自発的な対称性の破れ

自発的対称性の破れは、対称状態にある物理システムが自発的に非対称状態になる、対称性の破れの自発的なプロセスです。 ^{[1] [2] [3]}特に、運動方程式またはラグランジアンが対称性に従うが、最低エネルギーの真空解が同じ対称性を示さないシステムを記述できます。システムがそれらの真空解の1つに移行すると、ラグランジアン全体ではその対称性が保持されているにもかかわらず、その真空の周りの摂動に対して対称性が破れます。

自発的な対称性の破れは、ストーン・フォン・ノイマン定理（有限次元におけるハイゼンベルクの交換関係の一意性を規定する）により、有限次元システムを記述する量子力学では起こり得ません。したがって、自発的な対称性の破れは、量子場理論などの無限次元理論でのみ観察できます。

定義により、自発的な対称性の破れには、対称変換 (平行移動や回転など)に対して不変の物理法則が存在することが必要であり、その結果、その変換によってのみ異なる結果のペアは同じ確率分布を持ちます。たとえば、任意の 2 つの異なる位置での観測量の測定値が同じ確率分布を持つ場合、その観測量は平行移動対称性を持ちます。

この関係が崩れると、基礎となる物理法則は対称性を維持したまま、自発的な対称性の破れが発生します。

逆に、明示的な対称性の破れでは、2 つの結果が考慮される場合、結果のペアの確率分布は異なる場合があります。たとえば、電場では、荷電粒子にかかる力は方向によって異なるため、回転対称性は、この対称性を持たない電場によって明示的に破られます。

結晶、磁石、従来の超伝導体などの物質の相、および単純な相転移は、自発的な対称性の破れによって記述できます。注目すべき例外には、分数量子ホール効果のような物質のトポロジカル相が含まれます。

通常、自発的な対称性の破れが発生すると、システムの観測可能な特性がさまざまな方法で変化します。たとえば、液体が固体になると、密度、圧縮率、熱膨張係数、比熱が変化すると予想されます。

底を囲む谷がある対称的な上向きドームを考えてみましょう。ボールをドームの頂上に置くと、システムは中心軸の周りの回転に関して対称になります。しかし、ボールはドームを転がり落ちて谷、つまり最低エネルギー点に達することで、この対称性を自発的に破る場合があります。その後、ボールは周囲のどこかの固定点で静止します。ドームとボールは個々の対称性を維持しますが、システムはそうではありません。^[4]

最も単純な理想化された相対論的モデルでは、自発的に破れた対称性は、例示的なスカラー場理論を通じて要約されます。スカラー場の関連するラグランジアンは、本質的にシステムの動作を指示しますが、運動項とポテンシャル項に分割できます。 ${\displaystyle \phi }$

このポテンシャル項で対称性の破れが引き起こされます。ジェフリー・ゴールドストーン^[5]によるポテンシャルの例を左のグラフに示します。 ${\displaystyle V(\phi )}$

このポテンシャルには、次式で与えられる無限の最小値（真空状態） が存在する。

0 から 2 πまでの任意の実数θに対して。このシステムには、Φ = 0に対応する不安定な真空状態もあります。この状態はU(1)対称性を持ちます。ただし、システムが特定の安定した真空状態 ( θの選択に相当) に陥ると、この対称性は失われるか、「自発的に破れた」ように見えます。

実際、θの他の選択ではまったく同じエネルギーを持ち、定義方程式は対称性を尊重しますが、理論の基底状態 (真空) は対称性を破り、質量のない南部-ゴールドストーンボソンの存在、このポテンシャルの最小値で円を回るモード、およびラグランジアンに元の対称性の記憶がいくらかあることを示していることを示唆しています。^{[6] [7]}

