q -θ関数

数学において、q-シータ関数（または修正ヤコビシータ関数）は、楕円超幾何級数を定義するために用いられるq級数の一種である。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}これは次のように与えられる。

${\displaystyle \theta (z;q):=\prod _{n=0}^{\infty }(1-q^{n}z)\left(1-q^{n+1}/z\right)}$

ここで、0 ≤ | q | < 1 とする。これは次の恒等式を満たす。    

${\displaystyle \theta (z;q)=\theta \left({\frac {q}{z}};q\right)=-z\theta \left({\frac {1}{z}};q\right).}$

それは次のように表現することもできます。

${\displaystyle \theta (z;q)=(z;q)_{\infty }(q/z;q)_{\infty }}$

どこ$\displaystyle (\cdot \cdot )_{\infty }}$はq-ポッホハンマー記号です。

• 楕円超幾何級数
• ヤコビのシータ関数
• ラマヌジャンのシータ関数