathematicaに発表した論文は、作用素理論の確立における重要な画期的な論文の1つと考えられています。デビッド・ヒルベルトは、フレドホルムの論文（とりわけ）に促された積分方程式の研究と関連して、 ヒルベルト空間の抽象化を開発しました。

• グリーン関数
• スペクトル理論
• フレドホルムの代替案

• EI、フレドホルム（1903年）。 「方程式関数のクラス分け」(PDF)。アクタ・マセマティカ。27 : 365–390。土井：10.1007/bf02421317。
• Edmunds, DE ; Evans, WD (1987)。スペクトル理論と微分演算子。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-853542-2。
• BV Khvedelidze、GL Litvinov (2001) [1994]、「フレドホルム核」、数学百科事典、EMS Press
• Driver, Bruce K. 「コンパクト演算子とフレドホルム演算子およびスペクトル定理」(PDF)。分析ツールとその応用。pp. 579–600。
• マシューズ、ジョン; ウォーカー、ロバート L. (1970)。物理学の数学的方法(第 2 版)。ニューヨーク: WA ベンジャミン。ISBN 0-8053-7002-1。
• McOwen, Robert C. (1980). 「完全リーマン多様体上の偏微分方程式のフレドホルム理論」. Pacific J. Math . 87 (1): 169–185. doi : 10.2140/pjm.1980.87.169 . Zbl  0457.35084.