論理双条件

論理学と数学において、論理的双条件文は、物質的双条件文、同値、双含意、双含意とも呼ばれ、2つの文を結合して「～の場合に限り」（「iff」と略されることが多い[1]）という文を形成するために使用される論理接続子である。ここで、は^前提、は結論と呼ばれる。 [ 2 ] ^{[ 3]}${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

現在、同値性を表す表記法には が含まれます。 ${\displaystyle \leftrightarrow ,\Leftrightarrow ,\equiv }$

${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$は、 およびと、どちらもないという意味の XNOR (排他的論理和)ブール演算子と論理的に同等です。${\displaystyle (P\rightarrow Q)\land (Q\rightarrow P)}$${\displaystyle (P\land Q)\lor (\neg P\land \neg Q)}$

意味的に、論理的二条件文が物質的条件文と異なる唯一のケースは、仮説（前提）が偽だが結論（帰結）が真である場合である。この場合、結果は条件文については真であるが、二条件文については偽である。^[2]

概念的解釈では、P = Q は「すべてのPはQであり、すべてのQはPである」という意味です。言い換えると、集合PとQ は一致します。つまり、それらは同一です。ただし、これはPとQ が同じ意味を持つ必要があるという意味ではありません(たとえば、 P は「正三角形」で、Q は「正三角形」である可能性があります)。文として表現する場合、先行詞は主語であり、後続詞は普遍的肯定命題の述語です(たとえば、「すべての人間は死ぬ」という句では、「人間」が主語で、「死ぬ」が述語です)。

命題解釈では、はP がQ を暗示し、Q がP を暗示することを意味します。言い換えると、命題は論理的に同等であり、両方が共に真であるか共に偽であるかのいずれかです。繰り返しますが、これはそれらが同じ意味を持つ必要があることを意味しません。P は「三角形 ABC には 2 つの等しい辺がある」で、 Qは「三角形 ABC には 2 つの等しい角度がある」である可能性があります。一般に、先行条件は前提、または原因であり、後続条件は結果です。含意が仮説的(または条件付き) 判断によって翻訳される場合、先行条件は仮説(または条件) と呼ばれ、後続条件は命題と呼ばれます。 ${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$

形式の双条件文を証明する一般的な方法は、と を別々を証明することです（2つの逆条件文の連言と同等であるため^[2]）。同じ双条件文を証明するもう1つの方法は、と を証明することです。 ${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$${\displaystyle P\rightarrow Q}$${\displaystyle Q\rightarrow P}$${\displaystyle P\rightarrow Q}$${\displaystyle \neg P\rightarrow \neg Q}$

双条件文の両方の要素が命題である場合、それは 2 つの条件文に分けることができ、そのうちの 1 つは定理と呼ばれ、もう 1 つはその逆数と呼ばれます。^[要出典]したがって、定理とその逆数が真である場合は常に、双条件文が存在します。単純な定理は含意を生み出し、その前提は仮説であり、その帰結は定理の 命題です。

仮説は命題の十分条件であり、命題は仮説の必要条件であるとよく言われます。つまり、命題が真であるためには仮説が真であることで十分ですが、仮説が真であれば命題が真であることが必要です。定理とその逆が真である場合、その仮説は命題の必要かつ十分な条件であると言われます。つまり、仮説は命題の原因であると同時に結果でもあります。

履歴で使用される同等性を表す表記には次のものがあります。

• ${\displaystyle =}$1847年にジョージ・ブールによって提唱されました^。[4]ブールは主にクラスについて議論しましたが、が の命題である場合も考慮し、その時点では は同値でした。${\displaystyle =}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle =}$
• ${\displaystyle \equiv }$1879年にフレーゲで^[5]
• ${\displaystyle \sim }$1918年にバーネイズで^[6]
• ${\displaystyle \rightleftarrows }$1927年にヒルベルトが論文の中で主要な記号として使ったもの^[7]${\displaystyle \sim }$
• ${\displaystyle \leftrightarrow }$1928年にヒルベルトとアッカーマンによって導入された^[8]（彼らはまた、本全体の主要な記号としてそれを使用して導入し、 1933年にベッカーなどの多くの追随者によって採用された^[9]）。${\displaystyle \rightleftarrows ,\sim }$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle \leftrightarrow }$
• ${\displaystyle E}$(接頭辞) は1929 年のウカシェヴィチ^[10]、(接頭辞) は 1951 年のウカシェヴィチ。^[11]${\displaystyle Q}$
• ${\displaystyle \supset \subset }$1930年にヘイティングで^[12]
• ${\displaystyle \Leftrightarrow }$1954年にブルバキで発表された^[13]
• ${\displaystyle \subset \supset }$1996年にチャザルで^[14]

