通常の理想

数学、特に環論においては、正則イデアルは複数の概念を指すことがあります。

作用素論において、 （おそらく）非単位環Aの右イデアルが 正則（またはモジュラー）であるとは、 Aに元eが存在して任意のに対してとなるときを言う。^[1]${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle ex-x\in {\mathfrak {i}}}$${\displaystyle x\in A}$

可換代数において、正則イデアルは非ゼロの因子を含むイデアルを指す。^{[2] [3]}この記事では、このタイプのイデアルを区別するために「正則元イデアル」を使用する。

環Rの両側イデアルは、各元xに対してxyx = xとなるyが存在するとき、（フォン・ノイマン）正則イデアルとも呼ばれる。^{[4] [5]}${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$

最後に、正則イデアルは、商環R / J がフォン・ノイマン正則環となるような環RのイデアルJを指すために使われてきた。^[6]この記事では、このタイプの正則イデアルを指すために「商フォン・ノイマン正則」を使用する。

形容詞regularは多重定義されているため、この記事では概念を区別するために 代替形容詞modular、regular element、von Neumann normal、quotient von Neumann normalを採用しています。

モジュラーイデアルの概念により、単位環におけるイデアルのさまざまな特徴付けを非単位設定に一般化することが可能になります。

両側イデアルは、が単位イデアルである場合に限り、モジュラーです。単位環では、e =1 を選択すると任意の右イデアルに対して機能するため、すべてのイデアルはモジュラーです。したがって、この概念は、バナッハ代数などの非単位環ではより興味深いものです。定義から、モジュラー イデアルを含むイデアルは、それ自体がモジュラーであることが簡単にわかります。 ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$${\displaystyle A/{\mathfrak {i}}}$

驚くべきことに、単位元を持たない環であっても、モジュラー右イデアルが極大右イデアルに含まれていることを証明することは可能である。^[7]しかし、単位元を持たない環にはモジュラー右イデアルが全く存在しない可能性がある。

モジュラーであるすべての極大右イデアルの共通部分はヤコブソン根号である。^[8]

例

• 偶数非単位環では、(6)は正則( )であるが、(4)は正則ではない。${\displaystyle e=4}$
• M を単純右 A 加群とする。 x がMの非ゼロ元である場合、 xの消滅子はAの正則極大右イデアルである。
• Aが極大右イデアルを持たない環である場合、 A は単一のモジュラー右イデアルさえ持つことができません。

単位元を持つすべての環には、少なくとも1つの正則元イデアル、すなわち自明イデアルR自体が存在する。可換環の正則元イデアルは本質イデアルである。半素右ゴールディ環では逆が成り立ち、本質イデアルはすべて正則元イデアルである。^[9 ]

可換環Rの 2 つの正則元(= 非零因子)の積もまた正則元なので、2 つの正則元イデアルの積もまた正則元イデアルであることは明らかです。明らかに、正則元イデアルを含む任意のイデアルもまた正則元イデアルです。

例

• 整域では、すべての非ゼロ元は正則元であり、したがってすべての非ゼロイデアルは正則元イデアルです。
• 可換環の冪根基は冪零元のみで構成されているため、どの元も正則にはなり得ません。これは、正則元イデアルではないイデアルの例です。
• アルティン環では、各元は可逆であるか、零因子であるかのいずれかです。このため、このような環には 1 つの正則元イデアル、つまりRしかありません。
• マロ環では、すべての正則イデアルは正則要素によって生成されます。

定義から、R がフォンノイマン正則イデアルである場合に限り、Rがフォン ノイマン正則環であることが明らかです。次のステートメントは、フォン ノイマン正則イデアルの関連する補題です。

補題: 環Rと真イデアルJ が元a を含むとき、 Jに元yが存在してa = ayaとなるのは、 Rに元r が存在してa = araとなる場合のみである。証明: 「only if」の方向はトートロジーである。「if」の方向では、a = ara = araraとなる。a はJに存在するのでrar も存在するため、y = rarと設定すると結論が得られる。

この補題の結果として、フォン・ノイマン正則環のすべてのイデアルはフォン・ノイマン正則イデアルであることが明らかです。別の帰結として、JとK がRの 2 つのイデアルでJ ⊆ Kであり、 Kがフォン・ノイマン正則イデアルである場合、Jもフォン・ノイマン正則イデアルです。

JとKがRの2つのイデアルであるとき、Kがフォン・ノイマン正則であるための必要十分条件は、Jがフォン・ノイマン正則イデアルであり、K / Jがフォン・ノイマン正則環であるときである。^[10]

すべての環には少なくとも1つのフォン・ノイマン正則イデアル、つまり{0}が存在する。さらに、すべての環には他のすべてのフォン・ノイマン正則イデアルを含む最大フォン・ノイマン正則イデアルが存在し、このイデアルは次のように与えられる。

${\displaystyle M=\{x\in R\mid RxR{\text{ はフォン・ノイマン正則イデアルである }}\}}$。

例

• 上で述べたように、フォン・ノイマン正則環のすべてのイデアルはフォン・ノイマン正則イデアルです。
• フォン・ノイマン正則環でもある局所環は、分裂環であることはよく知られています^[要出典]。R を分裂環ではない局所環とし、唯一の極大右イデアルをJで表します。すると、R はフォン・ノイマン正則環にはなり得ませんが、分裂環であるR / Jはフォン・ノイマン正則環です。したがって、 J は極大であってもフォン・ノイマン正則イデアルにはなり得ません。
• 分割環ではない単純な 領域には、フォン・ノイマン正則イデアルの可能な最小数、つまり {0} イデアルのみがあります。

JとK が商フォン・ノイマン正則イデアルであれば、 J ∩ Kも商フォン・ノイマン正則イデアルです。

J ⊆ KがRの真イデアルでJが商フォン ノイマン正則であれば、 Kも商フォン ノイマン正則です。これは、R / Jの商がすべてフォン ノイマン正則環であり、 環の同型定理によりR / K ≅( R / J )/( J / K ) が成立するからです。特に、AがRの任意のイデアルで、 Jが商フォン ノイマン正則であれば、イデアルA + Jは商フォン ノイマン正則です。

例

• フォン・ノイマン正則環のすべての適切なイデアルはフォン・ノイマン正則の商である。
• R / Mは体なので、可換環の任意の極大イデアルは商フォン・ノイマン正則イデアルです。これは一般には当てはまりません。非可換環の場合、R / M は単純環にすぎず、フォン・ノイマン正則ではない可能性があるからです。
• R を、分割環ではない局所環とし、最大右イデアルM を持つものとする。このとき、R / M は分割環であるが、R はフォン・ノイマン正則環ではないので、 M は商フォン・ノイマン正則イデアルである。
• より一般的には、任意の半局所環において、ヤコブソン根号 Jは商フォン・ノイマン正則である。これは、 R / Jが半単純環であり、したがってフォン・ノイマン正則環であるためである。

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