• 強磁性体の場合、基礎となる法則は空間回転に対して不変です。ここで、秩序パラメータは磁化 で、磁気双極子密度を測定します。キュリー温度 を超えると、秩序パラメータはゼロになり、空間的に不変となり、対称性の破れはありません。しかし、キュリー温度を下回ると、磁化は一定のゼロでない値を獲得し、特定の方向を指します (完全な平衡状態にある理想的な状況では、そうでない場合は並進対称性も破れます)。このベクトルの方向を不変にする残りの回転対称性は、他の回転とは異なり、破れずに残ります。これは、他の回転が破れずに自然に破れるのとは異なります。
• 立体を記述する法則は完全なユークリッド群の下では不変ですが、立体自体はこの群を自発的に空間群に分解します。変位と方向は秩序パラメータです。
• 一般相対性理論はローレンツ対称性を持っていますが、FRW宇宙論モデルでは、銀河の速度を平均化して定義される平均4速度場（銀河は宇宙規模でガス粒子のように動作します）は、この対称性を破る秩序パラメータとして機能します。宇宙マイクロ波背景についても同様のことが言えます。
• 電弱モデルの場合、前述のように、ヒッグス場の成分は、電弱ゲージ対称性を電磁ゲージ対称性に破る秩序パラメータを提供します。強磁性の例と同様に、電弱温度で相転移が起こります。対称性の破れに気付きにくいという同じコメントは、電弱統一の発見になぜそれほど長い時間がかかったのかを示唆しています。
• 超伝導体には、凝縮物質集団場 ψ が存在し、これが電磁ゲージ対称性を破る秩序パラメータとして機能します。
• 細い円筒形のプラスチック棒の両端を押し合わせます。座屈する前は、回転に対して対称なため、円筒対称であることが一目瞭然です。しかし、座屈後は見た目が変わり、非対称になります。それでも、円筒対称性の特徴は残っています。摩擦を無視すれば、棒を自由に回転させるには力は必要なく、時間とともに基底状態がずれ、座屈方向の放射状振動とは異なり、振動数はゼロになります。この回転モードは、事実上、必須の南部-ゴールドストーン ボソンです。
• 無限の水平面上の均一な流体層を考えてみましょう。このシステムはユークリッド平面のすべての対称性を備えています。しかし、今度は底面を均一に加熱して、上面よりもはるかに高温にします。温度勾配が十分に大きくなると、対流セルが形成され、ユークリッド対称性が破れます。
• 垂直の直径を中心に回転する円形の輪の上のビーズを考えてみましょう。回転速度が静止状態から徐々に増加すると、ビーズは最初、輪の底にある初期の平衡点（直感的に安定し、重力ポテンシャルが最も低い点）に留まります。特定の臨界回転速度で、この点は不安定になり、ビーズは中心から等距離にある2 つの新しく作成された平衡点のいずれかにジャンプします。最初、システムは直径に対して対称ですが、臨界速度を通過すると、ビーズは 2 つの新しい平衡点のいずれかに到達し、対称性が破れます。
• 2 つの風船の実験は、両方の風船が最初に局所的最大圧力まで膨らんだときに、対称性が自発的に破れる例です。一方の風船からもう一方の風船に空気が流れ込むと、両方の風船の圧力が低下し、非対称状態でシステムがより安定します。

素粒子物理学では、力を伝える粒子は通常、ゲージ対称性を持つ場の方程式によって指定されます。これらの方程式は、特定の測定値が場のどの点においても同じになることを予測します。たとえば、場の方程式は、2 つのクォークの質量は一定であると予測する場合があります。各クォークの質量を求める方程式を解くと、2 つの解が得られます。1 つの解では、クォーク A はクォーク B よりも重いです。2 番目の解では、クォーク B はクォーク A よりも同じ量だけ重いです。方程式の対称性は個々の解には反映されませんが、解の範囲には反映されます。

実際の測定は、基礎理論の対称性の破れを表す 1 つの解のみを反映します。これらの方程式には常に対称性が存在するため、「破れた」というよりも「隠れた」という表現の方が適切です。この現象は、方程式の対称性を破るものが (私たちが知る限り)存在しないことから、自発的対称性の破れ (SSB)と呼ばれます。 ^{[8] : 194–195}自発的対称性の破れの性質上、初期宇宙のさまざまな部分でさまざまな方向に対称性が破れ、関連するホモトピー群と理論のダイナミクスに応じて、2 次元ドメイン ウォール、1 次元宇宙ストリング、ゼロ次元モノポール、テクスチャなどのトポロジカル欠陥が発生します。たとえば、ヒッグス対称性の破れは、副産物として原始宇宙ストリングを作成した可能性があります。仮説的なGUT対称性の破れは一般的にモノポールを生成するため、モノポール（およびGUTドメインウォール）が宇宙インフレーションによって観測可能な宇宙から追放されない限り、GUTには困難が生じる。^[9]