など。他にも時々または を使用する人がいます。 ^{[引用が必要] [曖昧] [明確化が必要]}${\displaystyle \operatorname {EQ} }$${\displaystyle \operatorname {EQV} }$

論理等価性（双条件とも呼ばれる）は、 2つの論理値（通常は2つの命題の値）に対する演算であり、両方のオペランドが偽であるか、両方のオペランドが真の場合にのみ、真の値を生成します。 ^[2]

以下は の真理値表です。 ${\displaystyle A\leftrightarrow B}$

2つ以上の文が関係する場合、それらを結合すると曖昧になることがあります。たとえば、 ${\displaystyle \leftrightarrow }$

${\displaystyle x_{1}\leftrightarrow x_{2}\leftrightarrow x_{3}\leftrightarrow \cdots \leftrightarrow x_{n}}$

次のように解釈できる。

${\displaystyle (((x_{1}\leftrightarrow x_{2})\leftrightarrow x_{3})\leftrightarrow \cdots )\leftrightarrow x_{n}}$、

または、すべてのx _iが共に真であるか共に偽であると解釈することもできます。

${\displaystyle (x_{1}\land \cdots \land x_{n})\lor (\neg x_{1}\land \cdots \land \neg x_{n})}$

結局のところ、これら 2 つのステートメントは同じになるのは、引数が 0 個または 2 個のときだけです。実際、次の真理値表では、引数のない行と引数が 2 個の行でのみ同じビット パターンが示されています。

下の左側のベン図とこれらの行列内の線(AB )は同じ操作を表します。

赤い部分は真実を表します（およびの場合)。

交換性: はい

関連性: はい

分配性: 双条件式はどのバイナリ関数にも分配されません (それ自体にも分配されません) が、論理和は双条件式にも分配されます。

冪等性: いいえ

単調性: いいえ

真理値の保持: はい
すべての入力が真の場合、出力も真になります。

偽りの保持: いいえ
すべての入力が偽の場合、出力は偽になりません。

ウォルシュスペクトル: (2,0,0,2)

非線形性: 0 (関数は線形)

第一階述語論理のすべての接続詞と同様に、双条件文には、形式的な証明での使用を規定する推論規則があります。

双条件導入により、B が A から従い、A が B から従う場合、 B の場合に限りA であると推論できます。

たとえば、「私が呼吸しているなら、私は生きている」と「私が生きているなら、私は呼吸している」という文からは、「私が生きている場合にのみ、私は呼吸している」、または「私が呼吸している場合にのみ、私は生きている」と推論できます。または、より模式的に言うと、次のようになります。

B → A   
 A → B   
 ∴A↔B

B → A   
 A → B   
 ∴ B ↔ A

二条件消去法では、二条件から条件を推論することができます。つまり、A ↔ B が真であれば、A → B または B → A のいずれかを推論することができます。

たとえば、私が生きている場合にのみ私が呼吸しているというのが真であるならば、私が呼吸しているならば、私は生きているというのも真です。同様に、私が生きているならば、私は呼吸しているというのも真です。あるいは、もっと図式的に言えば、

 A ↔ B  
 ∴A→B

 A ↔ B  
 ∴ B → A

平易な英語で二条件文を明瞭に述べる方法の 1 つは、「b if a and a if b」という形式を採用することです (標準形式である「a if and only if b」を使用しない場合)。もう少し形式的に、「b はa を意味し、a はb を意味する」または「a はbに必要かつ十分である」と言うこともできます。平易な英語の「if'」は、二条件文として使用されることがあります (特に数学的定義の文脈で^[15] )。その場合、これらの単語を解釈する際には周囲の文脈を考慮する必要があります。

たとえば、「新しい財布が必要だったら買ってあげるよ」という文は、話者が財布が必要かどうかに関わらず財布を買うという有効な結果を意図していないため、双条件文として解釈される可能性があります (条件文のように)。ただし、「雨が降っている場合は曇りです」は、雨が降っていなくても曇りである可能性があるため、通常は双条件文として意図されていません。

• もし、そして、もし、
• 論理的等価性
• 論理的等価性
• XNORゲート
• 二条件排除
• 二条件導入

• ウィキメディア・コモンズの論理双条件文に関連するメディア

この記事には、クリエイティブ・コモンズ表示/継承ライセンスに基づいてライセンスされているPlanetMathの Biconditional の資料が組み込まれています。