壁紙グループ

壁紙群（または平面対称群、平面結晶群）は、パターンの対称性に基づいた、2 次元の繰り返しパターンの数学的分類です。このようなパターンは、建築や装飾芸術、特に織物、タイル、壁紙で頻繁に見られます。

最も単純な壁紙グループであるグループp 1 は、パターンを 2 次元で単純に平行移動した以上の対称性がない場合に適用されます。次のパターンには、回転対称性や反射対称性など、より多くの形式の対称性があります。

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  例A : 布、タヒチ
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  例B : 装飾画、ニネベ、アッシリア
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  例C : 彩色磁器、中国

例AとB は同じ壁紙グループを持ちます。これはIUCr 表記では p4m 、オービフォールド表記では *442 と呼ばれます。例C は異なる壁紙グループを持ち、 p4g または 4*2 と呼ばれます。例AとBが同じ壁紙グループを持つということは、デザインの表面的な詳細に関係なく、同じ対称性を持つことを意味します。一方、例C は異なる対称性のセットを持ちます。

対称群の数は、パターンの次元数によって異なります。壁紙群は 2 次元の場合に適用され、複雑さの点ではより単純なフリーズ群と 3 次元空間群の中間です。

このような平面対称性の異なる群は17 個しかないという証明は、 1891 年にエフグラフ・フェドロフによって初めて実行され^[1]、その後1924 年にジョージ・ポリアによって独立に導出されました^{[2] 。壁紙群のリストが完全であることの証明は、はるかに難しい}空間群の場合が行われた後にのみ行われました。17 個の壁紙群は以下にリストされています。§ 17 個の群を参照してください。

パターンの対称性とは、簡単に言えば、パターンを変形して、変形後もまったく同じに見えるようにする方法です。たとえば、パターンを有限の距離だけ変形(つまり、シフト) しても変化がないように見える場合、並進対称性が存在します。縦縞のセットを 1 本の縞だけ水平にシフトすることを考えてみましょう。パターンは変化しません。厳密に言えば、真の対称性は、正確に繰り返され、無限に続くパターンにのみ存在します。たとえば、5 本の縞のセットには並進対称性がありません。つまり、シフトすると、一方の端の縞が「消え」、もう一方の端に新しい縞が「追加」されます。ただし、実際には、分類は有限のパターンに適用され、小さな欠陥は無視されることがあります。

ここで関連する変換の種類は、ユークリッド平面等長変換と呼ばれます。例:

• 例B を1 単位右にシフトして、各正方形が元々隣接していた正方形を覆うようにすると、結果のパターンは開始パターンとまったく同じになります。このタイプの対称性は、変換と呼ばれます。例Aと例C は、最小のシフトが対角方向である点を除いて似ています。
• 例B を正方形の 1 つの中心を軸に時計回りに 90°回転させると、まったく同じパターンが得られます。これを回転と呼びます。例AとCも 90° 回転していますが、例Cの正しい回転中心を見つけるにはもう少し工夫が必要です。
• また、例B を画像の中央を横切る水平軸を挟んで反転させることもできます。これは反射と呼ばれます。例B には、垂直軸を挟んだ反射と、2 つの対角軸を挟んだ反射もあります。同じことがAにも言えます。

しかし、例Cは異なります。水平方向と垂直方向の反射のみがあり、対角軸を越えた反射はありません。対角線を越えると、同じパターンに戻るのではなく、元のパターンが一定距離だけずれます。これが、壁紙グループAとB が壁紙グループCと異なる理由の 1 つです。

もう 1 つの変換は「グライド」です。これは、反射と、反射線に平行な変換を組み合わせたものです。

数学的には、壁紙群または平面結晶群は、2 つの線形独立な変換を含むユークリッド平面の等長変換の位相的に離散的な 群の一種です。

このような 2 つの等長変換群は、平面のアフィン変換まで同じである場合、同じタイプ (同じ壁紙群) です。したがって、たとえば平面の平行移動 (したがって、ミラーと回転中心の平行移動) は壁紙群に影響しません。平行移動ベクトル間の角度の変更についても、対称性が追加または削除されない限り、同じことが当てはまります (これは、ミラーとすべり反射がなく、回転対称性が最大で 2 次である場合にのみ当てはまります)。

3次元の場合とは異なり、アフィン変換を方向を保存するものに制限することもできます。

ビーベルバッハの予想から、すべての壁紙群は抽象群としても異なることがわかります(たとえば、そのうちの 2 つがZと同型であるフリーズ群とは対照的です)。

二重並進対称性を持つ 2D パターンは、対称グループのタイプに従って分類できます。

ユークリッド平面の等長変換は 4 つのカテゴリに分類されます (詳細については、 ユークリッド平面の等長変換の記事を参照してください)。

• 並進運動はT _vで表され、 v はR ²のベクトルです。これは、変位ベクトルv を適用して平面をシフトする効果があります。
• 回転はR _{c , θ}で表され、ここでcは平面上の点（回転の中心）、 θは回転角度です。
• 反射、またはミラー等長変換はF _Lで表され、 LはR ²内の線です。( Fは「反転」の略)。これは、反射軸または関連するミラーと呼ばれる線Lで平面を反射する効果があります。
• すべり反射はG _{L , d}で表され、ここでLはR ²内の線、 d は距離です。これは、線Lでの反射と、距離dだけLに沿った移動。