カイラル対称性の破れは、素粒子物理学における強い相互作用のカイラル対称性に影響を及ぼす自発的対称性の破れの一例である。これは、これらの相互作用を記述する量子場の理論である量子色力学の特性であり、非常に軽い束縛クォークを100倍重い重粒子の構成要素に変換するため、核子の質量の大部分（99%以上）を占め、したがってすべての一般的な物質の質量の大部分を占める。この自発的対称性の破れのプロセスにおけるおおよその南部-ゴールドストーン粒子は、質量が核子の質量よりも1桁軽いパイ中間子である。これは、電弱対称性の破れの基礎となるヒッグス機構のプロトタイプであり、重要な要素としての役割を果たした。

強い力、弱い力、電磁力はすべてゲージ対称性から生じると理解できますが、これは対称性の記述における冗長性です。ゲージ対称性の自発的な破れであるヒッグス機構は、金属の超伝導と素粒子物理学の標準モデルにおける粒子質量の起源を理解する上で重要な要素です。エリツァーの定理では、局所的なゲージ対称性は自発的に破れることはないと述べられているため、「自発的な対称性の破れ」という用語はここでは誤った呼び方です。むしろ、ゲージを固定した後、グローバルな対称性（または冗長性）は、自発的な対称性の破れに形式的に似た方法で破られる可能性があります。真の対称性とゲージ対称性を区別することの重要な結果の 1 つは、ゲージ対称性の自発的な破れから生じる質量のない南部-ゴールドストーンがゲージベクトル場の記述に吸収され、超伝導体のプラズマモードや素粒子物理学で観測されるヒッグスモードのような質量のあるベクトル場モードが提供されることです。

素粒子物理学の標準モデルでは、電弱力に関連するSU(2) × U(1)ゲージ対称性の自発的な破れにより、いくつかの粒子に質量が生成され、電磁力と弱い力が分離されます。WボソンとZボソンは弱い相互作用を媒介する素粒子であり、光子は電磁相互作用を媒介します。100 GeVよりもはるかに高いエネルギーでは、これらすべての粒子が同じように動作します。ワインバーグ・サラム理論は、より低いエネルギーではこの対称性が破れ、光子と質量のあるWボソンとZボソンが出現すると予測しています。^[10]さらに、フェルミオンは一貫して質量を発達させます。

自発的な対称性の破れがなければ、素粒子相互作用の標準モデルには多数の粒子の存在が必要になります。しかし、一部の粒子（W 粒子と Z 粒子）は質量がないと予測されますが、実際には質量があることが観測されています。これを克服するために、自発的な対称性の破れはヒッグス機構によって強化され、これらの粒子に質量が与えられます。これはまた、 2012 年に検出された 新しい粒子、ヒッグス粒子の存在を示唆しています。

金属の超伝導はヒッグス現象の凝縮物質類似体であり、電子のクーパー対の凝縮により、光と電磁気に関連する U(1) ゲージ対称性が自発的に破れます。

動的対称性の破れ (DSB) は、システムの基底状態が理論的記述 (つまり、ラグランジアン) と比較して対称性特性が低下する、自発的対称性の破れの特殊な形式です。

大域的対称性の動的破れは、（古典的な）ツリーレベル（すなわち、裸の作用のレベル）ではなく、量子補正（すなわち、有効作用のレベル）によって起こる自発的な対称性の破れです。

