オイラー関数

数学において、オイラー関数は次のように定義される。

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}),\quad |q|<1.}$

レオンハルト・オイラーにちなんで名付けられたこのものは、 q系列の典型的な例であり、組み合わせ論と複素解析の関係の原型的な例を提供する。

係数​${\displaystyle p(k)}$形式的なべき級数展開では${\displaystyle 1/\phi (q)}$kの分割数を示します。つまり、

${\displaystyle {\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}}$

どこ${\displaystyle p}$は分割関数です。

オイラーの恒等式（五角数定理とも呼ばれる）は

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.}$

${\displaystyle (3n^{2}-n)/2}$は五角数です。

オイラー関数はデデキントイータ関数と次のような関係にある。

${\displaystyle \phi (e^{2\pi i\tau })=e^{-\pi i\tau /12}\eta (\tau ).}$

オイラー関数は、q-ポッホハマー記号として表現できる。

${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }.}$

オイラー関数の対数は、積の式に含まれる対数の和であり、それぞれの対数は q = 0 の周りで展開することができ、次の式が得られる。

${\displaystyle \ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}},}$

これは係数が -1/ nのランベルト級数である。したがって、オイラー関数の対数は次のように表すことができる。

${\displaystyle \ln(\phi (q))=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}q^{n}}$

どこ${\displaystyle b_{n}=-\sum _{d|n}{\frac {1}{d}}=}$-[1/1、3/2、4/3、7/4、6/5、12/6、8/7、15/8、13/9、18/10、...]（OEIS A000203を参照）

身元による${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d|n}d=\sum _{d|n}{\frac {n}{d}}}$、 どこ${\displaystyle \sigma (n)}$は除数の和関数であり、次のように書くこともできます。

${\displaystyle \ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n}}\ q^{n}}$。

また、${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{+}}$そして${\displaystyle ab=\pi ^{2}}$すると^{[ 1 ]}

${\displaystyle a^{1/4}e^{-a/12}\phi (e^{-2a})=b^{1/4}e^{-b/12}\phi (e^{-2b}).}$

次の恒等式はラマヌジャンのノートから来ています: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \phi (e^{-\pi })={\frac {e^{\pi /24}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-2\pi })={\frac {e^{\pi /12}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-4\pi })={\frac {e^{\pi /6}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{11}/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-8\pi })={\frac {e^{\pi /3}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{29/16}\pi ^{3/4}}}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}}$

五角数定理を用いて和と積分を交換し、複素解析的手法を適用すると、^{[ 3 ]が導かれる。}

${\displaystyle \int _{0}^{1}\phi (q)\,\mathrm {d} q={\frac {8{\sqrt {\frac {3}{23}}}\pi \sinh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{6}}\right)}{2\cosh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{3}}\right)-1}}.}$

• アポストル、トム M. (1976)、解析的整数論入門、数学学部教科書、ニューヨーク-ハイデルベルク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-90163-3MR 0434929、Zbl 0335.10001​