線形独立な変換の条件は、群にT _vとT _{w の}両方が含まれるような線形独立なベクトルvとw ( R ²内) が存在することを意味します。

この条件の目的は、壁紙群を、平行移動はあっても 2 つの独立した直線移動を持たないフリーズ群や、平行移動をまったく持たない2 次元離散点群と区別することです。言い換えると、壁紙群は2 つの異なる方向に繰り返されるパターンを表しますが、フリーズ群は単一の軸に沿ってのみ繰り返されます。

(この状況を一般化することは可能です。たとえば、mが 0 ≤ m  ≤  n の範囲の任意の整数である とき、 m 個の線形独立な変換を持つR ⁿの等長写像の離散群を研究することができます。)

離散性条件とは、ある正の実数 ε が存在し、グループ内のすべての変換T _vに対してベクトルv の長さが少なくともε であることを意味します (もちろん、 vがゼロ ベクトルの場合は除きますが、ゼロ ベクトルを含むすべてのセットは定義により線形従属であるため許可されないため、独立変換条件によってこれが防止されます)。

この条件の目的は、グループがコンパクトな基本領域、つまり、平面で繰り返される非ゼロの有限領域の「セル」を持つことを保証することです。この条件がなければ、たとえば、すべての有理数xに対する変換T _{x を}含むグループが存在する可能性がありますが、これは適切な壁紙パターンには対応しません。

離散性条件と独立並進条件の組み合わせから生じる重要かつ重要な結果は、群には2、3、4、または6次の回転しか含めることができない、つまり群内のすべての回転は180°、120°、90°、または60°の回転でなければならないということです。この事実は結晶学的制限定理として知られており、^[3]より高次元の場合にも一般化できます。

結晶学では、17 の壁紙群よりはるかに多い230 の空間群を区別する必要がありますが、群内の対称性の多くは同じです。したがって、 Carl HermannとCharles-Victor Mauguinの両群に同様の表記法を使用できます。Hermann-Mauguin スタイル ( IUCr 表記法とも呼ばれます) の完全な壁紙名の例は、4 つの文字または数字の p31m です。より一般的なのは、cmm や pg のような短縮名です。

壁紙グループの場合、完全な表記はpまたはcで始まります。これらはプリミティブ セルまたは面心セルを表します。これらについては後述します。この後に数字nが続き、回転対称性の最高次数を示します。1 倍 (なし)、2 倍、3 倍、4 倍、または 6 倍です。次の 2 つの記号は、パターンの 1 つの変換軸 (「メイン」軸と呼ばれる) に対する対称性を示します。変換軸に垂直なミラーがある場合は、それがメイン軸になります (2 つある場合はそのうちの 1 つ)。記号は、ミラー、グライド反射、またはなしを表すm、g、または1 のいずれかです。ミラーまたはグライド反射の軸は、最初の文字の場合はメイン軸に垂直で、2 番目の文字の場合は平行または 180°/ nに傾いています( n  > 2 の場合)。多くのグループには、指定されたものによって暗示される他の対称性が含まれます。短縮表記では、他のグループと混同しない限り、推測できる 数字やm は省略されます。

プリミティブセルは、格子の並進によって繰り返される最小の領域です。2 つを除くすべての壁紙対称グループは、格子の並進ベクトルを使用した座標基底であるプリミティブセル軸に関して記述されます。残りの 2 つのケースでは、対称性の記述は、プリミティブセルよりも大きい中心セルに関して行われるため、内部繰り返しがあり、それらの辺の方向は、プリミティブセルにまたがる並進ベクトルの方向とは異なります。結晶空間群の Hermann-Mauguin 表記では、追加のセルの種類が使用されます。

例

• p2 ( p 2 ): 原始セル、2回回転対称、ミラーやグライド反射なし。
• p4gm ( p 4 gm ): 原始セル、4 倍回転、主軸に垂直な滑空反射、45° の鏡面軸。
• c2mm ( c 2 mm ): 中心セル、2 回転、ミラー軸は主軸に対して垂直と平行の両方になります。
• p31m ( p 31 m ): 原始細胞、3回回転、鏡像軸は60°。

短縮表記と完全表記が異なるすべての名前を次に示します。

残りの名前はp1、p2、p3、p3m1、p31m、p4、およびp6です。

ジョン・ホートン・コンウェイ(Conway, 1992) (Conway 2008)が提唱した壁紙群のオービフォールド表記は、結晶学ではなく位相幾何学に基づいています。平面の無限周期タイリングをその本質であるオービフォールドに折り畳み、それをいくつかの記号で記述することができます。

• 数字nは、オービフォールド上の円錐点に対応するn回転の中心を示します。結晶学的制限定理により、 n は2、3、4、または 6 である必要があります。
• アスタリスク*は、オービフォールドの境界に対応する鏡映対称性を示します。これは次のように数字と相互作用します。
  1. *の前の数字は純粋な回転（周期的）の中心を表します。
  2. *の後の数字は、鏡映面を持つ回転中心を表し、オービフォールド (二面体) の境界上の「角」に対応します。
• 十字×は、グライド反射が存在する場合に発生し、オービフォールド上のクロスキャップを示します。純粋なミラーは格子並進運動と組み合わされてグライドを生成しますが、それらはすでに考慮されているため、表記する必要はありません。
• 「対称性なし」の記号oは単独で使用され、他の対称性のない格子変換のみが存在することを示します。この記号を持つオービフォールドはトーラスです。一般に、記号oはオービフォールド上のハンドルを表します。

