等角異常

共形異常、スケール異常、トレース異常、またはワイル異常は異常、つまり古典理論の共形対称性を破る量子現象です。

量子場理論では、プランク定数を設定すると${\displaystyle \hbar }$ゼロの場合、ファインマンツリー図のみが存在し、これは「古典的」理論（古典場理論のフレドホルム理論に相当）です。1ループ（Nループ）ファインマン図は、${\displaystyle \hbar }$（$\displaystyle \hbar ^{N}}$) 電流が古典的に保存される場合 (${\displaystyle \hbar =0}$）しかし量子場理論ではループレベルで乖離が生じる（${\displaystyle \propto \hbar }$)、異常があると言う。有名な例としては、軸電流異常がある。質量のないフェルミオンは古典的には保存される軸電流を持つが、ゲージ場が存在するとゼロでない発散が生じる。

スケール不変理論、すなわち質量スケールが存在しない理論では、「スケール電流」と呼ばれる保存されたネーター電流が存在する。これは時空の座標にスケール変換を施すことによって得られる。スケール電流の発散は、応力テンソルのトレースとなる。質量スケールが存在しない場合、応力テンソルのトレースはゼロになる（${\displaystyle \hbar =0}$したがって、電流は「古典的に保存」され、理論は古典的にスケール不変です。しかし、ループレベルでは、スケール電流はゼロでない発散を起こす可能性があります。これは「スケール異常」または「トレース異常」と呼ばれ、量子力学による質量の生成を表します。これは、異なる質量スケールで見た場合の繰り込み群、または「結合定数のランニング」に関連しています。

これは重力に言及せずに定式化することもできますが、一般相対性理論を考慮するとより強力になります。任意の背景計量を持つ古典的な共形理論は、背景計量や他の物質場のリスケールに対して不変な作用を持ち、これはワイル変換と呼ばれます。座標をリスケールすると、これは一般的な座標変換となり、一般相対性理論の厳密な対称性である一般共変性と融合するため、スケール対称性を定式化する不十分な方法となることに注意してください（一般共変性は保存される応力テンソルを意味します。「重力異常」は一般共変性の量子的な破綻を表し、ワイル（スケール）不変性と混同してはなりません）。

しかし、ワイル変換では理論の座標を再スケーリングするのではなく、計量と他の物質場を再スケーリングします。ワイルの意味では、質量（または長さ）は計量によって定義され、座標は単にスケールのない帳簿装置です。したがって、重力が組み込まれた場合、ワイル対称性はスケール対称性の正しい記述であり、ワイル電流が保存されます。4次元におけるワイル対称性の自発的破れに関する文献は膨大にあり、インフレーションとともに動的に生成されるプランク質量につながります。これらの理論は観測宇宙論とよく一致しているようです。^{[ 1 ] [ 2 ]}

共形量子論とは、経路積分、すなわち分配関数が、計量（および他の場）のスケーリングによって変化しない理論のことである。作用の背景計量に対する変化は応力テンソルに比例し、したがって共形スケーリングに対する変化は応力テンソルのトレースに比例する。結果として、共形不変な理論では応力テンソルのトレースはゼロでなければならない。応力テンソルのトレースは、ワイル電流の発散において異常として現れ、それによって理論のワイル（またはスケール）不変性が破られる。

カイラル極限における量子色力学では、古典理論には質量スケールがないため、共形対称性があります。素朴に考えると、クォークの運動エネルギーと位置エネルギーが相対論的ビリアル定理によって相殺されるため、陽子はほぼ質量がないと予想されます。^{[ 3 ]} しかし、量子の場合、共形異常によって対称性が破れます。^{[ 4 ]}これにより、色閉じ込めが発生し、ハドロンの質量を決定する スケールと、カイラル対称性の破れの現象が導入されます。異常（陽子質量の約 20% に寄与すると考えられている^{[ 5 ] [ 6 ]}）の他に、残りは、約 17% に寄与すると考えられている軽いクォークのシグマ項（つまり、クォークがトレース異常とは関係のない小さな非ゼロ質量を持っているという事実）と、陽子質量のそれぞれ約 29% と 34% に寄与すると考えられているクォークとグルーオンのエネルギーに起因すると考えられます。^{[ 5 ] [ 6 ]}したがって、QCD は、トレース異常、クォークとグルーオンのエネルギー、およびシグマ項を介して、宇宙の通常の物質 の質量の 99% 以上を担っており、ヒッグス機構は、主に u クォーク、d クォーク、および電子の質量を介して、直接 1% 未満しか寄与していません。

シドニー・コールマンとエリック・ワインバーグは、基本的なヒッグススカラーを含む電弱相互作用の自発的対称性の破れがファインマンズループを介してどのように起こるか を示した。 ^{[ 7 ]}さらに、著者らは繰り込み群 を使用して計算結果を「改善」する方法を示した。実際、コールマン・ワインバーグ機構は、4次ヒッグス結合の繰り込み群ランニングに完全に遡ることができる。${\displaystyle \lambda }$結果として得られるコールマン・ワインバーグポテンシャルは、関連する${\displaystyle \beta }$-関数、一方トレース異常は次のように与えられる。${\displaystyle \beta (\lambda )/\lambda }$したがって、コールマン・ワインバーグポテンシャルは、トレース異常から直接生じるものと見なすことができる。 ^{[ 8 ]}

自然界のすべての質量は微量異常によって生成されるため、量子力学のみによって生成されると推測されている。 ^{[ 9 ]}

弦理論は、質量を持つ「弦定数」で定義されているため、古典的なスケール不変性を持ちません。弦理論では、ワールドシート上の共形対称性は局所的なワイル対称性です。また、2次元では潜在的な重力異常が存在し、理論が整合性を保つためにはこの異常が相殺されなければなりません。重力異常の相殺が必要とされるということは、時空の次元が臨界次元に等しくなければならないことを意味します。臨界次元とは、ボソン弦理論の場合は26 、超弦理論の場合は10です。このケースは臨界弦理論と呼ばれます。

非臨界弦理論と呼ばれる代替アプローチがあり、ボソン理論では時空次元が26未満、超弦理論では10未満、つまり4次元の場合もこの文脈では妥当である。しかし、平坦な空間が有効な背景であるといった直感的な仮定は放棄する必要がある。^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

• 異常現象（物理学）
• 電荷（物理学）
• 中央充電
• 異常なスケーリング次元
• 次元変換