ヤコビ三重積

数学において、ヤコビの三重積は次の恒等式です。

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n},}$

複素数xとyに対して、| x | < 1 かつy ≠ 0 となります。これは、Jacobi  (1829) が著書Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarumで導入しました。

ヤコビの三重積恒等式は、 A ₁型のアフィンルートシステムのマクドナルド恒等式であり、対応するアフィンカッツ・ムーディ代数のワイル分母公式です。

ヤコビの証明はオイラーの五角数定理に依存しており、それ自体がヤコビの三重積恒等式の特殊なケースです。

と とします。すると、 ${\displaystyle x=q{\sqrt {q}}}$${\displaystyle y^{2}=-{\sqrt {q}}}$

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.}$

ロジャース・ラマヌジャン恒等式は、 、、に従います。 ${\displaystyle x=q^{2}{\sqrt {q}}}$${\displaystyle y^{2}=-{\sqrt {q}}}$${\displaystyle x=q^{2}{\sqrt {q}}}$${\displaystyle y^{2}=-q{\sqrt {q}}}$

ヤコビの三重積により、ヤコビのシータ関数を次のように無限積として表すこともできます。

させて、${\displaystyle x=e^{i\pi \tau }}$${\displaystyle y=e^{i\pi z}.}$

するとヤコビのシータ関数

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {\rm {i}}n^{2}\tau +2\pi {\rm {i}}nz}}$

という形で書くことができる

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }y^{2n}x^{n^{2}}.}$

ヤコビの三重積の恒等式を用いると、シータ関数は次のように表される。

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2m\pi {\rm {i}}\tau }\right)\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau +2\pi {\rm {i}}z}\right]\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau -2\pi {\rm {i}}z}\right].}$

ヤコビ三重積を表現するのに使われる表記法は数多くある。q-ポッホハマー記号で表現すると簡潔な形になる。

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;\left(-{\tfrac {1}{z}};q\right)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty },}$

ここで、無限q -ポッホハマー記号です。 ${\displaystyle (a;q)_{\infty }}$

これ はラマヌジャンのシータ関数で表現すると特に美しい形になります。${\displaystyle |ab|<1}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}\;b^{\frac {n(n-1)}{2}}=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.}$

させて${\displaystyle f_{x}(y)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{-2}\right)}$

xyをyに代入し、新しい項を掛け合わせると、

${\displaystyle f_{x}(xy)={\frac {1+x^{-1}y^{-2}}{1+xy^{2}}}f_{x}(y)=x^{-1}y^{-2}f_{x}(y)}$

は に対して有理型なので、ローラン級数${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle |y|>0}$

${\displaystyle f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)y^{2n}}$

これは満たす

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)x^{2n+1}y^{2n}=xf_{x}(xy)=y^{-2}f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n+1}(x)y^{2n}}$

となることによって

${\displaystyle c_{n+1}(x)=c_{n}(x)x^{2n+1}=\dots =c_{0}(x)x^{(n+1)^{2}}}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle f_{x}(y)=c_{0}(x)\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n}}$

（の多項式xが1である）ことを示すのは技術的である。一つの方法は、分子と分母の両方を設定して示すこと である。${\displaystyle c_{0}(x)=1}$${\displaystyle y^{0}}$${\displaystyle y=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{c_{0}(e^{2i\pi z})}}={\frac {\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }e^{2i\pi n^{2}z}}{\prod \limits _{m=1}^{\infty }(1-e^{2i\pi mz})(1+e^{2i\pi (2m-1)z})^{2}}}}$

はに関して重み 1/2モジュラーですが、1 周期で上半平面上で有界であるため、商は となるように一定でなければなりません。 ${\displaystyle z\mapsto -{\frac {1}{4z}}}$${\displaystyle c_{0}(x)=c_{0}(0)=1}$

GEアンドリュースはオイラーの2つの恒等式に基づいて別の証明を与えている。 ^[1]

分析的なケースについては、アポストルを参照。^[2]

• ピーター・J・キャメロン著『組合せ論：トピック、テクニック、アルゴリズム』(1994年)ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-45761-0 
• Jacobi、CGJ (1829)、Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (ラテン語)、Königsberg: Borntraeger、ISBN 978-1-108-05200-9ケンブリッジ大学出版局2012年再版
• Carlitz , L (1962)、ヤコビのシータ公式に関する注記、アメリカ数学会
• ライト、EM (1965)、「ヤコビの恒等式の列挙的証明」、ロンドン数学協会誌、ロンドン数学協会: 55–57、doi :10.1112/jlms/s1-40.1.55