稜線検出

画像処理において、隆線検出とは、ソフトウェアを用いて画像中の隆線を特定しようとする試みであり、隆線とは、地理的な尾根に似た、関数の局所最大値となる点を持つ曲線として定義される。

N変数の関数の場合、そのリッジは、 N − 1 次元で局所最大値となる点を持つ曲線の集合です。この点において、リッジ点の概念は局所最大値の概念を拡張したものです。同様に、関数のバレーの概念は、局所最大値の条件を局所最小値の条件に置き換えることで定義できます。リッジ集合とバレー集合の和集合は、コネクター集合と呼ばれる関連する点の集合とともに、関数の臨界点で分割、交差、または交わる曲線の連結集合を形成します。この集合の和集合は、関数の相対臨界集合と呼ばれます。^{[ 1 ] [ 2 ]}

リッジセット、バレーセット、および相対臨界セットは、関数に固有の重要な幾何学的情報を表します。ある意味では、これらは関数の重要な特徴をコンパクトに表現しますが、関数の全体的な特徴を決定するためにどの程度使用できるかは未解決の問題です。 リッジ検出とバレー検出手順の作成の主な動機は、画像解析とコンピュータビジョンから来ており 、画像領域内の細長いオブジェクトの内部を捉えることです。ウォーターシェッドの観点からのリッジ関連の表現は、画像セグメンテーションに使用されてきました。また、画像領域内のリッジ、バレー、臨界点を反映するグラフベースの表現によってオブジェクトの形状を捉える試みもありました。ただし、このような表現は、単一のスケールでのみ計算すると、ノイズに非常に敏感になる可能性があります。スケール空間理論の計算にはガウス（平滑化）カーネルとの畳み込みが含まれるため、スケール空間理論のコンテキストでマルチスケールのリッジ、バレー、臨界点を使用することで、画像内のオブジェクト（または形状）をより堅牢に表現できると期待されてきました。

この点において、尾根と谷は、自然の特徴点や局所的な極値点を補完するものと見なすことができます。適切な概念定義を用いることで、輝度ランドスケープ（または輝度ランドスケープから派生した他の表現）における尾根と谷は、局所的な外観に対する空間的制約を整理するためのスケール不変の骨格を形成することができ、その点では、ブルムのメディアル軸変換が二値画像の形状骨格を提供する方法と多くの質的な類似点があります。典型的な応用例では、尾根と谷の記述子は、航空写真における道路の検出や、網膜画像または3次元磁気共鳴画像における血管の検出によく使用されます。

させて${\displaystyle f(x,y)}$は2次元関数を表し、${\displaystyle L}$スケール空間表現${\displaystyle f(x,y)}$畳み込みによって得られる${\displaystyle f(x,y)}$ガウス関数を用いて

${\displaystyle g(x,y,t)={\frac {1}{2\pi t}}e^{-(x^{2}+y^{2})/2t}}$。

さらに、 ${\displaystyle L_{pp}}$そして${\displaystyle L_{qq}}$ヘッセ行列の固有値を表す

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}L_{xx}&L_{xy}\\L_{xy}&L_{yy}\end{bmatrix}}}$

スケール空間表現の${\displaystyle L}$局所方向微分演算子に座標変換（回転）を適用すると、

${\displaystyle \partial _{p}=\sin \beta \partial _{x}-\cos \beta \partial _{y},\partial _{q}=\cos \beta \partial _{x}+\sin \beta \partial _{y}}$

ここで、pとqは回転座標系の座標である。

混合微分は${\displaystyle L_{pq}}$変換された座標系では、選択するとゼロになります。

${\displaystyle \cos \beta ={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {L_{xx}-L_{yy}}{\sqrt {(L_{xx}-L_{yy})^{2}+4L_{xy}^{2}}}}\right)}}}$、${\displaystyle \sin \beta =\operatorname {sgn}(L_{xy}){\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {L_{xx}-L_{yy}}{\sqrt {(L_{xx}-L_{yy})^{2}+4L_{xy}^{2}}}}\right)}}}$。

次に、リッジの形式的な微分幾何学的定義${\displaystyle f(x,y)}$一定のスケールで${\displaystyle t}$^{[ 3 ]}を満たす点の集合として表現できる。

${\displaystyle L_{p}=0,L_{pp}\leq 0,|L_{pp}|\geq |L_{qq}|.}$

それに応じて、${\displaystyle f(x,y)}$大規模に${\displaystyle t}$点の集合

${\displaystyle L_{q}=0,L_{qq}\geq 0,|L_{qq}|\geq |L_{pp}|.}$

の観点から${\displaystyle (u,v)}$座標系と${\displaystyle v}$画像勾配に平行な方向

${\displaystyle \partial _{u}=\sin \alpha \partial _{x}-\cos \alpha \partial _{y},\partial _{v}=\cos \alpha \partial _{x}+\sin \alpha \partial _{y}}$