結晶学表記法で cmm と表記される群は、コンウェイ表記法では2*22になります。*の前の2 は、鏡のない 2 倍回転中心があることを示します。*自体は、鏡があることを示します。*の後の最初の2 は、鏡の上に 2 倍回転中心があることを示します。最後の2 は、鏡の上に独立した 2 つ目の 2 倍回転中心があり、対称性の下で最初の回転中心の複製ではないことを示します。

pgg で示されるグループは22×になります。2 つの純粋な 2 倍回転中心と、すべり反射軸があります。これを pmg、Conway 22*と比較すると、結晶学的表記ではすべりが言及されていますが、これはオービフォールドの他の対称性に暗黙的に含まれています。

Coxeterの括弧表記も含まれています。これは反射Coxeter グループに基づいており、回転、不適切な回転、および変換 を考慮してプラス上付き文字で修正されています。

オービフォールドは、面、辺、頂点を持つ多角形と見なすことができます。これらの多角形は、球、平面、または双曲平面を敷き詰める、おそらく無限の多角形の集合を形成するために展開できます。平面を敷き詰めると壁紙群が得られ、球または双曲平面を敷き詰めると、球対称群または双曲対称群が得られます。多角形が敷き詰められる空間の種類は、オイラー特性χ  =  V  −  E  +  F を計算することでわかります。ここで、Vは角 (頂点) の数、Eは辺の数、F は面の数です。オイラー特性が正の場合、オービフォールドは楕円 (球状) 構造を持ちます。オイラー特性がゼロの場合は放物線構造、つまり壁紙群を持ちます。負の場合は双曲構造を持ちます。可能なオービフォールドの完全なセットを列挙すると、オイラー特性が 0 であるものは 17 個だけであることがわかります。

オービフォールドが対称性によって複製されて平面を埋めると、その特徴によって頂点、辺、および多角形面の構造が作成され、これはオイラー特性と一致している必要があります。プロセスを逆にすると、オービフォールドの特徴に数値を割り当てることができますが、整数ではなく分数です。オービフォールド自体は、対称群による全表面の商であるため、オービフォールドのオイラー特性は、対称群の順序による表面のオイラー特性の商です。

オービフォールドのオイラー特性は、次のように割り当てられた特徴値の合計から 2 を引いた値です。

• * なしまたは * の前の数字n は⁠としてカウントされます。 1の/ん⁠ .
• *の後の数字nは、 ⁠ 1の/2位⁠ .
• * と × は両方とも 1 としてカウントされます。
• 「対称性なし」のoは2としてカウントされます。

壁紙グループの場合、特性の合計は 0 である必要があります。したがって、特徴の合計は 2 である必要があります。

例

• 632: ⁠5/6⁠ + ⁠2/3⁠ + ⁠1/2⁠ = 2
• 3*3: ⁠2/3⁠ + 1 + ⁠2/6⁠ = 2
• 4*2: ⁠3/4⁠ + 1 + ⁠1/4⁠ = 2
• 22×: ⁠1/2⁠ + ⁠1/2⁠ + 1 = 2

ここで、すべての壁紙グループの列挙は、値の合計が 2 になるすべての機能文字列をリストするという算術の問題になります。

他の合計を持つ特徴文字列は無意味ではありません。それらは、ここでは説明されていない非平面タイリングを意味します。(オービフォールドオイラー特性が負の場合、タイリングは双曲型、正の場合、球状または不良)。

特定のデザインに対応する壁紙グループを調べるには、次の表を使用します。^[4]

図付きの概要もご覧ください。

このセクションの各グループには 2 つのセル構造図があり、次のように解釈されます (重要なのは色ではなく形状です)。

右側の図では、対称要素の異なる同値クラスが、異なる色（および回転）で表示されています。

茶色または黄色の領域は、基本領域、つまり繰り返されるパターンの最小部分 を示します。

右側の図は、最小の移動に対応する格子のセルを示しており、左側の図は、より大きな領域を示す場合もあります。

• オービフォールド署名: o
• コクセター記法（長方形）: [∞ ⁺ ,2,∞ ⁺ ] または [∞] ⁺ ×[∞] ⁺
• 格子：斜め
• 点群: C ₁
• グループp 1には移動のみが含まれ、回転、反射、またはグライド反射は含まれません。

グループp 1の例

• 
  コンピュータ生成
• 
  中世の壁のおむつ
• 
  21均一タイル

2 つの変換 (セルの辺) はそれぞれ異なる長さを持つことができ、任意の角度を形成できます。

• オービフォールド署名: 2222
• コクセター記法（長方形）: [∞,2,∞] ⁺
• 格子：斜め
• 点群: C ₂
• グループp 2には、順序 2 (180°) の回転中心が 4 つ含まれますが、反射やすべり反射はありません。

グループp 2の例

• 
  コンピュータ生成
• 
  クロス、サンドイッチ諸島（ハワイ）
• 
  エジプトの 墓の天井
• 
  ワイヤーフェンス、米国
• 
  15均一タイリング
• 
  エジプトの王が立っていたマット
• 
  エジプトのマット（詳細）

