ウェーバーモジュラー機能

数学において、ウェーバー・モジュラー関数は、ハインリッヒ ・マルティン・ウェーバーによって研究された3つの関数f、f ₁、f ₂ ^{[注 1]}の族である。

τ を上半平面の要素とすると、ウェーバー関数は次のようになる。 ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(\tau )&=q^{-{\frac {1}{48}}}\prod _{n>0}(1+q^{n-1/2})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2\tau )}}=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {\eta {\big (}{\frac {\tau +1}{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )&=q^{-{\frac {1}{48}}}\prod _{n>0}(1-q^{n-1/2})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )&={\sqrt {2}}\,q^{\frac {1}{24}}\prod _{n>0}(1+q^{n})={\frac {{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}}$

これらはデュークの論文「連分数とモジュラー関数」の定義でもある。^[注2]関数はデデキントのイータ関数であり、と解釈される。商 としての説明は、直ちに次のことを意味する。${\displaystyle \eta (\tau )}$${\displaystyle (e^{2\pi i\tau })^{\alpha }}$${\displaystyle e^{2\pi i\tau \alpha }}$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\tau ){\mathfrak {f}}_{1}(\tau ){\mathfrak {f}}_{2}(\tau )={\sqrt {2}}.}$

変換τ  → –1/ τ はfを固定し、f ₁とf _{2を交換します。したがって、基底}f、f ₁、f ₂を持つ3次元複素ベクトル空間は、群 SL ₂ ( Z )によって作用されます。

あるいは、をノームとすると、 ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(q)&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1+q^{2n-1})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{1}(q)&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1-q^{2n-1})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{2}(q)&={\sqrt {2}}\,q^{\frac {1}{12}}\prod _{n>0}(1+q^{2n})={\frac {{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}}$

無限積の形式はわずかに変更されています。しかし、イータ商は同じままなので、2 番目が名詞 を使用する限りは問題ありません。2 番目の形式の有用性は、ラマヌジャンの G 関数と g 関数、およびヤコビのシータ関数との関連性と表記の一貫性を示すことです。これら 2 つの関数は、慣例的に名詞 を使用します。 ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{i}(\tau )={\mathfrak {f}}_{i}(q)}$${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

引き続きこの名を用いて、ラマヌジャンのG関数とg関数を次のように定義する。 ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2^{1/4}G_{n}&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1+q^{2n-1})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2\tau )}},\\2^{1/4}g_{n}&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1-q^{2n-1})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}}$

イータ商は、最初の2つのウェーバー関数との関連をすぐに明らかにします。 ${\displaystyle \tau ={\sqrt {-n}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2^{1/4}G_{n}&={\mathfrak {f}}(q)={\mathfrak {f}}(\tau ),\\2^{1/4}g_{n}&={\mathfrak {f}}_{1}(q)={\mathfrak {f}}_{1}(\tau ).\end{aligned}}}$

ラマヌジャンは、 との間に多くの関係を発見しました。これは、と の間にも同様の関係があることを示しています。たとえば、彼の恒等式は、 ${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle g_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(q)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{1}(q)}$

${\displaystyle (G_{n}^{8}-g_{n}^{8})(G_{n}\,g_{n})^{8}={\tfrac {1}{4}},}$

つながる

${\displaystyle {\big [}{\mathfrak {f}}^{8}(q)-{\mathfrak {f}}_{1}^{8}(q){\big ]}{\big [}{\mathfrak {f}}(q)\,{\mathfrak {f}}_{1}(q){\big ]}^{8}={\big [}{\sqrt {2}}{\big ]}^{8}.}$

ラマヌジャンはnの多くの値について、奇数nおよび偶数nの表を作成しました。これにより、およびの多くの明示的な評価が自動的に得られます。たとえば、クラス番号2の平方なし判別式の一部である を使用すると、 ${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle g_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(q)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{1}(q)}$${\displaystyle \tau ={\sqrt {-5}},\,{\sqrt {-13}},\,{\sqrt {-37}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{5}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{1/4},\\G_{13}&=\left({\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{1/4},\\G_{37}&=\left(6+{\sqrt {37}}\right)^{1/4},\end{aligned}}}$

これらから、またラマヌジャンのノートブックにあるより複雑な例からも 簡単に得ることができます。${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\tau )=2^{1/4}G_{n}}$

古典的なヤコビ・シータ関数の引数は伝統的に${\displaystyle q=e^{\pi i\tau },}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{10}(0;\tau )&=\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[2pt]\vartheta _{00}(0;\tau )&=\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\;=\;{\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {\tau }{2}}\right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {\tau +1}{2}}\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\vartheta _{01}(0;\tau )&=\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {\tau }{2}}\right)}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}}$

これらを で割り、 であることにも注意すると、これらはウェーバー関数の平方である。${\displaystyle \eta (\tau )}$${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {-\pi i}{\,12}}\eta (\tau +1)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{i}(q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\theta _{2}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}_{2}(q)^{2},\\[4pt]{\frac {\theta _{4}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}_{1}(q)^{2},\\[4pt]{\frac {\theta _{3}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}(q)^{2},\end{aligned}}}$

偶数添え字のシータ関数を意図的に最初に並べた。左辺に偶数添え字を持つよく知られたヤコビ恒等式を用いると、

${\displaystyle \theta _{2}(q)^{4}+\theta _{4}(q)^{4}=\theta _{3}(q)^{4};}$

したがって、

${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{2}(q)^{8}+{\mathfrak {f}}_{1}(q)^{8}={\mathfrak {f}}(q)^{8}.}$

三次方程式の3つの根

${\displaystyle j(\tau )={\frac {(x-16)^{3}}{x}}}$

ここで、j ( τ ) はj関数であり、次のように表される。また、 ${\displaystyle x_{i}={\mathfrak {f}}(\tau )^{24},-{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{24},-{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{24}}$

${\displaystyle j(\tau )=32{\frac {{\Big (}\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}{\Big )}^{3}}{{\Big (}\theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q){\Big )}^{8}}}}$

ウェーバー関数の定義をヤコビのθ関数で表し、さらに という事実を加えると、 ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{2}(q)^{2}\,{\mathfrak {f}}_{1}(q)^{2}\,{\mathfrak {f}}(q)^{2}={\frac {\theta _{2}(q)}{\eta (\tau )}}{\frac {\theta _{4}(q)}{\eta (\tau )}}{\frac {\theta _{3}(q)}{\eta (\tau )}}=2}$

${\displaystyle j(\tau )=\left({\frac {{\mathfrak {f}}(\tau )^{16}+{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{16}+{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{16}}{2}}\right)^{3}=\left({\frac {{\mathfrak {f}}(q)^{16}+{\mathfrak {f}}_{1}(q)^{16}+{\mathfrak {f}}_{2}(q)^{16}}{2}}\right)^{3}}$

と はデデキントのイータ関数に関して同じ式を持つからです。 ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{i}(\tau )={\mathfrak {f}}_{i}(q)}$${\displaystyle \eta (\tau )}$

• ラマヌジャン・佐藤級数、レベル 4

• デューク、ウィリアム(2005)、連分数とモジュラー関数(PDF)、Bull. Amer. Math. Soc. 42
• ウェーバー、ハインリヒ マルティン(1981) [1898]、Lehrbuch der Algebra (ドイツ語)、vol. 3 (第 3 版)、ニューヨーク: AMS Chelsea Publishing、ISBN 978-0-8218-2971-4
• 由井 典子; ザギエ ドン (1997)、「ウェーバーモジュラー関数の特異値について」、計算数学、66 (220): 1645–1662、doi : 10.1090/S0025-5718-97-00854-5、MR  1415803