ポッツモデル

統計力学において、ポッツモデルはイジングモデルの一般化であり、結晶格子上で相互作用するスピンのモデルである。^{[1]ポッツモデルを研究することで、}強磁性体の挙動や固体物理学の特定の他の現象についての洞察を得ることができる。ポッツモデルの強みは、これらの物理システムを適切にモデル化することではなく、1次元のケースが正確に解けることと、広範囲に研究されてきた豊富な数学的定式化があることである。

このモデルは、1951年の博士論文の終わり近くにこのモデルを説明したレンフリー・ポッツにちなんで名付けられました。 ^[2]このモデルは、彼の指導教官であるシリル・ドンブによって提案された「平面ポッツ」または「時計モデル」に関連していました。4状態ポッツモデルは、1943年に同等のモデルを検討したジュリアス・アシュキンとエドワード・テラーにちなんで、アシュキン・テラーモデルと呼ばれることもあります。 ^[3]

ポッツモデルは、XYモデル、ハイゼンベルクモデル、Nベクトルモデルなど、いくつかの他のモデルと関連があり、これらのモデルによって一般化されています。無限範囲のポッツモデルはKacモデルとして知られています。スピンが非アーベル的に相互作用するとすると、このモデルはフラックスチューブモデルと関連し、量子色力学で閉じ込めを議論するために使用されます。ポッツモデルの一般化は、金属の粒成長、泡の粗大化、タンパク質の統計的特性をモデル化するためにも使用されています。^[4]これらの方法をさらに一般化したジェームズ・グレイザーとフランソワ・グラナーによる細胞ポッツモデル^[5]は、泡と生物の形態形成における静的および動的現象をシミュレートするために使用されています。

ポッツモデルは、格子上に配置されたスピンから構成されます。格子は通常、2 次元の長方形ユークリッド格子として扱われますが、他の次元や格子構造に一般化されることもよくあります。

もともとドンブは、スピンが円周上に均一に分布する角度で 可能な値のいずれか^{[要出典]をとると示唆した。}${\displaystyle q}$

${\displaystyle \theta _{s}={\frac {2\pi s}{q}},}$

ここで、相互作用ハミルトニアンは次のように与えられる 。${\displaystyle s=0,1,...,q-1}$

${\displaystyle H_{c}=J_{c}\sum _{\langle i,j\rangle }\cos \left(\theta _{s_{i}}-\theta _{s_{j}}\right)}$

の合計はすべての格子サイトで最も近い隣接ペアにわたっており、は相互作用の強さを決定する結合定数です。このモデルは現在、ベクトルポッツモデルまたはクロックモデルとして知られています。ポッツは、 の相転移の2次元上の位置を提供しました。 の極限では、これはXYモデルになります。 ${\displaystyle \langle i,j\rangle }$${\displaystyle J_{c}}$${\displaystyle q=3,4}$${\displaystyle q\to \infty }$

現在標準ポッツモデルとして知られているものは、ポッツが上記のモデルの研究の過程で提案したもので、より単純なハミルトニアンで定義されます。

${\displaystyle H_{p}=-J_{p}\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})\,}$

ここで、はクロネッカーのデルタであり、常に 1 になり、それ以外の場合は 0 になります。 ${\displaystyle \delta (s_{i},s_{j})}$${\displaystyle s_{i}=s_{j}}$

標準ポッツモデルは、イジングモデルおよび 2 状態ベクトルポッツモデルと同等であり、 です。標準ポッツモデルは、 3 状態ベクトルポッツモデルと同等であり、 です。 ${\displaystyle q=2}$${\displaystyle J_{p}=-2J_{c}}$${\displaystyle q=3}$${\displaystyle J_{p}=-{\frac {3}{2}}J_{c}}$

ポッツモデルの一般化は、統計的推論や生物物理学、特に直接結合解析によるタンパク質のモデリングでよく使用されます。^{[4] [6]}この一般化されたポッツモデルは、それぞれが状態をとることができる「スピン」で構成されています（特定の順序はありません）。ハミルトニアンは、 ${\displaystyle q}$${\displaystyle s_{i}\in \{1,\dots ,q\}}$