• オービフォールド署名: **
• コクセター記法: [∞,2,∞ ⁺ ] または [∞ ⁺ ,2,∞]
• 格子：長方形
• ポイントグループ: D ₁
• グループpm には回転はありません。反射軸があり、それらはすべて平行です。

グループpmの例

(最初の 3 つには垂直対称軸があり、最後の 2 つにはそれぞれ異なる対角軸があります。)

• 
  コンピュータ生成
• 
  エジプト、ビバン・エル・モルクの墓に眠る人物の衣装
• 
  エジプトの 墓、テーベ
• 
  エジプトのグルナにある墓の天井。反射軸は対角線です。
• 
  1851 年の大博覧会でのインドの金属細工。これはほぼpmです(楕円形のモチーフ間の短い対角線を無視すると p1 になります)
• 
  6均一タイル（スラブ）

• オービフォールド署名: ××
• コクセター記法: [(∞,2) ⁺ ,∞ ⁺ ] または [∞ ⁺ ,(2,∞) ⁺ ]
• 格子：長方形
• ポイントグループ: D ₁
• グループpgにはグライド反射のみが含まれ、その軸はすべて平行です。回転や反射はありません。

グループpgの例

• 
  コンピュータ生成
• 
  エジプト王が立っていたヘリンボーン模様のマット
• 
  エジプトのマット（詳細）
• 
  ザルツブルクのヘリンボーン模様の舗装。滑走反射軸は北東から南西に走っている。
• 
  スナブスクエアタイリングの色付けの1つ。グライド反射線は左上/右下の方向にあります。色を無視すると、pgよりもはるかに対称性が高く、 p 4 gになります（同じ色の三角形のこの画像を参照してください）^[5]
• 
  6五角形のみで構成された均一なタイル

ジグザグの帯の内側の詳細がないマットは pmg です。詳細はあるが茶色と黒の区別がないマットは pgg です。

タイルの波状の縁を無視すると、舗装は pgg です。

• オービフォールド署名: *×
• コクセター記法: [∞ ⁺ ,2 ⁺ ,∞] または [∞,2 ⁺ ,∞ ⁺ ]
• 格子：菱形
• ポイントグループ: D ₁
• グループcm には回転が含まれていません。グループには反射軸があり、すべて平行です。軸が反射軸ではない、隣接する 2 つの平行反射軸の中間にあるグライド反射が少なくとも 1 つあります。
• このグループは、対称軸が行に対して垂直な同一オブジェクトの対称的にずらされた行（つまり、行ごとに行内の移動距離の半分のシフトがある）に適用されます。

グループcmの例

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  コンピュータ生成
• 
  エジプト、アブ・シンベルのアメン神の衣装
• 
  エジプト、ビバン・エル・モルク出身のダド
• 
  アッシリア、ニムルードの青銅器
• 
  アーチのスパンドレル、アルハンブラ宮殿、スペイン
• 
  スペイン、アルハンブラ宮殿のアーチの軒裏
• 
  ペルシャの タペストリー
• 
  1851年万国博覧会におけるインドの金属細工
• 
  エジプト、ビバン・エル・モルクの墓に眠る人物の衣装
• 
  6六角形のセルで均一に並べたタイル
• 
  織物パターン:千鳥格子

• オービフォールド署名: *2222
• コクセター記法（長方形）: [∞,2,∞] または [∞]×[∞]
• コクセター記法（平方）：[4,1 ⁺ ,4] または [1 ⁺ ,4,4,1 ⁺ ]
• 格子：長方形
• 点群: D ₂
• pmmグループには、2 つの直交する方向の反射と、反射軸の交点に位置する 2 次 (180°) の回転中心が 4 つあります。

グループPMMの例

• 
  格子フェンスの 2D 画像、米国 (3D では対称性がさらに増します)
• 
  ルーブル美術館に保管されているミイラのケース
• 
  ルーブル美術館に保管されているミイラのケース。色が一致していないことを除けば、タイプP 4 mであると考えられます。
• 
  8非スラブ平面の共均一タイリング

• オービフォールド署名: 22 *
• コクセター記法: [(∞,2) ⁺ ,∞] または [∞,(2,∞) ⁺ ]
• 格子：長方形
• 点群: D ₂
• グループpmgには、2 つの次数 (180°) の回転中心と、1 方向のみの反射があります。反射軸に垂直な軸を持つすべり反射があります。回転中心はすべてすべり反射軸上にあります。

グループpmgの例

• 
  コンピュータ生成
• 
  クロス、サンドイッチ諸島（ハワイ）
• 
  エジプトの 墓の天井
• 
  チェコ共和国プラハの床タイル
• 
  ケルマのボウル
• 
  4均一なタイリング
• 
  ペンタゴンパッキング

• オービフォールド署名: 22 ×
• コクセター記法（長方形）: [((∞,2) ⁺ ,(∞,2) ⁺ )]
• コクセター記法（平方）: [4 ⁺ ,4 ⁺ ]
• 格子：長方形
• 点群: D ₂
• pggグループには、2 つの次数 2 (180°) の回転中心と、2 つの直交方向のすべり反射が含まれます。回転中心はすべり反射軸上にありません。反射はありません。