どこ

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {L_{x}}{\sqrt {L_{x}^{2}+L_{y}^{2}}}},\sin \alpha ={\frac {L_{y}}{\sqrt {L_{x}^{2}+L_{y}^{2}}}}$

^{この尾根と谷の定義は、代わりに[ 4 ]}次のように同等に記述できることが示されています。

${\displaystyle L_{uv}=0,L_{uu}^{2}-L_{vv}^{2}\geq 0}$

どこ

${\displaystyle L_{v}^{2}L_{uu}=L_{x}^{2}L_{yy}-2L_{x}L_{y}L_{xy}+L_{y}^{2}L_{xx},}$

${\displaystyle L_{v}^{2}L_{uv}=L_{x}L_{y}(L_{xx}-L_{yy})-(L_{x}^{2}-L_{y}^{2})L_{xy},}$

${\displaystyle L_{v}^{2}L_{vv}=L_{x}^{2}L_{xx}+2L_{x}L_{y}L_{xy}+L_{y}^{2}L_{yy}}$

そしてその兆候${\displaystyle L_{uu}}$極性を決定する。${\displaystyle L_{uu}<0}$尾根と${\displaystyle L_{uu}>0}$谷のために。

上述の固定スケールリッジ定義の主な問題点は、スケールレベルの選択に非常に敏感であることです。実験によると、リッジ検出器が基となる画像構造を反映した連結曲線を生成するためには、ガウス前処理カーネルのスケールパラメータを画像領域におけるリッジ構造の幅に慎重に調整する必要があることが示されています。事前情報がない場合にこの問題を解決するために、スケール空間リッジの概念が導入されました。これは、スケールパラメータをリッジ定義の固有の特性として扱い、スケールレベルがスケール空間リッジに沿って変化することを可能にします。さらに、スケール空間リッジの概念では、スケールパラメータを画像領域におけるリッジ構造の幅に自動的に調整することも可能であり、これは明確に定義された結果として実現されます。文献では、この考え方に基づいてさまざまなアプローチが提案されています。

させて${\displaystyle R(x,y,t)}$は隆線強度の尺度を表す（以下で指定する）。すると、2次元画像の場合、スケール空間隆線は、以下の条件を満たす点の集合となる。

${\displaystyle L_{p}=0,L_{pp}\leq 0,\partial _{t}(R)=0,\partial _{tt}(R)\leq 0,}$

どこ${\displaystyle t}$はスケール空間表現におけるスケールパラメータです。同様に、スケール空間の谷は、を満たす点の集合です。

${\displaystyle L_{q}=0,L_{qq}\geq 0,\partial _{t}(R)=0,\partial _{tt}(R)\leq 0.}$

この定義の直接的な結果として、2次元画像の場合、スケール空間リッジの概念は、3次元スケール空間における一連の1次元曲線を描き出し、スケールパラメータはスケール空間リッジ（またはスケール空間バレー）に沿って変化することが許容されます。画像領域におけるリッジ記述子は、この3次元曲線を2次元画像平面に投影したものであり、各リッジ点における属性スケール情報は、その点の近傍における画像領域のリッジ構造の幅を自然に推定するために使用できます。

文献では、隆線の強度を測るさまざまな方法が提案されている。リンデバーグ（1996、1998）^{[ 5 ]}がスケール空間隆線という用語を造語したとき、彼は隆線の強度を測る3つの方法を検討した。

• 主曲率

${\displaystyle L_{pp,\gamma -norm}={\frac {t^{\gamma }}{2}}\left(L_{xx}+L_{yy}-{\sqrt {(L_{xx}-L_{yy})^{2}+4L_{xy}^{2}}}\right)}$

の形で表現すると${\displaystyle \gamma }$- 正規化された導関数

${\displaystyle \partial _{\xi }=t^{\gamma /2}\partial _{x},\partial _{\eta }=t^{\gamma /2}\partial _{y}}$。

• の二乗${\displaystyle \gamma }$正規化された二乗固有値差

${\displaystyle N_{\gamma -norm}=\left(L_{pp,\gamma -norm}^{2}-L_{qq,\gamma -norm}^{2}\right)^{2}=t^{4\gamma }(L_{xx}+L_{yy})^{2}\left((L_{xx}-L_{yy})^{2}+4L_{xy}^{2}\right).}$

• の二乗${\displaystyle \gamma }$正規化された固有値差

${\displaystyle A_{\gamma -norm}=\left(L_{pp,\gamma -norm}-L_{qq,\gamma -norm}\right)^{2}=t^{2\gamma }\left((L_{xx}-L_{yy})^{2}+4L_{xy}^{2}\right).}$