${\displaystyle H=\sum _{i<j}J_{ij}(s_{i},s_{j})+\sum _{i}h_{i}(s_{i}),}$

ここで、はスピンが状態 にあるときにスピンが状態にあることのエネルギーコストであり、はスピンが状態 にあることのエネルギーコストです。注:このモデルは、結合が異種かつ非局所的である可能性がある点で、 Sherrington-Kirkpatrick モデルに似ています。このモデルには明示的な格子構造はありません。 ${\displaystyle J_{ij}(k,k')}$${\displaystyle i}$${\displaystyle k}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k'}$${\displaystyle h_{i}(k)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle k}$${\displaystyle J_{ij}(k,k')=J_{ji}(k',k)}$

物理システムのモデルとしては単純であるにもかかわらず、ポッツモデルは相転移の研究のためのモデルシステムとして有用である。例えば、 における標準的な強磁性ポッツモデルでは、すべての実数値 に対して相転移が存在し、^[7]臨界点は である。相転移は に対して連続的（2次）であり、 ^[8]に対して不連続的（1次）である。^[9]${\displaystyle 2d}$${\displaystyle q\geq 1}$${\displaystyle \beta J=\log(1+{\sqrt {q}})}$${\displaystyle 1\leq q\leq 4}$ ${\displaystyle q>4}$

時計モデルの場合、対応する相転移は無限次BKT転移、^[10]であることが証明されており、 のときは連続相転移が観測されます。^{[10]このモデルは、}パーコレーション問題や組合せ論で見られるタット多項式および彩色多項式との関係からもさらに活用できます。 の整数値の場合、このモデルは、反対の境界を2つの異なる状態に固定すると、興味深い臨界濡れ特性を伴う「界面吸着」 ^[11]現象を示します^{[説明が必要]}。 ${\displaystyle q\leq 4}$${\displaystyle q\geq 3}$

ポッツモデルは、統計力学における別のモデルであるフォーチュイン・カステリン ランダムクラスターモデルと密接な関係がある。この関係を理解することで、小さな領域でのモデルの数値的探査に効果的なマルコフ連鎖モンテカルロ法の開発に役立ち、モデルの臨界温度の厳密な証明につながった。^[7]${\displaystyle q}$

分割関数のレベルでは、この関係はスピン配置の合計をエッジ配置の合計、つまり同じ色の最も近い隣接ペアのセットに変換することに相当する。この変換は恒等式^[12]を使用して行われる。${\displaystyle Z_{p}=\sum _{\{s_{i}\}}e^{-H_{p}}}$${\displaystyle \{s_{i}\}}$${\displaystyle \omega ={\Big \{}(i,j){\Big |}s_{i}=s_{j}{\Big \}}}$

${\displaystyle e^{J_{p}\delta (s_{i},s_{j})}=1+v\delta (s_{i},s_{j})\qquad {\text{ with }}\qquad v=e^{J_{p}}-1\ .}$

これにより、分割関数は次のように書き換えられる。

${\displaystyle Z_{p}=\sum _{\omega }v^{\#{\text{edges}}(\omega )}q^{\#{\text{clusters}}(\omega )}}$

ここで、FK クラスターは、閉じたセグメントの和集合の接続されたコンポーネントです。これは、開いたエッジの確率を持つランダム クラスター モデルのパーティション関数に比例します。ランダム クラスターの定式化の利点は、が自然数ではなく任意の複素数になる可能性がある ことです。${\displaystyle \cup _{(i,j)\in \omega }[i,j]}$${\displaystyle p={\frac {v}{1+v}}=1-e^{-J_{p}}}$${\displaystyle q}$

あるいは、FKクラスターの代わりに、スピンクラスターを用いてモデルを定式化することもできる。

${\displaystyle e^{J_{p}\delta (s_{i},s_{j})}=(1-\delta (s_{i},s_{j}))+e^{J_{p}}\delta (s_{i},s_{j})\ .}$

スピン クラスターは、同じ色を持つ隣接する FK クラスターの結合です。つまり、隣接する 2 つのスピン クラスターは異なる色を持ち、隣接する 2 つの FK クラスターは独立して色付けされます。

1 次元のポッツ モデルは有限型のサブシフトで表現できるため、この形式に関連するすべての数学的手法を利用できます。特に、転送演算子の手法を使用して正確に解くことができます。(ただし、エルンスト イジングは、 1924 年の博士論文で、ポッツ モデルの「祖先」であるイジング モデルを解くために組み合わせ法を使用しました)。このセクションでは、このソリューションの背後にある測度論に基づく数学的形式を展開します。