グループpggの例

• 
  コンピュータ生成
• 
  アッシリア、ニムルードの青銅器
• 
  ハンガリー、ブダペストの歩道
• 
  4つの均等なタイリング（厳密には三六角形）

• オービフォールド署名: 2 *22
• コクセター記法（菱形）: [∞,2 ⁺ ,∞]
• コクセター記法（平方）: [(4,4,2 ⁺ )]
• 格子：菱形
• 点群: D ₂
• グループcmm には、 2 つの垂直方向の反射と、中心が反射軸上にない2 次 (180°) の回転があります。また、中心が反射軸上にある2 つの回転もあります。
• このグループは日常生活でよく見られます。レンガ造りの建物における最も一般的なレンガの配置 (ランニングボンド) ではこのグループが使用されるためです (以下の例を参照)。

菱形の辺の中心に回転中心がある 2 次回転対称性は、他の特性の結果です。

パターンは次のそれぞれに対応します。

• 対称的にずらして並んだ同一の二重対称オブジェクト
• 2つの長方形のタイルが交互に並ぶ市松模様。各タイルはそれ自体で二重対称である。
• 2回回転対称の長方形タイルとその鏡像を交互に配置した市松模様

グループCMMの例

• 
  コンピュータ生成
• 
  細長い三角形のタイル
• 
  ランニングボンド契約を使用した郊外のレンガ壁、米国
• 
  エジプトの 墓の天井。色を無視すれば、これはp4gになるだろう
• 
  エジプト
• 
  ペルシャの タペストリー
• 
  エジプトの 墓
• 
  トルコ料理
• 
  2つのサイズの円をコンパクトに梱包
• 
  2つのサイズの円をコンパクトにまとめた
• 
  2つのサイズの円をコンパクトにまとめた
• 
  3同一均一タイリング (Krötenheerdt)

• オービフォールド署名: 442
• コクセター記法: [4,4] ⁺
• 格子：正方形
• 点群: C ₄
• グループp 4には、順序 4 (90°) の回転中心が 2 つと、順序 2 (180°) の回転中心が 1 つあります。反射やすべり反射はありません。

グループp 4の例

p 4パターンは、4 倍の回転対称性を持つ、同じ正方形のタイルの行と列の繰り返しとして考えることができます。また、係数 √ 2 で小さく、45° 回転した 2 つのタイルの市松模様のパターンとして考えることもできます 。

• 
  コンピュータ生成
• 
  エジプトの 墓の天井。色を無視するとp 4、そうでなければ p2
• 
  エジプトの 墓の天井
• 
  重ね合わせたパターン
• 
  フリーズ、アルハンブラ宮殿、スペイン。反射がない理由を理解するには、よく観察する必要がある。
• 
  ウィーンの杖
• 
  ルネサンス時代の陶器
• 
  ピタゴラスのタイル
• 
  写真から生成
• 
  4均一なタイリング

• オービフォールド署名: *442
• コクセター表記: [4,4]
• 格子：正方形
• ポイントグループ: D ₄
• p 4 m群には、4 次 (90°) の回転中心が 2 つあり、4 つの異なる方向 (水平、垂直、対角) に反射があります。さらに、軸が反射軸ではないすべり反射もあります。2 次 (180°) の回転は、すべり反射軸の交点を中心とします。すべての回転中心は反射軸上にあります。

これは、4 つの反射軸を持つ、行と列に等しい正方形が並んだ単純なグリッドに対応します。また、このような正方形 2 つからなる 市松模様のパターンにも対応します。

グループp 4 mの例

水平方向と垂直方向の最小の移動で表示された例（図のように）:

• 
  コンピュータ生成
• 
  正方形のタイル
• 
  テトラキス正方形タイリング。色を無視するとp 4 m、それ以外は cmmです。
• 
  切り詰められた正方形のタイル（色も無視し、翻訳は小さくなります）
• 
  装飾画、ニネベ、アッシリア
• 
  雨水排水溝、米国
• 
  エジプトの ミイラ事件
• 
  ペルシャの 釉薬タイル
• 
  2つのサイズの円をコンパクトに梱包
• 
  4同一均一タイリング (Krötenheerdt)

最小の翻訳を対角線で表示した例:

• 
  チェッカーボード
• 
  布、オタヒテ（タヒチ）
• 
  エジプトの 墓
• 
  ブールジュ大聖堂
• 
  トルコの食器、オスマン帝国時代

• オービフォールド署名: 4 *2
• コクセター記法: [4 ⁺ ,4]
• 格子：正方形
• ポイントグループ: D ₄
• グループp 4 gには、互いに鏡像である 4 次 (90°) の回転中心が 2 つありますが、反射は 2 方向のみに存在し、その方向は垂直です。反射軸の交点に中心がある 2 次 (180°) の回転があります。反射軸に平行なすべり反射軸、反射軸の中間のすべり反射軸、および反射軸と 45° の角度にあるすべり反射軸があります。

p 4 gパターンは、4 回転対称の正方形タイルとその鏡像のコピーのチェッカーボードパターンとして考えることができます。または、タイルを半分シフトすることで、水平および垂直に対称なタイルとその 90 度回転バージョンのコピーのチェッカーボード パターンとして考えることができます。どちらも、黒と白のタイルの単純なチェッカーボード パターンには当てはまらないことに注意してください。これは、グループp4m (対角変換セル付き) です。