ゲージ対称性の動的破れはより微妙です。従来の自発的なゲージ対称性の破れでは、理論に不安定なヒッグス粒子が存在し、それが真空を対称性の破れた位相（つまり電弱相互作用）へと導きます。一方、ゲージ対称性の動的破れでは、不安定なヒッグス粒子は理論では動作しませんが、システム自体の束縛状態が相転移を引き起こす不安定場を提供します。たとえば、バーディーン、ヒル、リンドナーは、標準モデルの従来のヒッグス機構を、トップ-反トップクォークの束縛状態によって駆動される DSB に置き換えることを試みる論文を発表しました。 （複合粒子がヒッグス粒子の役割を果たすこのようなモデルは、「複合ヒッグスモデル」と呼ばれることが多い。）^{[11]ゲージ対称性の動的破れは、多くの場合、}フェルミオン凝縮体の生成によるものである。例えば、クォーク凝縮体は、量子色力学におけるカイラル対称性の動的破れと関連している。従来の超伝導は、凝縮物質側からの典型的な例であり、フォノン媒介引力によって電子がペアで結合し、その後凝縮し、それによって電磁ゲージ対称性が破れる。

物質のほとんどの相は、自発的な対称性の破れというレンズを通して理解することができます。たとえば、結晶は、すべての並進運動に対して不変ではない（格子ベクトルによる並進運動の小さなサブセットに対してのみ不変である）原子の周期的な配列です。磁石には、特定の方向に向いた N 極と S 極があり、回転対称性を破っています。これらの例に加えて、液晶のネマティック相、電荷密度波とスピン密度波、超流体など、 対称性を破る物質の相は他にもたくさんあります。

自発的な対称性の破れでは説明できない物質の例がいくつか知られている。その中には、分数量子ホール液体やスピン液体などの位相的に秩序立った物質相が含まれる。これらの状態は対称性を破らないが、物質の明確な相である。自発的な対称性の破れの場合とは異なり、このような状態を説明する一般的な枠組みは存在しない。^[12]

強磁性体は、キュリー温度以下およびh = 0 （ hは外部磁場）でスピンの連続対称性が自発的に破れる標準的なシステムです。キュリー温度以下では、システムのエネルギーは磁化m ( x ) の反転に対して不変であり、 m ( x ) = − m (− x )となります。反転変換でハミルトニアンが不変になると、 h → 0として対称性が自発的に破れますが、期待値は不変ではありません。

自発的に対称性が破れた物質相は、対象とする対称性を破る量を記述する秩序パラメータによって特徴付けられます。たとえば、磁石の場合、秩序パラメータは局所的な磁化です。

連続対称性の自発的な破れは、必然的にギャップレス（つまり、これらのモードは励起するのにエネルギーを消費しない）南部-ゴールドストーンモードを伴い、秩序パラメータのゆっくりとした長波長の変動と関連しています。たとえば、フォノンとして知られる結晶内の振動モードは、結晶原子のゆっくりとした密度変動と関連しています。磁石に関連するゴールドストーンモードは、スピン波として知られるスピンの振動波です。秩序パラメータが保存量ではない対称性の破れの状態では、南部-ゴールドストーンモードは通常、質量がなく、一定速度で伝播します。

メルミンとワグナーによる重要な定理によれば、有限温度では、南部-ゴールドストーンモードの熱活性化変動が長距離秩序を破壊し、1 次元および 2 次元システムにおける自発的な対称性の破れを防ぐことが示されています。同様に、秩序パラメータの量子変動は、ゼロ温度でも 1 次元システムにおけるほとんどのタイプの連続的な対称性の破れを防ぎます。(重要な例外は強磁性体で、その秩序パラメータである磁化は正確に保存される量であり、量子変動はありません。)

クーロンポテンシャルや湯川ポテンシャルを介して相互作用する円筒状の曲面などの他の長距離相互作用系は、並進対称性や回転対称性を破ることが示されている。^[13]対称ハミルトニアンの存在下で無限体積の極限において、系は自発的にカイラル構成を採用すること、すなわち鏡面 対称性を破ることが示された。

自発的な対称性の破れが発生するには、複数の結果が等しく起こり得るシステムが必要です。したがって、システム全体はこれらの結果に関して対称です。ただし、システムがサンプリングされた場合 (つまり、システムが実際に使用されたり、何らかの方法で相互作用したりした場合)、特定の結果が発生する必要があります。システム全体が対称であっても、この対称性に遭遇することはなく、特定の非対称状態のみに遭遇します。したがって、その理論では対称性は自発的に破れていると言われています。ただし、各結果が等しく起こり得るという事実は、基礎となる対称性を反映しており、そのため「隠れた対称性」と呼ばれることが多く、重要な形式的影響を及ぼします。(ゴールドストーン粒子に関する記事を参照してください。)

