理想的な規範

可換代数では、イデアルのノルムは、体拡大の元のノルムの一般化です。複雑な数環のイデアルの大きさを、それほど複雑でない環のイデアルで測るので、数論では特に重要です。それほど複雑でない数環が整数環 Z であるとすると、数環Rの非ゼロイデアルIのノルムは、有限商環R / Iの大きさに過ぎません。

A を、分数体Kと、Kの有限可分拡大LにおけるBの整閉包を持つデデキント領域とします。(これは、Bもデデキント領域であることを意味します。)と をそれぞれAとBのイデアル群(つまり、非ゼロ分数イデアルの集合)とします。Jean -Pierre Serreによって開発された手法に従って、ノルム写像 ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{A}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{B}}$

${\displaystyle N_{B/A}\colon {\mathcal {I}}_{B}\to {\mathcal {I}}_{A}}$

を満たす 唯一の群準同型である。

${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {p}}^{[B/{\mathfrak {q}}:A/{\mathfrak {p}}]}}$

Bのすべての非ゼロの素イデアル に対して、 はAの素イデアルの下にある。 ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap A}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

あるいは、任意のに対して、Bの元の体ノルムの集合によって生成されるAの分数イデアルを と定義することも同等である。^[1]${\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{B}}$${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {b}})}$${\displaystyle \{N_{L/K}(x)|x\in {\mathfrak {b}}\}}$

の場合、が成り立ちます。ただし、 です。 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{A}}$${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {a}}B)={\mathfrak {a}}^{n}}$${\displaystyle n=[L:K]}$

したがって、主イデアルのイデアルノルムは、要素のフィールドノルムと互換性があります。

${\displaystyle N_{B/A}(xB)=N_{L/K}(x)A.}$^[2]

を整数環を持つ数体のガロア拡大とします。 ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$

すると、前述は にも適用され、任意の に対しては ${\displaystyle A={\mathcal {O}}_{K},B={\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}}$

${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}({\mathfrak {b}})=K\cap \prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma ({\mathfrak {b}}),}$

これは の要素です。 ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{K}}}$

表記法は と短縮されることもありますが、これは表記法の乱用であり、上で述べたように、フィールド ノルム の記述とも互換性があります。${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}}$${\displaystyle N_{L/K}}$${\displaystyle N_{L/K}}$

の場合、 には自明なイデアル類群と単位群 があるため、の範囲として正の有理数を使用するのが妥当であり、したがって の非ゼロの分数イデアルはそれぞれ一意に決まる正の有理数によって生成されます。この規則では、から までの相対ノルムは、以下で定義される 絶対ノルムと一致します。${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }\,}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{\pm 1\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle L}$${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$

を整数環と の非ゼロ（整数）イデアルを持つ数体とします。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$

の絶対的な規範は ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle N({\mathfrak {a}}):=\left[{\mathcal {O}}_{L}:{\mathfrak {a}}\right]=\left|{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}\right|.\,}$

慣例により、ゼロイデアルのノルムはゼロとみなされます。

が主イデアルである場合、 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(a)}$

${\displaystyle N({\mathfrak {a}})=\left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|}$^[3 ]

ノルムは完全に乗法的である。すなわち、と がのイデアルである場合、 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$

${\displaystyle N({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {a}})N({\mathfrak {b}})}$^[3 ]

したがって、絶対ノルムは群準同型に一意に拡張される。

${\displaystyle N\colon {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}\to \mathbb {Q} _{>0}^{\times },}$

のすべての非ゼロ分数イデアルに対して定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$

イデアル のノルムは、それに含まれる最小の非ゼロ要素の体ノルムの上限を与えるために使用できます。 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

常に非ゼロの ${\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle \left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\left|\Delta _{L}\right|}}N({\mathfrak {a}}),}$

どこ

• ${\displaystyle \Delta _{L}}$は、およびの判別式である。${\displaystyle L}$
• ${\displaystyle s}$は、（ Lの複素数部分の数）へのLの（非実数）複素埋め込みのペアの数である。^[4]${\displaystyle \mathbb {C} }$

• フィールドノルム
• デデキントゼータ関数