商環

抽象代数の一分野である環論において、商環 は因子環、差環^{[1] 、}または剰余類環とも呼ばれ、群論における商群や線型代数における商空間[ ^2]に非常によく似た構成である。^{[3]これは、}普遍代数の一般的な設定から見た商の具体的な例である。の環と両側イデアルから始めて、特殊演算と演算の対象となるの剰余類を要素とする新しい環である商環が構成される。(商環の表記では常に分数スラッシュ"/" が使用される。) ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \cdot }$

商環は、整域のいわゆる「商体」または分数の体とは異なり、局所化によって得られるより一般的な「商環」とも異なります。

環とにおける両側イデアルが与えられたとき、における同値関係を次のように定義できます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle R}$

${\displaystyle a\sim b}$ が である場合に限ります。${\displaystyle a-b}$${\displaystyle I}$

イデアル特性を使用すると、 が合同関係であることは簡単に確認できます。 の場合、と はを法として合同であると言えます(たとえば、と は、それらの差がイデアル の要素である偶数整数 であるため、 を法として合同です)。の要素の同値類は次のように与えられます。 ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle \left[a\right]=a+I:=\left\lbrace a+r:r\in I\right\rbrace }$$

この同値類は と書かれることもあり、「を法とする剰余類」とも呼ばれます。 ${\displaystyle a{\bmod {I}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle I}$

このような同値類全体の集合は と表記され、 を法とする環、つまりの因数環または商環となる。 ${\displaystyle R/I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$

• ${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$;
• ${\displaystyle (a+I)(b+I)=(ab)+I}$。

(ここで、これらの定義が適切に定義されていることを確認する必要があります。剰余類と商群を比較してください。) の零元はであり、乗法単位元は です。 ${\displaystyle R/I}$${\displaystyle {\bar {0}}=(0+I)=I}$${\displaystyle {\bar {1}}=(1+I)}$

によって定義されるからへの写像は、射影環準同型であり、自然商写像または標準準同型と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle p(a)=a+I}$

• 商環は自然にと同型であり、は零環です。これは、定義により、任意の に対して、 が存在し、それ自体に等しいためです。これは、イデアル が大きいほど、商環 が小さくなるという経験則に適合します。が の真イデアル、つまりである場合、 は零環ではありません。${\displaystyle R/\lbrace 0\rbrace }$${\displaystyle R}$${\displaystyle R/R}$ ${\displaystyle \lbrace 0\rbrace }$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle \left[r\right]=r+R=\left\lbrace r+b:b\in R\right\rbrace }$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I\neq R}$${\displaystyle R/I}$

• 整数 環と、で表される偶数のイデアルについて考えます。すると、商環には、偶数からなる剰余類と奇数からなる剰余類の 2 つの要素しかありません。定義 を適用すると、は偶数のイデアルです。これは、 2 つの要素を持つ有限体と自然に同型です。直感的に、すべての偶数を と考えると、すべての整数は(偶数の場合) または(奇数で、したがって偶数と だけ異なる場合) のいずれかになります。モジュラ演算は、本質的には商環(要素を持つ) の演算です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle 0+2\mathbb {Z} }$${\displaystyle 1+2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \left[z\right]=z+2\mathbb {Z} =\left\lbrace z+2y:2y\in 2\mathbb {Z} \right\rbrace }$${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$

• ここで、実係数、 、および多項式のすべての倍数からなるイデアルを持つ変数の多項式環について考えます。商環は、複素数体 と自然に同型であり、類 は虚数単位の役割を果たします。その理由は、 、つまりの定義特性を「強制」したためです。 の任意の整数指数はまたはでなければならないため、すべての可能な多項式は基本的に という形式に簡約されます。(明確にするために、商環は実際にはすべての線形多項式体 と自然に同型であり、演算は を法として実行されます。代わりに となり、これは複素数同型体の虚数単位と一致します。)${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$${\displaystyle I=\left(X^{2}+1\right)}$ ${\displaystyle X^{2}+1}$${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle [X]}$ ${\displaystyle i}$${\displaystyle X^{2}+1=0}$${\displaystyle X^{2}=-1}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \pm i}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle a+bi}$${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$${\displaystyle aX+b;a,b\in \mathbb {R} }$${\displaystyle X^{2}+1}$${\displaystyle X^{2}=-1}$${\displaystyle X}$

