普遍性クラス

統計力学において、普遍性クラス^{[ 1 ]}とは、繰り込み群の流れの下でスケール不変な極限を共有する数学モデルの集合である。クラス内のモデルは有限スケールでは異なる場合があるが、極限スケールに近づくにつれてその振る舞いはますます類似していく。特に、臨界指数などの漸近現象は、クラス内のすべてのモデルで同じである。

よく研究されている例としては、イジングモデルやパーコレーション理論におけるそれぞれの相転移点における普遍性クラスが挙げられます。これらはどちらもクラスのファミリーであり、格子次元ごとに1つずつ存在します。一般的に、普遍性クラスのファミリーには下限臨界次元と上限臨界次元があります。下限臨界次元より小さい場合、普遍性クラスは縮退します（この次元はイジングモデルや指向性パーコレーションでは2ですが、非指向性パーコレーションでは1です）。上限臨界次元より大きい場合、普遍性クラスは縮退します。$\displaystyle d^{*}}$臨界指数は安定し、平均場理論の類似物によって計算できます（この次元は$\displaystyle d^{*}=4$イジングモデルまたは指向性パーコレーションの場合、および6は非指向性パーコレーションの場合である。

臨界指数は、制御パラメータが臨界点に近づくにつれてシステムの特定の物理的特性がどのように変化するかを特徴づける。温度駆動遷移の場合、通常は換算温度が定義される。$\displaystyle \tau =(T-T_{c})/T_{c}}$小規模な${\displaystyle |\tau |}$さまざまな観測量はべき乗則に従う$\displaystyle \tau }$:

• 指数${\displaystyle \alpha }$は比熱Cと換算温度の関係を表す指数です。${\displaystyle C=\tau ^{-\alpha }}$。${\displaystyle \alpha }$プラスの状態を維持することを可能にする。
• 指数${\displaystyle \beta }$秩序パラメータに関連する${\displaystyle \Psi }$温度に対して。ほとんどの臨界指数とは異なり、臨界点では秩序パラメーターが通常ゼロになるため、正であると仮定されます。したがって、${\displaystyle \Psi =|\tau |^{\beta }}$。
• 指数${\displaystyle \gamma }$温度と、外部駆動力またはソース場に対するシステムの応答との関係を示します。${\displaystyle d\Psi /dJ=\tau ^{-\gamma }}$Jが原動力となる。
• 指数${\displaystyle \delta }$臨界温度において秩序パラメータとソース場を関連付けるが、この関係は非線形になる。${\displaystyle J=\Psi ^{\delta }}$（したがって）${\displaystyle \Psi =J^{1/\デルタ }}$）以前と同じ意味で。
• 指数${\displaystyle \nu }$相関の大きさ（すなわち秩序相の領域）を温度に関連付ける。臨界点から離れた領域では、相関長によって特徴づけられる。${\displaystyle \xi }$。 我々は持っています${\displaystyle \xi =\tau ^{-\nu }}$。
• 指数${\displaystyle \eta }$臨界温度における相関の大きさを測定する。これは、秩序パラメーターの相関関数が次のようにスケーリングするように定義される。${\displaystyle r^{-d+2-\eta }}$。
• 指数${\displaystyle \sigma }$パーコレーション理論で使用される は、臨界点以下の「温度」（接続確率）における最大のクラスター（おおよそ最大の秩序だったブロック）のサイズを測定します。${\displaystyle s_{\max }\sim (p_{c}-p)^{-1/\sigma }}$。
• 指数${\displaystyle \tau }$パーコレーション理論から、サイズsのクラスターの数を測定する。${\displaystyle s_{\max }}$（または臨界状態にあるクラスターの数）：${\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau }f(s/s_{\max })}$で${\displaystyle f}$重要な確率で因子が除去される。

臨界指数はモデルの微視的な詳細とは無関係ですが、次元、対称性、および相互作用の範囲に依存します（つまり、普遍性クラスのみに依存します）。まれに、臨界点より下と上の挙動を支配する臨界指数が同じでない場合があります。

対称性については、リストされている群が秩序パラメーターの対称性を示します。${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$n要素の対称群である。${\displaystyle O(n)}$n次元における直交群は、${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$は位数 2 の巡回群(パリティ、またはイジング対称性)であり、 1は自明群です。平均場理論の結果は (MF) で示されます。2 次元アシュキン・テラーモデルでは、一般に指数は臨界線に沿ってパラメータに連続的に依存します。^{[ 2 ]}球面モデルは次のように見なすことができます。${\displaystyle n\to \infty }$限界${\displaystyle O(n)}$対称性。^{[ 3 ]}

2次元XYモデルと超伝導体に存在する相転移は、ベレジンスキー・コステリッツ・サウレス転移という独特の普遍性クラスによって支配される。^{[ 2 ]}無秩序相（高温相）には自由渦が含まれ、秩序相（低温相）には束縛渦が含まれる。相転移では、自由エネルギーとそのすべての導関数が連続であるため、エーレンフェスト分類では無限次数転移となる。

熱力学的量は、二次相転移の場合のようにべき乗則の特異点を示さない。代わりに、臨界点より上では${\displaystyle (T>T_{c})}$相関長は次のようにスケールする${\displaystyle \xi \sim \exp(b|T-T_{c}|^{-\nu })}$、 どこ${\displaystyle b}$は定数であり、${\displaystyle \nu =1/2}$感受性は${\displaystyle \chi \sim \xi ^{2-\eta (T)}}$、 どこ${\displaystyle \eta (T)}$温度（および${\displaystyle \eta (T_{c})=1/4}$) 比熱は有限です${\displaystyle T_{c}}$2点相関関数は次のようにスケーリングされる。${\displaystyle G(r)\sim r^{-\eta (T)}}$のために${\displaystyle T<T_{c}}$、${\displaystyle G(r)\sim \exp(-r/\xi )}$のために${\displaystyle T>T_{c}}$。

エピタキシャル成長では、 ^{[ 25 ] [ 26 ]}表面の粗さが原子レベルで平坦な状態から粗い状態へと変化します。表面高さ（粗さを特徴づける）の二乗平均平方根変動は、${\displaystyle w(t)\sim t^{\beta }}$最初は、そして最終的にはサイズ依存の値で飽和する${\displaystyle w(L)\sim L^{\alpha }}$。${\displaystyle \beta }$これは成長指数と呼ばれ、${\displaystyle \alpha }$は粗さ指数です。2つの領域間のクロスオーバー時間はシステムサイズに依存し、${\displaystyle t_{x}\sim L^{z}}$、 どこ${\displaystyle z}$動的指数はスケーリング法則に従う${\displaystyle z=\alpha /\beta }$アルセトリモデル（上部臨界次元付き）${\displaystyle d^{*}=2}$）は、平均場理論とイジングモデルの間の球面モデルの位置と同様に、エドワーズ・ウィルキンソン方程式とカルダー・パリシ・チャン方程式の間に位置します。

これらの指数の実験的に測定された値のリストについては、^{[ 27 ]}を参照してもよいでしょう。

• Sklogwikiの普遍性クラス
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