圏の同型性

圏論では、2 つの圏CとDが同型であるとは、互いに逆である関手F  : C → DとG  : D → Cが存在する場合、すなわちFG = 1 _D ( D上の恒等関手) およびGF = 1 _Cが存在する場合をいう。^{[ 1 ]}これは、CとDの対象と射が互いに1 対 1で対応していることを意味する。同型な 2 つの圏は、圏論でのみ定義されるすべての性質を共有する。実際的な目的においては、それらは同一であり、対象と射の表記法のみが異なっている。

圏の同型性は強い条件であり、実際にはめったに満たされません。はるかに重要なのは圏の同値性の概念です。大まかに言えば、圏の同値性については、${\displaystyle FG}$等しい​​$1D$だが、自然に同型なのは$1D$、同様に${\displaystyle GF}$自然に同型である$1C$。

同型性の概念全般に言えることだが、我々は同値関係と形式的に類似した以下の一般的な性質を持っている。

• 任意のカテゴリーCはそれ自身と同型である
• CがDと同型であれば、DはCと同型である。
• CがDと同型であり、 DがEと同型であるならば、CはEと同型である。

関手F  : C → D が圏の同型性をもたらすのは、それが対象と射集合に対して全単射である場合に限る。^{[ 1 ]}この基準は、逆関手G の構成を避けることができるため便利である。

• 有限群G、体k、および群環kGを考える。Gのk線形群表現の圏は、kG上の左加群の圏と同型である。同型性は次のように記述できる。群表現 ρ : G → GL( V ) が与えられたとき、ここでVはk上のベクトル空間、GL( V ) はそのk線形自己同型群、ρ は群準同型である。このとき、次のように定義することでV を左kG加群に変換する。 $${\displaystyle \left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)v=\sum _{g\in G}a_{g}\rho (g)(v)}$$VのすべてのvとkGのすべての要素 Σ a _g gについて。
  逆に、左kG加群Mが与えられた場合、Mはkベクトル空間であり、 Gの要素gとの乗算により、 Mのk線形自己同型が得られます( gはkGで可逆であるため)。これは、群準同型G → GL( M ) を記述します。 (まだ確認すべき点がいくつかあります。これらの割り当てはどちらもファンクターであり、つまり、群表現またはkG加群間のマップに適用でき、オブジェクトと射の両方で互いに逆です。)有限群の表現論 §表現、加群、畳み込み代数も参照してください。 
• すべての環は、単一の対象を持つ前加法的圏とみなすことができる。この圏からアーベル群の圏へのすべての加法的関手からなる関手圏は、環上の左加群の圏と同型である。
• ブール代数理論では、別の圏の同型性が現れます。ブール代数はブール環の圏と同型です。ブール代数Bが与えられたとき、対称差を加算として、また交わり演算を用いることで、 B をブール環に変換します。${\displaystyle \land }$乗算として。逆に、ブール環Rが与えられた場合、結合演算を次のように定義します。${\displaystyle \lor }$b = a + b + abであり、交わり演算は乗算です。これらの割り当てはどちらも射に拡張してファンクターを生成することができ、ファンクターは互いに逆の関係にあります。
• C が初期対象 s を持つ圏である場合、スライス圏( s ↓ C ) はCと同型です。双対的に、tがCの終端対象である場合、ファンクター圏 ( C ↓ t ) はCと同型です。同様に、1が 1 つの対象とその恒等射のみを持つ圏 (実際には1は終端圏) であり、Cが任意の圏である場合、対象ファンクターc : ¹ → C (対象 c ∈Ob( C ) を選択)と、これらのファンクター間の自然変換f : c → d (射f : c → dをCで選択) を持つファンクター圏 C 1は、再びCと同型です。