という概念${\displaystyle \gamma }$正規化された微分は、リッジおよびバレー検出器アルゴリズムを適切に較正できるため、ここで不可欠です。2次元（または3次元）に埋め込まれた1次元ガウスリッジの場合、検出スケールは長さ単位で測定したリッジ構造の幅と等しくなければならない（検出フィルタのサイズとそれが応答する画像構造との一致の要件）という要件により、次の値を選択する必要があります。${\displaystyle \gamma =3/4}$これら３つの隆線強度測定法のうち、最初の要素は${\displaystyle L_{pp,\gamma -norm}}$は、血管検出や道路抽出など多くの用途を持つ汎用的な隆線強度測定法です。しかしながら、この実体は${\displaystyle A_{\gamma -norm}}$^{指紋強調[ 6 ]} 、リアルタイムの手追跡およびジェスチャー認識^{[ 7 ]}などのアプリケーションで使用されているほか、画像やビデオ内の人間を検出および追跡するためのローカル画像統計のモデリングにも使用されています。^{[ 8 ]}

また、正規化された導関数を暗黙の仮定のもとで使用する、密接に関連する他のリッジ定義も存在する。${\displaystyle \gamma =1}$^{[ 9 ]}これらのアプローチをさらに詳しく開発する。隆線を検出する際には、${\displaystyle \gamma =1}$しかし、検出スケールは、${\displaystyle \gamma =3/4}$その結果、形状の歪みが増加し、画像領域内の近傍に干渉する画像構造があるため、稜線や谷を捉える能力が低下する。

デジタル画像における隆起と谷の概念は、1983年にHaralickによって導入され^{[ 10 ]}、1984年にはCrowleyによってガウスピラミッドの差分に関して導入された^{[ 11 ] [ 12 ]。}隆起記述子の医療画像解析への応用は、Pizerとその共同研究者によって広く研究され^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}、M-repsの概念につながった^{[ 16 ]} 。隆起検出は、Lindebergによっても導入され、${\displaystyle \gamma }$-正規化された導関数とスケール空間リッジは、空間とスケールにわたって適切に正規化されたヘッセ行列の主曲率(またはリッジ強度の他の尺度) の局所最大化から定義されます。これらの概念は後に Steger ら^{[ 17 ] [ 18 ]による道路抽出、Frangi ら[ 19 ]}による血管セグメンテーション、 Sato ら^{[ 20 ]}および Krissian ら^{[ 21} ]による曲線および管状構造の検出への応用で発展しました。固定スケールでの古典的なリッジ定義のいくつかとその間の関係についての概説は Koenderink と van Doorn によって提供されています。^{[ 22 ]血管抽出}技術の概説は Kirbas と Quek によって提示されています。^{[ 23 ]}

最も広い意味では、リッジの概念は実数値関数の局所最大値の考え方を一般化したものである。${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$関数の定義域において${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$距離が存在する場合、それは関数の局所最大値である。${\displaystyle \delta >0}$もし${\displaystyle \mathbf {x} }$内にある${\displaystyle \delta }$単位${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$、 それから${\displaystyle f(\mathbf {x} )<f(\mathbf {x} _{0})}$局所最大値はその一例にすぎないが、臨界点は、ごくまれな状況（つまり、非一般的な場合）を除いて、関数の定義域内の孤立点であることはよく知られている。

条件を緩和することを検討してください${\displaystyle f(\mathbf {x} )<f(\mathbf {x} _{0})}$のために${\displaystyle \mathbf {x} }$近隣一帯で${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$少しだけ、このホールドを要求します${\displaystyle n-1}$次元部分集合。おそらくこの緩和により、基準を満たす点の集合（これをリッジと呼ぶ）は、少なくとも一般的な場合には、単一の自由度を持つことになる。つまり、リッジ点の集合は1次元の軌跡、すなわちリッジ曲線を形成する。なお、上記の考え方を局所最小値に一般化することで、1次元の谷曲線と呼ばれるものが得られることに注意されたい。

^{以下の稜線の定義は、Eberly [ 24 ]}の著書に準拠しており、上述の稜線の定義の一部を一般化したものと考えることができます。${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$開集合であり、${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} }$スムーズに。${\displaystyle \mathbf {x} _{0}\in U}$。 させて${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} _{0}}f}$勾配は${\displaystyle f}$で${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$、そして${\displaystyle H_{\mathbf {x} _{0}}(f)}$になる${\displaystyle n\times n}$ヘッセ行列${\displaystyle f}$で${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$。 させて ${\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots \leq \lambda _{n}}$になる${\displaystyle n}$順序付けられた固有値${\displaystyle H_{\mathbf {x} _{0}}(f)}$そして${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$の固有空間における単位固有ベクトルとなる。${\displaystyle \lambda _{i}}$（この場合、すべての固有値は互いに異なると仮定する必要がある。）