グループp 4 gの例

• 
  浴室リノリウム、米国
• 
  彩色磁器、中国
• 
  フライスクリーン、米国
• 
  絵画、中国
• 
  スナブスクエアタイルのカラーリングの1つ（ページも参照）
• 
  4共均一タイリング（スナブスクエアタイリングのフラクタル化）

• オービフォールド署名: 333
• コクセター記法: [(3,3,3)] ⁺または [3 ^[3] ] ⁺
• 格子：六角形
• 点群: C ₃
• グループp 3には、順序 3 (120°) の 3 つの異なる回転中心がありますが、反射やすべり反射はありません。

等サイズの正三角形で平面をモザイク状に分割し、各辺が最小の移動に対応するとします。すると、三角形の半分は 1 つの方向を向いており、残りの半分は逆さまになります。この壁紙グループは、同じ方向の三角形がすべて等しく、両方のタイプが 3 次回転対称性を持ちながら、2 つが等しくなく、互いの鏡像でもなく、両方とも対称でない場合に対応します (2 つが等しい場合はp 6、互いの鏡像の場合はp 31 m、両方とも対称の場合はp 3 m 1です。3 つのうち 2 つが当てはまる場合は 3 つ目も当てはまり、それはp 6 mです)。特定の画像に対して、これらのモザイク分割のうち 3 つが可能であり、それぞれが回転中心を頂点とします。つまり、どのモザイク分割でも 2 つのシフトが可能です。画像に関して言えば、頂点は赤、青、緑の三角形になります。

同様に、最小の移動距離を√ 3で割った値に等しい辺を持つ、平面の正六角形によるモザイク分割を想像してください。この壁紙グループは、すべての六角形が等しく (同じ向きで)、 3 次回転対称性を持ち、鏡像対称性を持たないケースに対応します ( 6 次回転対称性を持つ場合はp 6、主対角線に対して対称な場合はp 31 m、辺に垂直な線に対して対称な場合はp 3 m 1です。3 つのうち 2 つが当てはまる場合は 3 つ目も当てはまる場合p 6 mです)​​。特定の画像に対して、これらのモザイク分割が 3 つ可能であり、それぞれ回転中心の 3 分の 1 が六角形の中心になります。画像に関して言えば、六角形の中心は、赤、青、または緑の三角形になります。

グループp 3の例

• 
  コンピュータ生成
• 
  スナブ三角六角形タイリング（色は無視：p 6）；画像の基になる六角形格子の方向と比較して、変換ベクトルが少し右に回転している。
• 
  ポーランド、ザコパネの道路舗装
• 
  スペインのアルハンブラ宮殿の壁タイル（壁全体）；すべての色を無視するとp 3になります（星の色だけを無視すると p 1 になります）
• 
  6つの均一なタイリング、各回転点は3倍のクラスターに囲まれている

• オービフォールド署名: *333
• コクセター記法: [(3,3,3)] または [3 ^[3] ]
• 格子：六角形
• ポイントグループ: D ₃
• p 3 m 1群には、3 次 (120°) の 3 つの異なる回転中心があります。正三角形の 3 辺に反射があります。すべての回転の中心は反射軸上にあります。さらに、3 つの異なる方向にすべり反射があり、その軸は隣接する平行反射軸の中間にあります。

p3の場合と同様に、等サイズの正三角形で平面をモザイク状に分割し、辺が最小の移動に対応するとします。すると、三角形の半分は 1 つの方向に配置され、残りの半分は逆さまになります。この壁紙グループは、同じ方向のすべての三角形が等しく、両方のタイプが 3 次回転対称性を持ち、両方とも対称であるが、2 つは等しくなく、互いの鏡像ではないというケースに対応します。特定の画像では、これらのモザイク分割が 3 つ可能であり、それぞれが回転中心を頂点とします。画像に関して言えば、頂点は赤、青、または緑の三角形になります。

グループp 3 m 1の例

• 
  三角形のタイル（色を無視：p 6 m）
• 
  六角形のタイル張り（色を無視：p 6 m）
• 
  切り詰められた六角形のタイル張り（色を無視：p 6 m）
• 
  ペルシャの 釉薬タイル（色を無視：p 6 m）
• 
  ペルシャの装飾
• 
  絵画、中国（詳細画像を参照）
• 
  6 つの均一なタイリング (3 つの異なる 3 クラスターを含む最小のもの)

• オービフォールド署名: 3 *3
• コクセター記法: [6,3 ⁺ ]
• 格子：六角形
• ポイントグループ: D ₃
• グループp 31 mには、3 次 (120°) の 3 つの異なる回転中心があり、そのうち 2 つは互いの鏡像です。3 つの異なる方向に反射があります。中心が反射軸上にない回転が少なくとも 1 つあります。さらに、3 つの異なる方向にすべり反射があり、その軸は隣接する平行反射軸の中間にあります。

p 3やp 3 m 1の場合と同様に、最小の移動に対応する辺を持つ、等しいサイズの正三角形による平面のモザイク分割を想像してください。すると、三角形の半分は 1 つの方向にあり、残りの半分は逆さまになります。この壁紙グループは、同じ方向のすべての三角形が等しい場合に対応します。両方のタイプは 3 次回転対称性を持ち、互いの鏡像ですが、それ自体は対称ではなく、等しくありません。特定の画像では、そのようなモザイク分割は 1 つだけ可能です。画像に関して言えば、頂点は青い三角形ではなく、赤い三角形である必要があります。