理論が対称群に関して対称であるが、群の 1 つの要素が別個であることを要求する場合、自発的な対称性の破れが発生しています。理論は、どのメンバーが別個であるかを指示してはならず、1 つが であることのみを指示する必要があります。この時点から、この要素が実際に別個であるかのように理論​​を扱うことができますが、この方法で得られた結果は、別個である群の各要素の平均を取ることによって、再対称化する必要があります。

物理理論における極めて重要な概念は秩序パラメータである。問題の対称性の下で不変ではない期待値（必ずしも真空期待値とは限らない）を獲得する場（多くの場合背景場）がある場合、システムは秩序相にあり、対称性は自発的に破れていると言われる。これは、他のサブシステムが、測定の対象となる「基準フレーム」を指定する秩序パラメータと相互作用するためである。その場合、真空状態は初期の対称性（線形に実現されたウィグナーモードでは不変であり、そのモードではシングルになる）に従わず 、代わりに（非線形の）南部-ゴールドストーンモードで実装された（隠れた）対称性の下で変化する。通常、ヒッグス機構が存在しない場合は、質量のないゴールドストーン粒子が発生する。

対称群は、結晶の空間群のように離散的である場合もあれば、空間の回転対称性のように連続的（リー群など）である場合もあります。ただし、システムが単一の空間次元のみを含む場合、完全な量子論の真空状態では離散対称性のみが破られる可能性がありますが、古典的なソリューションでは連続対称性が破られる可能性があります。

2008年10月7日、スウェーデン王立科学アカデミーは、素粒子物理学における対称性の破れに関する研究で3人の科学者に2008年のノーベル物理学賞を授与した。シカゴ大学の南部陽一郎氏は、強い相互作用、特にカイラル対称性の破れの文脈における自発的な対称性の破れのメカニズムの発見により、賞の半分を獲得した。京都大学の物理学者小林誠氏と益川敏英氏は、弱い相互作用におけるCP対称性の明確な破れの起源を発見したことにより、賞の残り半分を共同受賞した。^[14]この起源は最終的にはヒッグス機構に依存しているが、これまでのところ、ヒッグス結合の「まさにその通り」な特徴として理解されており、自発的に破れた対称性の現象ではない。

• ^ (基本的なヒッグスによる自発的なゲージ対称性の破れの場合と同様に)「対称性の破れ」という用語はゲージ対称性に適用される場合、誤った名称であることに注意してください。

Wikiquote に自発的対称性の破れに関する引用があります。

• 教科書には載っていない、多くの重要な関係の段階的な導出を伴う電弱対称性の破れの教育的入門については、http://www.quantumfieldtheory.info/Electroweak_Sym_breaking.pdf を参照してください。
• 自発的な対称性の破れ
• フィジカルレビューレター – 50周年記念マイルストーンペーパー
• CERN Courierでスティーブン・ワインバーグが自発的対称性の破れについて語る
• Scholarpedia の Englert-Brout-Higgs-Guralnik-Hagen-Kibble のメカニズム
• Scholarpedia の Englert-Brout-Higgs-Guralnik-Hagen-Kibble メカニズムの歴史
• グラルニク、ハーゲン、キブルによる自発的対称性の破れとゲージ粒子の理論の発展の歴史
• 国際現代物理学ジャーナル A: グラルニク、ハーゲン、キブルによる自発的対称性の破れとゲージ粒子の理論の発展の歴史
• Guralnik, GS; Hagen, CR および Kibble, TWB (1967)。対称性の破れとゴールドストーン定理。物理学の進歩、第 2 巻、インターサイエンス パブリッシャー、ニューヨーク。pp. 567–708 ISBN 0-470-17057-3 
• ゲージ理論における自発的対称性の破れ：歴史的概観
• 王立協会出版局: ゲージ理論における自発的対称性の破れ
• ケンブリッジ大学、デイビッド・トン：修士課程の学生を対象とした量子場理論の講義。