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数学、より具体的には抽象代数学において、rng（非単位環、擬似環ともいう）は、環と同じ性質を満たす代数構造であるが、乗法単位元の存在を仮定しないものである。rng（IPA: / r ʌ ŋ / ）という用語は、iのない、つまり単位元を必要としない環であることを示唆することを意図している。 [1]
乗法単位元の存在が環の公理の 1 つである必要があるかどうかについては、コミュニティ内で合意が得られていません(環 (数学) § 歴史を参照)。 rngという用語は、乗法単位元の公理のない環を明示的に参照したい場合に、この曖昧さを軽減するために造られました。
解析で考慮される関数の代数の多くは単位的ではありません。たとえば、無限大でゼロに減少する関数の代数、特に何らかの（非コンパクト）空間上でコンパクトなサポートを持つ関数の代数などがそうです。
意味
正式には、rngは、加算と乗算と呼ばれる2つの二項演算（+、·）を持つ集合 Rであり、
rng準同型とは、あるrngから別のrngへの関数f : R → Sであり、
- 関数f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )
- f ( x · y ) = f ( x ) · f ( y )
R内のすべてのxとyについて。
RとSが環の場合、環準同型 R → Sは 1 対 1 を写像する rng 準同型R → Sと同じです。
例
すべての環は rng です。環ではない rng の簡単な例としては、通常の整数の加算と乗算による偶数があります。別の例としては、最下行がゼロである 3 行 3 列のすべての実数行列の集合があります。これらの例は両方とも、すべての (片側または両側の)イデアルは rng であるという一般的な事実の例です。
無限次元ベクトル空間上の線型作用素を考える場合、関数解析では rng が自然に現れることがよくあります。たとえば、任意の無限次元ベクトル空間Vを取り、有限階数(つまり、dim f ( V ) < ∞ ) を持つすべての線型作用素f : V → Vの集合を考えます。作用素の加算と合成を合わせると、これは rng ですが、環ではありません。別の例としては、成分ごとの演算で 0 に収束するすべての実数列の rng があります。
また、超関数の理論に現れる多くのテスト関数空間は、例えばシュワルツ空間のように、無限大でゼロに減少する関数から構成されます。したがって、点ごとの乗算の唯一の可能な単位元である、どこでも 1 に等しい関数は、そのような空間には存在できず、したがって、そのような空間は rng (点ごとの加算と乗算) です。特に、ある位相空間上で定義されたコンパクトな台を持つ実数値連続関数は、点ごとの加算と乗算とともに rng を形成します。これは、基礎となる空間がコンパクトでない限り、環ではありません。
例: 偶数整数
偶数集合 2 Zは加算と乗算に対して閉じており、加法単位元 0 を持つため rng ですが、乗法単位元は持たないため、環ではありません。
2 Zでは、乗法的な冪等元は 0 のみであり、冪等元は 0 のみであり、反射的な逆元を持つ元は0 のみである。
例: 有限五進法シーケンス
座標ごとの加算と乗算を備えた直和は、次の特性を持つ rng です。
- そのべき等要素は上限のない格子を形成します。
- すべての要素xには反射的な逆要素、つまりxyx = xかつyxy = yとなる要素y が存在します。
- のすべての有限部分集合に対して、部分集合全体の恒等集合として機能する の冪等集合が存在します。これは、部分集合内のシーケンスがその位置にゼロ以外の要素を持つすべての位置で 1 を持ち、他のすべての位置でゼロを持つシーケンスです。
プロパティ
- イデアル、商環、およびモジュールは、環の場合と同じ方法で rng に対して定義できます。
- しかし、環の代わりにrngを使用すると、関連する定義が複雑になります。たとえば、環Rでは、要素fによって生成される左イデアル( f )は、 fを含む最小の左イデアルとして定義され、単にRfですが、Rがrngだけの場合、Rfにはfが含まれない可能性があるため、代わりに
ここで、nfは繰り返し加算/減算を使用して解釈する必要があります。nはRの元を表す必要はないからです。同様に、rngRの元f 1 , ..., f mによって生成される左イデアルは
この公式はエミー・ネーター に遡る。[2]モジュールの要素の集合によって生成されるサブモジュール の定義でも同様の複雑さが生じる。 - 環に関する定理の一部は、rng では偽です。たとえば、環では、すべての適切なイデアルは最大イデアルに含まれるため、非ゼロの環には常に少なくとも 1 つの最大イデアルがあります。これらのステートメントは両方とも、rng では偽です。
- rng準同型f : R → Sは任意のべき等元をべき等元に写像します。
- f : R → S が環から rng への rng 準同型であり、fの像がSの非零因子を含む場合、Sは環であり、f は環準同型です。
恒等要素の付加（Dorroh 拡張）
任意の環R は単位元を付加することで環R ^に拡大できる。これを一般的に行う方法は、正式に単位元 1 を追加し、 R ^ を 1 とRの要素の整線形結合で構成し、その非ゼロの整数倍がRに一致したり含まれたりしないという前提に立つことである。つまり、R ^ の要素は次の形式である。
n⋅1 + rである。
ここでn は整数、r ∈ Rです。乗算は線形性によって定義されます。
( n 1 + r 1 ) ⋅ ( n 2 + r 2 ) = n 1 n 2 + n 1 r 2 + n 2 r 1 + r 1 r 2 .