グループの例p 31 m

• 
  ペルシャの 釉薬タイル
• 
  彩色磁器、中国
• 
  絵画、中国
• 
  2つのサイズの円をコンパクトに梱包
• 
  4均一なタイリング

• オービフォールド署名: 632
• コクセター記法: [6,3] ⁺
• 格子：六角形
• 点群: C ₆
• グループp 6には、6 次 (60°) の回転中心が 1 つ、60° 回転すると互いの像となる 3 次 (120°) の回転中心が 2 つ、60° 回転すると互いの像となる 2 次 (180°) の回転中心が 3 つあります。反射やすべり反射はありません。

この対称性を持つパターンは、C ₃対称性を持つ等しい三角形のタイルで平面をモザイク状に並べたもの、または同等に、C ₆対称性を持つ等しい六角形のタイルで平面をモザイク状に並べたものと見なすことができます(タイルのエッジは必ずしもパターンの一部ではありません)。

グループp 6の例

• 
  コンピュータ生成
• 
  正多角形
• 
  壁パネル、アルハンブラ宮殿、スペイン
• 
  ペルシャの装飾
• 
  小花模様の五角形タイル
• 
  水平および 60° 移動による7 つの均一タイリング

• オービフォールド署名: *632
• コクセター表記法: [6,3]
• 格子：六角形
• ポイントグループ: D ₆
• p 6 m群には、6 次 (60°) の回転中心が 1 つあります。また、回転の差が 60° (または 180°) のみである 3 次回転中心が 2 つ、回転の差が 60° のみである 2 次回転中心が 3 つあります。また、6 つの異なる方向に反射があります。さらに、6 つの異なる方向にすべり反射があり、その軸は隣接する平行反射軸の中間に位置します。

この対称性を持つパターンは、D ₃対称性の等しい三角形のタイルで平面をモザイク状に並べたもの、または D ₆対称性の等しい六角形のタイルで平面をモザイク状に並べたものと見なすことができます (タイルの端は必ずしもパターンの一部ではありません)。したがって、最も単純な例は、接続線の有無にかかわらず三角形の格子と、六角形の輪郭と背景にそれぞれ 1 色ずつ使用した六角形 のタイルです。

グループp 6 mの例

• 
  コンピュータ生成
• 
  三角タイル
• 
  小さな菱形六角形のタイル
• 
  素晴らしい菱形六角形のタイル
• 
  ペルシャの 釉薬タイル
• 
  アッシリア、ニムルードの青銅器
• 
  ビザンチン 大理石の敷石、ローマ
• 
  彩色磁器、中国
• 
  彩色磁器、中国
• 
  2つのサイズの円をコンパクトに梱包
• 
  2つのサイズの円をコンパクトにまとめた
• 
  7均一タイリング
• 
  王の衣装、ホルサバード、アッシリア。これはほぼp 6 mです(花の内側の部分を無視すると cmm になります)

格子の種類、つまりブラヴェ格子は5 つあり、格子自体の 5 つの可能な壁紙グループに対応しています。この並進対称格子を持つパターンの壁紙グループは、格子自体よりも多くの対称性を持つことはできませんが、より少ない対称性を持つことができます。

• 回転対称性が 3 次または 6 次の 5 つのケースでは、単位格子は 2 つの正三角形 (六角格子、それ自体はp 6 m ) で構成されます。これらは、角度が 60° と 120° の菱形を形成します。
• 回転対称性が 4 次である 3 つのケースでは、セルは正方形 (正方格子、それ自体はp 4 m ) になります。
• 反射またはグライド反射の 5 つのケース（両方ではない）では、セルは長方形（長方形格子、それ自体はpmm）になります。また、中心菱形格子として解釈される場合もあります。特殊なケース: 正方形。
• 反射とすべり反射を組み合わせた 2 つのケースでは、セルは菱形 (菱形格子、それ自体はcmm ) になります。中心が長方形の格子として解釈することもできます。特殊なケース: 正方形、六角形の単位セル。
• 回転対称性が 2 次だけの場合、および並進対称性以外の対称性がない場合、セルは一般に平行四辺形 (平行四辺形または斜格子、それ自体p 2 ) になります。特殊なケース: 長方形、正方形、菱形、六角形の単位セル。

実際の対称群は壁紙群とは区別する必要があります。壁紙群は対称群の集合です。これらの集合は 17 個ありますが、各集合には、等長変換の実際の集合という意味で、無限の数の対称群があります。これらは、壁紙群とは別に、変換ベクトル、反射軸の方向と位置、および回転中心のパラメータの数に依存します。

自由度の数は次のとおりです。

• 6 は2ページ目
• pmm、pmg、pgg、cmmの場合は 5
• 残りは4。

ただし、各壁紙グループ内では、すべての対称グループは代数的に同型です。

いくつかの対称群同型:

