準周期関数

数学において、準周期関数とは、周期関数とある程度類似性を持つ関数である。^{[ 1 ]}関数${\displaystyle f}$準周期性を持つ準周期${\displaystyle \omega }$もし${\displaystyle f(z+\omega )=g(z,f(z))}$、 どこ${\displaystyle g}$は、より「単純な」関数です。${\displaystyle f}$「よりシンプルである」とはどういう意味なのかは曖昧だ。

単純なケース（算術準周期関数と呼ばれることもある）は、関数が次の式を満たす場合である。

${\displaystyle f(z+\omega )=f(z)+C}$

もう一つのケース（幾何学的準周期と呼ばれることもある）は、関数が次の式を満たす場合である。

${\displaystyle f(z+\omega )=Cf(z)}$

その一例としてヤコビのシータ関数があり、

${\displaystyle \vartheta (z+\tau$ ;\タウ )=e^{-2\pi iz-\pi i\タウ }\vartheta (z;\タウ ),}

固定値の場合、$\displaystyle \tau }$準周期性を持つ$\displaystyle \tau }$; また、周期 1 の周期関数でもあります。別の例として、ワイエルシュトラスのシグマ関数が挙げられます。 これは、対応するワイエルシュトラスの℘関数の周期である 2 つの独立した準周期で準周期的です。ブロッホの定理によれば、周期的なシュレーディンガー方程式 (またはその他の周期的な線形方程式) の固有関数は準周期的な形で見つけることができ、周期的な線形微分方程式の準周期的な解の関連形式はフロケ理論によって表現されます。

加法関数方程式を持つ関数

${\displaystyle f(z+\omega )=f(z)+az+b\ }$

これらは準周期関数とも呼ばれます。その例としてワイエルシュトラスのゼータ関数があり、

${\displaystyle \zeta (z+\omega ,\Lambda )=\zeta (z,\Lambda )+\eta (\omega ,\Lambda )\ }$

ωが対応するワイエルシュトラス℘関数の周期である場合、zに依存しないηについて。

特別な場合${\displaystyle f(z+\omega )=f(z)}$周期格子において、fは周期 ω を持つ周期関数であると言う。${\displaystyle \Lambda }$。

音声処理における準周期信号は、ここで定義する意味での準周期関数ではありません。むしろ、それらはほぼ周期的な関数の性質を持ち、その点については別の記事を参照してください。より曖昧で一般的な準周期性の概念は、数学的な意味での準周期関数とはさらに関連性が低いと言えます。

有用な例として、次の関数が挙げられます。

${\displaystyle f(z)=\sin(Az)+\sin(Bz)}$

比A ⁄ Bが有理数であれば、真の周期が存在するが、A ⁄ Bが無理数であれば、真の周期は存在せず、精度が徐々に高まる「ほぼ」の周期が連続して存在する。

• 準周期運動

• PlanetMathにおける準周期関数