より正式には、R ^を直積 Z × Rとし、加算と乗算を次のように定義します。
( n 1 , r 1 ) + ( n 2 , r 2 ) = ( n 1 + n 2 , r 1 + r 2 )、
( n 1、r 1 ) · ( n 2、r 2 ) = ( n 1 n 2、n 1 r 2 + n 2 r 1 + r 1 r 2 )。
R ^の乗法単位元は(1, 0)です。自然な rng 準同型j : R → R ^はj ( r ) = (0, r )で定義されます。この写像には次の普遍的性質があります。
任意の環Sと任意の環準同型f : R → Sが与えられたとき、 f = gjとなる唯一の環準同型g : R ^ → Sが存在する。
マップgはg ( n , r )= n · 1S + f ( r )で定義できます。
自然な射影環準同型R ^ → Zが存在し、これは( n , r )をnに写す。この準同型の核はRのR ^における像である。jは単射なので、R はR ^に(両側)イデアルとして埋め込まれ、商環R ^/ R はZと同型であることがわかる。したがって、
すべての rng は何らかの環のイデアルであり、環のすべてのイデアルは rng です。
j は決して射影的ではないことに注意してください。したがって、 R がすでに単位元を持っている場合でも、環R ^ は異なる単位元を持つより大きな環になります。環R ^ は、最初に構築したアメリカの数学者ジョー・リー・ドロにちなんで、 Rのドロ拡大と呼ばれることがよくあります。[3]
恒等元を rng に付加するプロセスは、圏論の言語で定式化できます。すべての環と環準同型の圏をRingで表し、すべての rng と rng 準同型の圏をRngで表すと、RingはRngの(非完全な)サブカテゴリになります。上記のR ^の構成により、包含関数I : Ring → Rngの 左随伴関数が生成されます。包含関数が完全でないため、 Ring はRngの反射サブカテゴリではないことに注意してください。
アイデンティティを持つことよりも弱い性質
文献では、単位元を持つことよりも弱いが、それほど一般的ではない特性がいくつか検討されています。たとえば、次のようになります。
- 十分な冪等性を持つ環: rng Rは、直交する(つまり、E内のすべてのe ≠ fに対してef = 0 ) 冪等性 (つまり、E内のすべてのeに対してe 2 = e ) によって与えられるRの部分集合Eが存在し、 R = ⊕ e ∈ E eR = ⊕ e ∈ E Reとなるとき、十分な冪等性を持つ環であるといわれます。
- 局所単位を持つ環: rng R は、 R内のすべての有限集合r 1、r 2、...、r tに対して、 e 2 = eかつすべてのiに対してer i = r i = r i eとなるような R 内の e が見つかる場合に、局所単位を持つ環であると言われます。
- s単位環: R のすべての有限集合r 1、r 2、...、r tに対して、任意の iに対してsr i = r i = r i sとなるようなR内のsが見つかる場合、 rng Rはs単位環であると言われます。
- 堅固な環: rng R は、 r ⊗ s ↦ rsによって与えられる標準準同型R ⊗ R R → Rが同型である場合に堅固であると言われます。
- べき等環: rng R は、 R 2 = Rの場合にべき等 (または irng) であると言われます。つまり、Rのすべての要素rに対して、となるR内の要素r iとs i が見つかります。
これらの各プロパティが単位元を持つことよりも弱く、その前のプロパティよりも弱いことを確認するのは難しくありません。
- 環は、E = {1} を使用して、十分な冪等性を持つ環です。単位元を持たない十分な冪等性を持つ環は、たとえば、有限個の非ゼロ要素を持つ体上の無限行列の環です。主対角線の 1 つの要素に 1 が含まれ、他のすべての要素に 0 が含まれる行列は、直交冪等性です。
- 十分な冪等性を持つ環は、定義を満たすために直交冪等性の有限和を取ることによってわかるように、局所単位を持つ環です。