• 前の例を一般化すると、商環はしばしば体拡大を構築するのに使用されます。 が何らかの体であり、が の既約多項式であるとします。すると、は上の最小多項式がである体であり、 には元 と が含まれます。${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K[X]}$${\displaystyle L=K[X]/(f)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x=X+(f)}$

• 前の例の重要な例の 1 つは、有限体の構築です。たとえば、3 つの元を持つ体を考えてみましょう。多項式は上で既約であり(根がないため)、商環 を構築できます。これはで表される元を持つ体です。他の有限体も同様の方法で構築できます。${\displaystyle F_{3}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$${\displaystyle f(X)=Xi^{2}+1}$${\displaystyle F_{3}}$${\displaystyle F_{3}[X]/(f)}$${\displaystyle 3^{2}=9}$${\displaystyle F_{9}}$

• 代数多様体の座標環は、代数幾何学における商環の重要な例です。簡単な例として、実平面 の部分集合としての実多様体を考えてみましょう。 上で定義される実数値多項式関数の環は商環 と同一視でき、これは の座標環です。次に、 の座標環を調べることで、 多様体を調べます。${\displaystyle V=\left\lbrace (x,y)|x^{2}=y^{3}\right\rbrace }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}-Y^{3})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

• が-多様体で、がの点であるとします。上で定義されるすべての - 関数の環を考え、が のイデアルで、の近傍で恒等的にゼロになる関数(ただし はに依存する) で構成されるとします。すると、商環はにおける-関数の芽の環になります。${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R=\mathbb {C} ^{\infty }(M)}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$

• 超実数体の有限元の環について考えます。これは、標準の実数と微小量だけ異なるすべての超実数、または同等に、を持つ標準整数が存在するすべての超実数 で構成されます。内のすべての微小数の集合はとともに のイデアルであり、商環は実数 と同型です。同型性は、の標準部分のすべての要素、つまり と微小量だけ異なる唯一の実数に を関連付けることによって誘導されます。実際、有限超有理数の環(つまり、超整数のペア の比) から始めると、同じ結果、つまり が得られます。実数 の構築を参照してください。${\displaystyle F}$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle -n<x<n}$${\displaystyle I}$${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F/I}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle F}$

商、、 はすべて と 同型であり、 は最初はあまり興味を引かれません。しかし、 は幾何代数では双対数平面と呼ばれることに注意してください。これは、 の要素を で約分した後の「剰余」として線形二項式のみで構成されます。この複素平面の変化は、代数が実数直線と冪零 を含むときはいつでも、部分代数として発生します。 ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X)}$${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X+1)}$${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X-1)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2})}$${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$${\displaystyle X^{2}}$

さらに、環の商はとに分解されるため、この環はの直和とみなされることが多い。しかし、の根として はの根としてと比較され、複素数のバリエーションが示唆される。この分割複素数平面は、代数の恒等式がゼロから単位距離にある 2 次元空間の基底を提供することで直和を正規化する。この基底により、単位双曲線は通常の複素平面の単位円と比較できる。 ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}-1)}$${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X+1)}$${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$${\displaystyle z=x+yj}$${\displaystyle j}$${\displaystyle X^{2}-1=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X^{2}+1=0}$${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$${\displaystyle \left\lbrace 1,j\right\rbrace }$

と が2 つの非可換不定数であり、自由代数を形成すると仮定します。この場合、1843 年のハミルトンの四元数は次のように表すことができます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \langle X,Y\rangle }$$${\displaystyle \mathbb {R} \langle X,Y\rangle /(X^{2}+1,\,Y^{2}+1,\,XY+YX)}$$

