標準化された瞬間

確率論と統計学において、確率分布の標準化モーメントとは、通常標準偏差の累乗で正規化されたモーメント（多くの場合、高次中心モーメント）であり、モーメントスケールが不変となる。標準化モーメントを使用することで、異なる確率分布の形状を比較することができる。^[1]

X を確率分布Pと平均値（つまりゼロに関する最初の生モーメントまたはモーメント）を持つランダム変数とし、演算子 E はXの期待値を表す。すると、k次の標準化モーメントは^{[2] 、つまり}平均に関するk番目のモーメントの比である。${\textstyle \mu =\mathrm {E} [X]}$${\displaystyle {\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}},}$

${\displaystyle \mu _{k}=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{k}P(x)\,dx,}$

標準偏差のk乗、

${\displaystyle \sigma ^{k}=\mu _{2}^{k/2}=\left({\sqrt {\mathrm {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}}\right)^{k}.}$

kのべき乗は、モーメントがk次同次関数であることを意味するスケールであるため、標準化モーメントはスケール不変です。これは、モーメントが次元を持つためであるとも理解できます。標準化モーメントを定義する上記の比では、次元が打ち消されるため、それらは無次元数です。 ${\displaystyle x^{k},}$${\displaystyle \mu _{k}(\lambda X)=\lambda ^{k}\mu _{k}(X):}$

最初の 4 つの標準化されたモーメントは次のように記述できます。

歪度と尖度については、それぞれ第 3 および第 4キュムラントに基づいた代替定義が存在します。

分布の特性を表すもう 1 つのスケール不変の無次元の尺度は、変動係数です。ただし、これは標準化されたモーメントではありません。第一に、これは逆数であり、第二に、はゼロ (平均) に関する第 1 モーメントであり、平均 (ゼロ) に関する第 1 モーメントではないためです。 ${\displaystyle {\frac {\sigma }{\mu }}}$${\displaystyle \mu }$

さらなる正規化比率については、 「正規化 (統計)」を参照してください。

• 変動係数
• モーメント（数学）
• 中心的瞬間
• 標準スコア § その他の正規化