以下の例は 1 次元の場合を想定していますが、多くの議論とほぼすべての表記は、任意の次元数に簡単に一般化できます。形式論の一部は、XY モデル、ハイゼンベルク モデル、N ベクトル モデルなどの関連モデルも扱えるほど広範です。

Q = {1, ..., q }を有限の記号集合とし 、

${\displaystyle Q^{\mathbf {Z} }=\{s=(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\in Q\;\forall k\in \mathbf {Z} \}}$

を集合Qからのすべての双無限値列の集合とする。この集合は完全シフトと呼ばれる。ポッツモデルを定義するために、この空間全体またはその特定の部分集合である有限型の部分シフトを使用することができる。シフトがこの名前を持つのは、この空間上に自然な演算子、シフト演算子τ : Q ^Z → Q ^Zが存在し、次のように作用するからである。

${\displaystyle \tau (s)_{k}=s_{k+1}}$

この集合は自然積位相を持ち、この位相の基礎は円筒集合である。

${\displaystyle C_{m}[\xi _{0},\ldots ,\xi _{k}]=\{s\in Q^{\mathbf {Z} }:s_{m}=\xi _{0},\ldots ,s_{m+k}=\xi _{k}\}}$

つまり、k +1 個のスピンが特定の値のセット ξ ₀、...、 ξ _{kと正確に一致するすべての可能な文字列のセットです。シリンダーセットの明示的な表現は、値の文字列が}q進数に対応することに注目することで得られますが、q 進数の自然なトポロジーは上記の積のトポロジーよりも細かくなります。

スピン間の相互作用は、この位相上の連続関数 V  : Q ^Z → Rで与えられる。任意の連続関数でよい。例えば、

${\displaystyle V(s)=-J\delta (s_{0},s_{1})}$

は、最近接スピン間の相互作用を記述することがわかります。もちろん、異なる関数は異なる相互作用を与えます。したがって、s ₀、 s ₁、およびs ₂の関数は、次に近いスピン間の相互作用を記述します。関数Vは、スピンのセット間の相互作用エネルギーを与えます。これはハミルトニアンではありませんが、ハミルトニアンを構築するために使用されます。関数Vの引数は、要素s ∈ Q ^Z、つまり、スピンの無限列です。上記の例では、関数V は、無限列から 2 つのスピン、つまり値s ₀とs _{1 を}選択しました。一般に、関数V は一部またはすべてのスピンに依存する可能性があります。現在のところ、有限数に依存するスピンのみが正確に解くことができます。

関数H _n  : Q ^Z → Rを次のように 定義する。

${\displaystyle H_{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}V(\tau ^{k}s)}$

この関数は、スピン構成 [ s ₀、s ₁、 ...、s _n ]の自己エネルギーと、このセットと格子内の他のすべてのスピンの相互作用エネルギーの 2 つの部分で構成されていることがわかります。この関数のn → ∞極限は、システムのハミルトニアンです。有限のnの場合、これらは有限状態ハミルトニアンと呼ばれることもあります。

対応する有限状態分割関数は次のように与えられる。

${\displaystyle Z_{n}(V)=\sum _{s_{0},\ldots ,s_{n}\in Q}\exp(-\beta H_{n}(C_{0}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}]))}$

ここで、 C _{0 は}上で定義した円筒集合である。ここで、β = 1/ kTであり、kはボルツマン定数、Tは温度である。数学的処理では、相互作用エネルギーを再スケーリングすることで簡単に β = 1 に戻せるため、β = 1 と設定するのが非常に一般的である。この分割関数は、相互作用Vの関数として書かれ、それが相互作用の関数であり、特定のスピン構成の関数ではないことを強調している。分割関数は、ハミルトニアンと共に、ボレル σ 代数上の測度を次のように定義するために使用される。円筒集合の測度、すなわち基底の要素は、次のように与えられる。

${\displaystyle \mu (C_{k}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}])={\frac {1}{Z_{n}(V)}}\exp(-\beta H_{n}(C_{k}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}]))}$

次に、可算な加法性によって完全な σ 代数に拡張することができます。この測度は確率測度です。これは、配置空間 Q ^Zで特定の配置が発生する可能性を示します。このようにハミルトニアンから構築された確率測度を配置空間に付与すると、配置空間は標準的な集合になります。

