1次元対称群

1 次元対称群は、 1次元 (1D) の 対称性を記述する数学的群です。

1D のパターンは、たとえば位置xの色を表す関数f ( x ) として表すことができます。

1次元における唯一の非自明な点群は単純な反射である。これは最も単純なコクセター群、A ₁、[ ]、またはコクセター・ディンキン図で表すことができる。 。

アフィン対称群​​は平行移動を表す。関数が変化しない等長変換は、aとの平行移動 x + aでf ( x + a ) = f ( x )となるものと、a との反射a − xでf ( a − x ) = f ( x )となるものである。反射は、アフィンコクセター群[∞]、またはコクセター・ディンキン図で表すことができる。 2つの反射を表し、並進対称性は[∞] ⁺、またはコクセター・ディンキン図で表される。2つの反射の合成として。

並進対称性のないパターンの場合、次の可能性があります（1D点群）。

• 対称群は自明な群（対称性がない）である
• 対称群は、点（Z ₂と同型）における恒等写像と鏡映写からなる群の1つである。

これらのアフィン対称性は、2次元二面体群と巡回群の極限ケースと考えることができる。

1D における並進対称性を持つすべてのパターン、つまり、あるa > 0 に対して、すべてのxに対してf ( x + a ) = f ( x )となるような関数 f ( x )を考えます。これらのパターンでは、この特性が成り立つaの値はグループを形成します。

まず、グループが離散的であるパターン、つまりグループ内の正の値が最小値を持つパターンを検討します。再スケーリングにより、この最小値を 1 にします。

このようなパターンは、2 つの 1D空間群または線群という2 つのカテゴリに分類されます。

より単純なケースでは、パターンをそれ自身に写像するRの等長写像は平行移動のみである。これは、例えばパターン

− −−− − −−− − −−− − −−−

各等長変換は整数、つまり変換距離のプラスまたはマイナスによって特徴付けられます。したがって対称群はZです。

もう一つのケースでは、パターンをそれ自身に写すRの等長写像の中には、反射も存在する。これは、例えばパターン

− −−− − − −−− − − −−− −

xの原点は、反射点の 1 つに選択します。これで、パターンをそれ自体にマッピングするすべての反射は、a − xの形式になります。ここで、定数 " a " は整数です (反射と平行移動を組み合わせて別の反射を作成したり、2 つの反射を組み合わせて平行移動を作成したりできるため、 aの増分は再び 1 になります)。したがって、すべての等長変換は、整数と、平行移動または反射を表す 0 または 1 などのコードで特徴付けることができます。

したがって：

• ${\displaystyle (a,0):x\mapsto x+a}$
• ${\displaystyle (a,1):x\mapsto a-x}$

後者は、点a /2 (整数または整数プラス 1/2) に関する反射です。

グループ演算（関数合成、右から1番目）は、整数aとbに対して次のようになります。

• ${\displaystyle (a,0)\circ (b,0)=(a+b,0)}$
• ${\displaystyle (a,0)\circ (b,1)=(a+b,1)}$
• ${\displaystyle (a,1)\circ (b,0)=(a-b,1)}$
• ${\displaystyle (a,1)\circ (b,1)=(a-b,0)}$

例えば、3番目のケースでは、量bの移動によりx がx + bに変わり、0 に関する反射により − x − bとなり、移動aによりa − b − xとなります。

この群は、 Z、 Dih( Z )、または D _∞の一般化二面体群と呼ばれます。これは、Zと C ₂の半直積です。これは、 Zに同型な指数2の正規部分群、すなわち並進を持ちます。また、 Zのすべてのnに対して、   n f  =  f n  ⁻¹、すなわち基準点 (0,1) に関する反射となるよう な、位数 2 の元f も含みます。  

2 つのグループは格子群と呼ばれます。格子はZです。平行移動セルとして、0 ≤ x < 1の区間を取ることができます。最初のケースでは、基本領域を同じように取ることができます。位相的には円 (1-トーラス) です。2 番目のケースでは、0 ≤ x ≤ 0.5 を取ることができます。

並進対称パターンの 実際の離散対称群は次のようになります。

• グループ1型の場合、最小移動距離の任意の正の値
• グループ2型の場合、最小の平行移動距離の任意の正の値と、反射点の格子の任意の位置（平行移動格子の2倍の密度）

したがって、並進対称パターンのセットは実際の対称グループによって分類でき、実際の対称グループはタイプ 1 またはタイプ 2 に分類できます。

これらの空間群のタイプは、「アフィン変換に関して共役性を除く」対称群です。アフィン変換は、平行移動距離を標準距離 (上記: 1) に変更し、該当する場合は反射点の 1 つの位置を原点に変更します。したがって、実際の対称群には、aの共役であるgag ⁻¹ = bという形式の要素が含まれます。

同次「パターン」の場合、対称群にはすべての平行移動とすべての点における反射が含まれます。対称群は Dih( R ) と同型です。

任意の小さな変換に対して変換対称性を持つ、それほど自明ではないパターン/関数も存在します。たとえば、有理距離による変換のグループです。スケーリングとシフトとは別に、たとえば分母が特定の素数の累乗である有理数を考慮すると、無限に多くのケースがあります。

