理想主義者

抽象代数学において、半群Sの部分半群Tのイデアル化とは、 TがイデアルであるSの最大の部分半群のことである。^[1]このようなイデアル化は次のように与えられる 。

${\displaystyle \mathbb {I} _{S}(T)=\{s\in S\mid sT\subseteq T{\text{ かつ }}Ts\subseteq T\}.}$

環論では、Aが環 Rの加法部分群である場合、 （ Rの乗法半群で定義される）はAが両側イデアルであるRの最大の部分環である。 ^{[2] [3]}${\displaystyle \mathbb {I} _{R}(A)}$

リー代数において、L がリー積 [ x , y ] を持つリー環（またはリー代数）であり、S がLの加法部分群である場合、集合

${\displaystyle \{r\in L\mid [r,S]\subseteq S\}}$

は古典的にはSの正規化集合と呼ばれますが、この集合が実際には理想化集合のリー環相当であることは明らかです。リー積の反可換性により [ s , r ] = −[ r , s ] ∈  Sとなるため、 [ S , r ] ⊆  Sと指定する必要はありません。 Sのリー「正規化集合」は、Sがリー理想となるLの最大の部分環です。

多くの場合、右イデアルまたは左イデアルがRの加法部分群である場合、イデアル化子は、環元による乗算がすでに片側で吸収されているという事実を利用して、より単純に定義されます。明示的には、

${\displaystyle \mathbb {I} _{R}(T)=\{r\in R\mid rT\subseteq T\}}$

Tが右イデアルである 場合、または

${\displaystyle \mathbb {I} _{R}(L)=\{r\in R\mid Lr\subseteq L\}}$

Lが左イデアルの 場合。

可換代数では、理想化子はより一般的な構成と関係している。可換環Rと、右R加群Mの2つの部分集合AとBが与えられたとき、導体またはトランスポーターは次のように与えられる。

${\displaystyle (A:B):=\{r\in R\mid Br\subseteq A\}}$。

この導手記法によれば、Rの加法部分群Bは理想化子

${\displaystyle \mathbb {I} _{R}(B)=(B:B)}$。

AとB がRのイデアルである場合、導体はRのイデアルの剰余格子の構造の一部です。

例

C*-代数Aの乗数代数 M ( A )は、 π ( A )の理想化子と同型です。ここで、 πはヒルベルト空間H上のAの任意の忠実な非退化表現です。  

• Goodearl, KR (1976)、「環論：非特異環と加群」、純粋および応用数学、第33号、ニューヨーク：Marcel Dekker Inc.、pp. viii+206、MR  0429962
• レヴィ、ローレンス S.、ロブソン、J. クリス (2011)、「遺伝的ノイザン素環と理想化体」、数学調査とモノグラフ、第 174 巻、プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会、pp. iv+228、ISBN 978-0-8218-5350-4、MR  2790801
• ミハレフ、アレクサンダー V。ピルツ、ギュンター F. 編(2002)、The concise handbook of algebra、ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers、pp. xvi+618、ISBN 0-7923-7072-4、MR  1966155