• p 1 : Z ²
• 午後: Z × D∞_​
• pmm : _D∞ × _D∞。

• パターンの壁紙群は、等長変換および均一なスケーリング（相似変換）に対して不変です。
• 並進対称性は任意の全単射アフィン変換の下で保存されます。
• 2 次回転対称性も同様です。これは、4 倍および 6 倍回転中心が少なくとも 2 倍回転対称性を維持することも意味します。
• 直線反射とすべり反射は、反射軸とすべり反射の軸に沿った、または垂直な拡大/縮小でも保持されます。拡大/縮小の方向に応じて、p 6 m、p 4 g、p 3 m 1 はcmmに、p 3 m 1 はcmに、p 4 m はpmmまたはcmmに変わります。対称的にずらした点の列のパターンは、拡大/縮小によってp 6 mからp 4 mに変換できるという点で特殊です。

変換によって対称性が低下する場合、同じ種類の変換 (逆変換) によって、一部のパターンでは明らかに対称性が増加することに注意してください。パターンのこのような特殊な特性 (たとえば、1 方向の拡大によって 4 倍の対称性を持つパターンが生成される) は、追加の対称性の形式としてはカウントされません。

変更前に同じ色だった 2 つのポイントが変更後も同じ色になり、変更前に異なる色だった 2 つのポイントが変更後も異なる色になる場合、色の変更は壁紙グループに影響しません。

前者は当てはまるが後者は当てはまらない場合、たとえばカラー画像を白黒画像に変換する場合など、対称性は保持されますが、対称性が増す可能性があり、壁紙グループが変わる可能性があります。

いくつかのソフトウェア グラフィック ツールを使用すると、壁紙の対称グループを使用して 2D パターンを作成できます。通常、元のタイルを編集すると、パターン全体のコピーが自動的に更新されます。

• MadPatternは、17の壁紙グループをサポートするAdobe Illustratorテンプレートの無料セットです。
• 複数のプラットフォームに対応したシェアウェアのテッセレーション プログラムである Tess は、すべての壁紙、フリーズ、ロゼット グループ、および Heesch タイリングをサポートします。
• Wallpaper Symmetry は、17 のグループをサポートする無料のオンライン JavaScript 描画ツールです。メイン ページには、壁紙グループの説明のほか、他の平面対称グループの描画ツールと説明も掲載されています。
• テッセレーション機能を含む教育目的で設計された無料ソフトウェア、TALES GAME。
• Kali Archived 2018-12-16 at the Wayback Machine、オンライン グラフィカル対称性エディターJava アプレット(ブラウザーではデフォルトではサポートされていません)。
• Kali はWayback Machineで 2020-11-21 にアーカイブされています。Windows および Mac Classic 用の Kali を無料でダウンロードできます。
• 無料の ベクターグラフィックエディタであるInkscapeは、17のグループすべてに加えて、行または列ごとに任意のスケール、シフト、回転、色の変更をサポートし、オプションで指定された程度にランダム化することもできます。（[1]を参照）
• SymmetryWorks はAdob​​e Illustrator用の商用プラグインで、17 グループすべてをサポートします。
• EscherSketch は、17 グループをサポートする無料のオンライン JavaScript 描画ツールです。
• Repperは、17のグループといくつかの非周期的なタイリングをサポートする商用オンライン描画ツールです。

• 平面対称群の一覧（このページの概要）
• 非周期的なタイリング
• 結晶学
• レイヤーグループ
• 数学と芸術
• MCエッシャー
• 点群
• 1次元の対称群
• テッセレーション

• オーウェン・ジョーンズ著『装飾の文法』（1856年）。この記事に掲載されている画像の多くはこの本からのもので、この本には他にもたくさんの画像が掲載されています。
• John H. Conway (1992)。「表面群のオービフォールド表記法」。MW Liebeck および J. Saxl (編)、『群、組合せ論、幾何学』、LMS Durham シンポジウムの議事録、1990 年 7 月 5 ～ 15 日、英国ダーラム、ロンドン数学会講義ノート シリーズ165。ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ。pp. 438 ～ 447
• John H. Conway、Heidi Burgiel、Chaim Goodman-Strauss (2008)：The Symmetries of Things。ウースター、MA：AK Peters。ISBN 1-56881-220-5。 
• Branko Grünbaumおよび GC Shephard ( 1987): Tilings and patterns。ニューヨーク: Freeman。ISBN 0-7167-1193-1。 
• パターンデザイン、ルイス・F・デイ

• 国際結晶学表第A巻：国際結晶学連合による空間群対称性
• デイビッド・E・ジョイスによる17の平面対称群
• Chaim Goodman-Strauss と Heidi Burgiel による壁紙パターンの紹介
• シルヴィオ・レヴィによる説明
• 各グループのタイリング例とプロパティの動的デモ
• 各グループのタイリング例の概要（Brian Sanderson 著）
• Escher Web Sketch は、17 の平面対称グループすべてを描くためのインタラクティブ ツールを備えた Java アプレットです。
• Burak は対称群を描くための Java アプレットです。2009 年 2 月 18 日にWayback Machineにアーカイブされました。
• 壁紙パターンを描くためのJavaScriptアプリ
• ギリシャのローマモザイクの円形模様
• 17 種類の壁紙パターン Archived 2017-10-12 at the Wayback Machine日本の伝統的な模様に見られる 17 の対称性。
• Baloglou, George (2002). 「17 平面結晶群 (壁紙パターン) の基本的な純粋に幾何学的な分類」。2018 年 8 月 7 日にオリジナルからアーカイブ。2018年 7 月 22 日に閲覧。