平行移動は等長変換のグループを形成します。ただし、このグループを対称グループとして使用するパターンはありません。

関数の対称性（この記事の意味で）は、そのグラフの対応する対称性を意味します。ただし、グラフの 2 回転対称性は、関数の対称性（この記事の意味で）を意味するものではありません。関数値（色、グレーの色合いなどを表すパターン）は名目上のデータです。つまり、グレーは黒と白の間にはなく、3 つの色はすべて単に異なります。

名目上の色であっても、次のような特殊な対称性が存在する場合があります。

−−−−−−−−−−−−−−−−−

（反射によりネガティブなイメージになります）。これも分類には含まれません。

これに関連して考慮できる対称群の 群作用は次のとおりです。

• Rで
• 実変数の実関数の集合（それぞれパターンを表す）

このセクションでは、これらのケースのグループ アクションの概念について説明します。

GのXに対する作用は

• 推移的とは、 Xの任意の 2 つのx、yに対して、Gのg が存在し、g · x = yとなる場合である。2 つの群作用のどちらに対しても、任意の離散対称群ではこのようになることはない。
• 忠実(または有効) とは、 G の任意の 2 つの異なるg、hに対して、g · x ≠ h · xとなるXのx が存在する場合である。どちらの群作用についても、これは任意の離散対称群に当てはまる (恒等群を除いて、対称群には「何もしない」要素が含まれないため)。
• 任意の2つの異なるg、Gに属するh、Xに属するすべてのxに対してg · x ≠ h · xが成り立つ場合、自由である。これは反射がない場合に当てはまる。
• 推移的かつ自由である場合、正規(または単に推移的) である。これは、 Xの任意の 2 つのx、yに対して、Gにg · x = yとなるg が1 つだけ存在するということに等しい。

集合Xに作用する群G を考えます。X内の点xの軌道は、 Gの要素によってx を移動できるXの要素の集合です。 xの軌道はGxで表されます。

${\displaystyle Gx=\left\{g\cdot x\mid g\in G\right\}.}$

グループアクションがR上にある場合:

• 自明なグループの場合、すべての軌道には 1 つの要素のみが含まれます。並進のグループの場合、軌道はたとえば {..,−9,1,11,21,..} となり、反射の場合はたとえば {2,4} となり、並進と反射を含む対称グループの場合はたとえば {−8,−6,2,4,12,14,22,24,..} (並進距離は 10、反射点は ..,−7,−2,3,8,13,18,23,..) となります。軌道内の点は「同等」です。対称グループがパターンに適用される場合、各軌道内の色は同じになります。

グループアクションがパターン上にある場合:

• 軌道はパターンのセットであり、平行移動バージョンや反射バージョン、「同等のパターン」が含まれます。パターンの平行移動は、平行移動距離が考慮される対称グループに含まれる距離の 1 つである場合にのみ同等であり、鏡像についても同様です。

Gの作用下にあるXのすべての軌道の集合は、 X / Gと表されます。

Y がXのサブセットである場合、集合 { g · y  : y Yおよびg G }をGY と書きます。 GY = Y (これはGY ⊆ Yと同等)の場合、サブセットY はG で不変であるといいます。その場合、G はYにも作用します。 GのすべてのgとYのすべてのyに対してg · y = yである場合、サブセットY はG で固定されているといいます。軌道 {−8,−6,2,4,12,14,22,24,..} の例では、 {−9,−8,−6,−5,1,2,4,5,11,12,14,15,21,22,24,25,..} はGで不変ですが、固定されていません。 ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \in }$

X内のすべてのxに対して、 x を固定するG内のすべての要素の集合としてxの安定化部分群(等方性群または小群とも呼ばれる)を定義します。

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}.}$

x が反射点である場合、その安定化群はxにおける恒等群と反射を含む位数 2 の群です。その他の場合、安定化群は自明群です。

X内の固定されたxに対して、によって与えられるGからXへの写像を考えます。この写像の像はxの軌道であり、余像はG _xのすべての左剰余類の集合です。集合論の標準商定理により、と の間に自然な一対一の関係が与えられます。具体的には、一対一の関係は によって与えられます。この結果は、軌道安定化定理として知られています。例で を取ると、軌道は {−7,3,13,23,..} であり、2 つの群はZと同型です。 ${\displaystyle g\mid \rightarrow g\cdot x}$${\displaystyle G/G_{x}}$${\displaystyle Gx}$${\displaystyle hG_{x}\mid \rightarrow h\cdot x}$${\displaystyle x=3}$

2 つの要素とが同じ軌道に属する場合、それらの安定化部分群と は同型です。より正確には、の場合、 です。例では、これは、たとえば 3 と 23 の両方の反射点に適用されます。23 についての反射は、-20 の移動、3 についての反射、および 20 の移動に対応します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle G_{x}}$${\displaystyle G_{y}}$${\displaystyle y=g\cdot x}$${\displaystyle G_{y}=gG_{x}g^{-1}}$

• ライングループ
• フリーズグループ
• 空間群
• 壁紙グループ