要点${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$は、1 次元の尾根上の点である。${\displaystyle f}$以下の条件が満たされる場合：

1. ${\displaystyle \lambda _{n-1}<0}$、 そして
2. ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} _{0}}f\cdot \mathbf {e} _{i}=0}$のために${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n-1}$。

これにより、次の概念が明確になります。${\displaystyle f}$この特定の${\displaystyle n-1}$次元部分空間は、で局所最大値を持つ。${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$。

この定義は、次のようにk次元リッジに自然に一般化されます。${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$は、 k次元の尾根上の点である。${\displaystyle f}$以下の条件が満たされる場合：

1. ${\displaystyle \lambda _{n-k}<0}$、 そして
2. ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} _{0}}f\cdot \mathbf {e} _{i}=0}$のために${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n-k}$。

多くの点で、これらの定義は関数の局所最大値の定義を自然に一般化しています。最大凸性リッジの性質は、Damon ^{[ 1 ]と Miller [ 2 ]}によって確固たる数学的基盤の上に築かれました。1 パラメータ族におけるそれらの性質は Keller ^{[ 25 ]によって確立されました。}

以下の定義は、2次元グレースケール画像内の図形に関する幾何学的情報を抽出することに関心を持っていたFritsch ^{[ 26 ]}に遡ることができます。Fritschは、スケール空間における「境界からの距離」データに類似した情報を得る「メディアルネス」フィルターで画像をフィルタリングしました。この画像の稜線は、元の画像に投影されると、元の画像の形状骨格（例えば、Blumのメディアル軸）に類似するものとなります。

以下は、3つの変数を持つ関数の最大スケールリッジの定義であり、そのうちの1つは「スケール」パラメータです。この定義において真であるべきことの1つは、${\displaystyle (\mathbf {x} ,\sigma )}$がこの尾根上の点である場合、その点における関数の値はスケール次元で最大となる。${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\sigma )}$滑らかで微分可能な関数である${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{+}}$.${\displaystyle (\mathbf {x} ,\sigma )}$最大スケールリッジ上の点であるのは、

1. ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \sigma }}=0}$そして${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}<0}$、 そして
2. ${\displaystyle \nabla f\cdot \mathbf {e} _{1}=0}$そして${\displaystyle \mathbf {e} _{1}^{t}H(f)\mathbf {e} _{1}<0}$。

隆線検出の目的は通常、細長い物体の主対称軸を捉えることであり、一方、エッジ検出の目的は通常、物体の境界を捉えることである。しかし、エッジ検出に関する文献の中には、隆線の概念を誤ってエッジの概念に含めているものがあり、状況を混乱させている。

定義の観点から見ると、エッジ検出器とリッジ検出器の間には密接な関係があります。Canny ^{[ 27 ]}による非最大値の定式化によれば、エッジは勾配方向において勾配の大きさが局所最大値をとる点として定義されます。この定義を微分幾何学的に表現する方法^{[ 28 ]}に従うと、上記のように${\displaystyle (u,v)}$-座標系は、スケール空間表現の勾配の大きさが、1 階方向微分に等しいことを示しています。${\displaystyle v}$-方向${\displaystyle L_{v}}$は、1 階方向微分が${\displaystyle v}$方向はゼロに等しい

${\displaystyle \partial _{v}(L_{v})=0}$

2 次方向微分では${\displaystyle v}$-方向${\displaystyle L_{v}}$負の値であるべきです。つまり、

${\displaystyle \partial _{vv}(L_{v})\leq 0}$。

局所偏微分を用いた明示的な式として書き出す${\displaystyle L_{x}}$、${\displaystyle L_{y}}$...${\displaystyle L_{yyy}}$このエッジ定義は、微分不変量のゼロ交差曲線として表現できます。

${\displaystyle L_{v}^{2}L_{vv}=L_{x}^{2}\,L_{xx}+2\,L_{x}\,L_{y}\,L_{xy}+L_{y}^{2}\,L_{yy}=0,}$

以下の微分不変量に関する符号条件を満たすもの

${\displaystyle L_{v}^{3}L_{vvv}=L_{x}^{3}\,L_{xxx}+3\,L_{x}^{2}\,L_{y}\,L_{xxy}+3\,L_{x}\,L_{y}^{2}\,L_{xyy}+L_{y}^{3}\,L_{yyy}\leq 0}$

（詳細はエッジ検出に関する記事を参照してください。）なお、このようにして得られるエッジは、勾配の大きさの稜線に相当します。

• ブロブ検出
• コンピュータビジョン
• エッジ検出
• 特徴検出（コンピュータビジョン）
• 関心点検出
• スケール空間