を に代入すると、分割四元数の環 が得られます。反可換性により、の平方は次式になります。 ${\displaystyle Y^{2}-1}$${\displaystyle Y^{2}+1}$ ${\displaystyle YX=-XY}$${\displaystyle XY}$$${\displaystyle (XY)(XY)=X(YX)Y=-X(XY)Y=-(XX)(YY)=-(-1)(+1)=+1}$$

両方の二次二項式でプラスをマイナスに置き換えると、分割四元数も生成されます。

3 種類の双四元数は、 3 つの不定元を持つ自由代数を使用して適切なイデアルを構築することで、商として表すこともできます。 ${\displaystyle \mathbb {R} \langle X,Y,Z\rangle }$

明らかに、 が可換環であればも可換環です。しかし、その逆は一般には成り立ちません。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R/I}$

自然商写像はを核として持ちます。すべての環準同型の核は両側イデアルなので、両側イデアルはまさに環準同型の核であると述べることができます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle I}$

環準同型、核、商環の間の密接な関係は、次のようにまとめることができます。 上で定義された環準同型は、上で消える（つまり、ゼロになる） 上で定義された環準同型と本質的に同じです。より正確には、 の両側イデアルと、核に が含まれる環準同型が与えられると、 （ここでは自然な商写像）の環準同型が 1 つだけ存在します。ここでの写像は、内のすべての に対して明確に定義された規則によって与えられます。実際、この普遍的な性質は、商環とその自然な商写像を 定義するために使用できます。${\displaystyle R/I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f:R\to S}$${\displaystyle I}$${\displaystyle g:R/I\to S}$${\displaystyle gp=f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g([a])=f(a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle R}$

以上のことから、基本的な命題が得られます。すべての環準同型は、商環と像の間に環同型を誘導します。(準同型に関する基本定理も参照してください。) ${\displaystyle f:R\to S}$${\displaystyle R/\ker(f)}$${\displaystyle \mathrm {im} (f)}$

とのイデアルは密接に関連しています。自然な商写像は、を含むの両側イデアルと の両側イデアルの間の一対一の関係を提供します(左イデアルと右イデアルについても同様です)。両側イデアル間のこの関係は、対応する商環間の関係に拡張されます。が を含むの両側イデアルである場合、 の対応するイデアル(つまり) について と書くと、商環と は(明確に定義された) 写像 を介して自然に同型です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle M/I}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle M/I=p(M)}$${\displaystyle R/M}$${\displaystyle (R/I)/(M/I)}$${\displaystyle a+M\mapsto (a+I)+M/I}$

以下の事実は、可換代数と代数幾何学で有用であることが証明されています。可換の場合、 が体となるのは、 が極大イデアルである場合に限ります。一方、 が整域となるのは、 が素イデアルである場合に限ります。同様の記述が数多くあり、イデアルの特性と商環の特性を関連付けています。 ${\displaystyle R\neq \lbrace 0\rbrace }$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R/I}$

中国剰余定理は、イデアルが互いに素な対のイデアルの交差（または同等に、積）である場合、商環は商環の積に同型であることを述べています。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{k}}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle R/I_{n},\;n=1,\ldots ,k}$

可換環上の結合的代数 は、それ自体が環です。が のイデアル( -乗法に関して閉じている) である場合、 は上の代数の構造を継承し、 は商代数です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A/I}$${\displaystyle R}$

• 関連するグレードリング
• 残余フィールド
• ゴールディの定理
• 商モジュール

• F. Kasch (1978) Moduln und Ringe、DAR Wallace (1982) Modules and Rings訳、Academic Press、33ページ。
• Neal H. McCoy (1948) 「環とイデアル」、§13 留数類環、61 ページ、Carus Mathematical Monographs #8、Mathematical Association of America。
• ジョセフ・ロットマン (1998)。ガロア理論(第 2 版)。スプリンガー。 21～23ページ。ISBN 0-387-98541-7。
• BL van der Waerden (1970) Algebra、Fred Blum および John R Schulenberger 訳、Frederick Ungar Publishing、ニューヨーク。第 3.5 章「イデアル、剰余類環」の 47 ～ 51 ページを参照。

• 「商環」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• John Beachy のAbstract Algebra Onlineのイデアルと因子環