チューブドメイン

数学において、チューブ領域は、複素平面の垂直ストリップ（または半平面）の概念をいくつかの複素変数に一般化したものです。ストリップは、実部が実数の直線の特定のサブセットにあり、虚部が制約されていない複素数の集合と考えることができます。同様に、チューブは、実部が実数ベクトルの特定のコレクションにあり、虚部が制約されていない複素ベクトルの集合です。

チューブ領域は、複数の実変数の関数のラプラス変換の領域である（多次元ラプラス変換を参照）。 チューブ上のハーディ空間は、1つの変数からのペイリー–ウィーナー定理のバージョンが引き続き成立するような方法で定義でき、ハーディ空間の要素を適切な積分可能性を持つ関数のラプラス変換として特徴付ける。凸集合上のチューブは正則領域である。凸円錐上のチューブ上のハーディ空間は特に豊富な構造を持っているため、 H ^p関数の境界値に関する正確な結果がわかっている。数理物理学では、未来チューブはミンコフスキー空間内の過去ヌル円錐の内部に関連付けられたチューブ領域であり、相対性理論や量子重力に応用されている。^[1]円錐上の特定のチューブは、ベルクマン計量をサポートし、それによって有界対称領域になる。これらの1つは、算術で基本的なジーゲル半空間である。

R ^{n を}n次元の実座標空間、C ^{n を}複素座標空間とします。C nの^任意の要素は実部と虚部に分解できます。

${\displaystyle a=(z_{1},\dots ,z_{n})=(x_{1}+iy_{1},\dots ,x_{n}+iy_{n})=(x_{1},\dots ,x_{n})+i(y_{1},\dots ,y_{n})=x+iy.}$

A をR ⁿの開集合とする。A上の管(TAと表記₎は、実部がAに含まれるすべての要素からなるC ⁿの集合である: ^{[2] [a]}

${\displaystyle T_{A}=\{z=x+iy\in \mathbb {C} ^{n}\mid x\in A\}.}$

Aが連結な開集合であると仮定する。チューブT _A内で正則な任意の複素数値関数は、チューブch T _Aの凸包上の正則関数に一意に拡張することができ、^[2]チューブもチューブであり、実際

${\displaystyle \operatorname {ch} \,T_{A}=T_{\operatorname {ch} \,A}.}$

任意の凸開集合は正則化の定義域（正則凸）であるため、凸管も正則化の定義域である。したがって、任意の管の正則包はその凸包に等しい。^{[3] [4]}

AをR ⁿの開集合とする。ハーディ空間H ^p ( TA )は_、 TAのすべての正則関数Fの集合であり _、  

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|F(x+iy)|^{p}\,dy<\infty }$

A内のすべてのxについて。

p  = 2の特別な場合、 H ² ( T _A )の関数は次のように特徴付けられる。^[5] ƒ をR ⁿ上の複素数値関数とし、

${\displaystyle \sup _{x\in A}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(t)|^{2}e^{-4\pi x\cdot t}\,dt<\infty .}$

ƒのフーリエ・ラプラス変換は次のように定義される。

${\displaystyle F(x+iy)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi z\cdot t}f(t)\,dt.}$

すると、F は明確に定義され、H ² ( T _A ) に属します。逆に、H ² ( T _A ) のすべての要素はこの形式を持ちます。

この特徴付けの帰結は、 Aに直線が含まれていない 場合に限り、H ² ( T _A ) にゼロ以外の関数が含まれるということです。

A をR ⁿの開いた凸錐とします。これは、Aが開いた 凸集合であり、 x がAに含まれるときはいつでも、原点からxまでの直線全体が A に含まれることを意味します。記号的に言えば、

${\displaystyle x\in A\implies tx\in A\ \ \ {\text{for all}}\ t>0.}$

Aが円錐の場合、 H ₂ ( T _A )の元は^[5]の意味でL ^{2境界極限を持つ。}

${\displaystyle \lim _{y\to 0}F(x+iy)}$

L ² ( B )に存在します。H p ( T _{A ) に}^も同様の結果が得られますが、円錐の追加の正則性が必要になります (具体的には、双対円錐A * は空でない内部を持つ必要があります)。

• ラインハルト領
• シーゲルドメイン