- 局所単位を持つ環は特にs -ユニタルです。s -ユニタル環は堅固であり、堅固な環は冪等です。
平方ゼロのRNG
平方零のrngとは、 R内のすべてのxとyに対してxy = 0となるようなrng Rのことである。[4]すべてのxとyに対してxy = 0となるような乗法を定義することで、任意のアーベル群を平方零のrngにすることができる。 [5]したがって、すべて のアーベル群はあるrngの加法群である。乗法単位元を持つ平方零のrngは、零環{0}のみである。[5]
平方零のrngの任意の加法部分群はイデアルである。したがって、平方零のrngが単純であるためには、その加法群が単純アーベル群、すなわち素数位数の巡回群である必要がある。[6]
単位準同型
2つの単位代数AとBが与えられたとき、代数準同型
f : A → B
Aの単位元をBの単位元に写像する場合、それは単位元です。
体K上の結合代数Aが単位元でない場合は、次のように単位元を付加することができる。A × Kを基礎Kベクトル空間として取り、乗法∗を次のように定義する。
( x , r ) ∗ ( y , s ) = ( xy + sx + ry , rs )
x、y はAに、r、s はKにそれぞれ属します。すると、 ∗ は単位元(0, 1)を持つ結合演算になります。古い代数A は新しい代数に含まれており、実際、A × Kは普遍的構成の意味で、A を含む「最も一般的な」単位代数です。
参照
引用
- ^ ジェイコブソン（1989）、155-156ページ
- ^ ノイマン（1921）、30ページ、§1.2
- ^ ドロ（1932）
- ^ Bourbaki (1998)、p. 102 を参照。ここでは、これを平方ゼロの擬似環と呼んでいる。他の著者の中には、平方ゼロの任意の環を指すのに「ゼロ環」という用語を使用する人もいる。たとえば、Szele (1949) や Kreinovich (1995) を参照。
- ^ ブルバキ（1998）、102ページ
- ^ ザリスキ＆サミュエル（1958）、133ページ
参考文献
- Bourbaki, N. (1998).代数 I、第 1 章から第 3 章。Springer。
- ダミット、デビッド S.; フット、リチャード M. (2003)。抽象代数(第 3 版) 。Wiley。ISBN 978-0-471-43334-7。
- Dorroh, JL (1932). 「代数への付加について」. Bull. Amer. Math. Soc . 38 (2): 85–88. doi : 10.1090/S0002-9904-1932-05333-2 .
- ジェイコブソン、ネイサン (1989)。『基礎代数』（第 2 版）。ニューヨーク: WH フリーマン。ISBN 0-7167-1480-9。
- Kreinovich, V. (1995). 「多項式恒等式が環上のすべての半順序が拡張可能であることを保証する場合、この恒等式はゼロ環に対してのみ真である」。Algebra Universalis . 33 (2): 237–242. doi :10.1007/BF01190935. MR 1318988. S2CID 122388143.
- Herstein, IN (1996).抽象代数(第 3 版). Wiley. ISBN 978-0-471-36879-3。
- McCrimmon, Kevin (2004)。『ジョーダン代数の味わい』 Springer。ISBN 978-0-387-95447-9。
- ネーター、エミー(1921)。 "Idealtheorie in Ringbereichen" [指輪の理想理論]。Mathematische Annalen (ドイツ語)。83（1-2）：24-66。土井：10.1007/BF01464225。S2CID 121594471。
- ティボール・ゼレ（1949年）。 「ゼロリンゲの理論」。数学アンナレン。121 : 242–246。土井：10.1007/bf01329628。MR 0033822。S2CID 122196446 。
- ザリスキ、オスカー、サミュエル、ピエール (1958)。可換代数。第 1 巻。ヴァン ノストランド。