ほとんどの熱力学的性質は、分配関数で直接表現できる。例えば、ヘルムホルツ自由エネルギーは次のように表される。

${\displaystyle A_{n}(V)=-kT\log Z_{n}(V)}$

もう一つの重要な関連量は位相圧力であり、次のように定義される。

${\displaystyle P(V)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log Z_{n}(V)}$

これは、解の 転送演算子の先頭の固有値の対数として表示されます。

最も単純なモデルは相互作用が全くないモデルであり、V = c、H _n = c（cは定数でスピン配置に依存しない）となる。分配関数は次のようになる。

${\displaystyle Z_{n}(c)=e^{-c\beta }\sum _{s_{0},\ldots ,s_{n}\in Q}1}$

すべての状態が許される場合、つまり状態の基本集合が完全なシフトによって与えられる場合、その和は次のように簡単に評価できる。

${\displaystyle Z_{n}(c)=e^{-c\beta }q^{n+1}}$

隣接するスピンが特定の構成でのみ許可される場合、状態空間は有限型のサブシフトによって与えられます。分割関数は次のように記述できます。

${\displaystyle Z_{n}(c)=e^{-c\beta }|{\mbox{Fix}}\,\tau ^{n}|=e^{-c\beta }{\mbox{Tr}}A^{n}}$

ここで、card はセットの基数またはカウントであり、 Fix は反復シフト関数の 固定点のセットです。

${\displaystyle {\mbox{Fix}}\,\tau ^{n}=\{s\in Q^{\mathbf {Z} }:\tau ^{n}s=s\}}$

q × q行列Aは、どの隣接するスピン値が許可されるかを指定する隣接行列です。

相互作用モデルの最も単純なケースはイジングモデルであり、スピンは2つの値s _n ∈ {−1, 1}のいずれか1つしかとれず、最も近い隣接スピンのみが相互作用する。相互作用ポテンシャルは次のように与えられる。

${\displaystyle V(\sigma )=-J_{p}s_{0}s_{1}\,}$

このポテンシャルは、行列要素を持つ2×2行列で捉えることができる。

${\displaystyle M_{\sigma \sigma '}=\exp \left(\beta J_{p}\sigma \sigma '\right)}$

指数σ、σ′∈{−1, 1}で、分割関数は次のように与えられる。

${\displaystyle Z_{n}(V)={\mbox{Tr}}\,M^{n}}$

任意の数のスピンと任意の有限範囲の相互作用の一般解は、同じ一般形式で与えられます。この場合、行列Mの正確な表現は、もう少し複雑になります。

ポッツモデルなどのモデルを解く目的は、分配関数の正確な閉じた形式の表現と、 n → ∞の極限、つまり熱力学的極限におけるギブス状態または平衡状態の表現を与えることです。

^{ポッツモデルは信号再構成に応用できる。R n}における区分的に一定の信号gのノイズ観測が与えられたと仮定する。R ⁿにおけるノイズ観測ベクトルfからgを復元するには、対応する逆問題であるL ^p -ポッツ関数P _γ ( u )の最小化を求める。これは次のように定義される 。

${\displaystyle P_{\gamma }(u)=\gamma \|\nabla u\|_{0}+\|u-f\|_{p}^{p}=\gamma \#\{i:u_{i}\neq u_{i+1}\}+\sum _{i=1}^{n}|u_{i}-f_{i}|^{p}}$

ジャンプペナルティは区分的に定数解を強制し、データ項は最小化候補uを^データfに結合する。パラメータγ > 0は規則性とデータ忠実度のトレードオフを制御する。L 1およびL ^2-ポッツ関数の正確な最小化のための高速アルゴリズムがある。^[13]${\displaystyle \|\nabla u\|_{0}}$${\displaystyle \|u-f\|_{p}^{p}}$

画像処理において、ポッツ関数はセグメンテーション問題と関連している。^[14]しかし、2次元ではこの問題はNP困難である。^[15]

• ランダムクラスターモデル
• 臨界3状態ポッツモデル
• カイラルポッツモデル
• 正方格子イジングモデル
• 最小限のモデル
• ZNモデル
• 細胞ポッツモデル

• Haggard, Gary; Pearce, David J.; Royle, Gordon. 「Tutte 多項式、Chromatic 多項式、Flow 多項式を効率的に計算するためのコード」