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連続体力学において、応力は変形中に存在する力を記述する物理量です。たとえば、引っ張られて引き離される物体（伸ばされたゴムバンドなど）は引張応力を受け、伸びる可能性があります。押し合わされる物体（しわくちゃのスポンジなど）は圧縮応力を受け、縮む可能性があります。[ 1 ] [ 2 ]力が大きければ大きいほど、また力が作用する物体の断面積が小さければ小さいほど、応力は大きくなります。応力は面積あたりの力の次元を持ち、 SI単位はニュートン毎平方メートル（N/m2 ）またはパスカル（Pa）です。[ 1 ]
応力は、連続体材料の隣接する粒子が互いに及ぼし合う内部力を表し、ひずみは材料の相対的な変形の尺度です。 [ 3 ]例えば、固体の垂直棒が頭上の重りを支えている場合、棒内の各粒子はすぐ下の粒子を押します。液体が密閉容器内で加圧されている場合、各粒子は周囲のすべての粒子から押されます。容器の壁と圧力を発生させる表面（ピストンなど）は、（ニュートン力学的な）反作用で粒子を押します。これらの巨視的な力は、実際には、それらの分子内の粒子間の非常に多くの分子間力と衝突の正味の結果です。応力は、しばしばギリシャ文字の小文字シグマ（σ）で表されます。[ 3 ]
材料内部のひずみは、外部の力が材料本体（重力など）や表面に及ぼす応力（接触力、外部圧力、摩擦など）といった様々なメカニズムによって生じる可能性があります。固体材料のひずみ（変形）は、バネの反作用力に似た内部弾性応力を発生させ、材料を元の変形していない状態に戻そうとします。液体や気体では、体積が変化する変形のみが持続的な弾性応力を発生させます。変形が時間とともに徐々に変化する場合、流体であっても通常は粘性応力が発生し、その変化に抵抗します。弾性応力と粘性応力は通常、機械的応力という名称でまとめられます。
変形がごくわずか、あるいは全くない場合でも、大きな応力が存在する可能性があります（これは水の流れをモデル化する際によく用いられる仮定です）。応力は外部からの力がなくても存在する可能性があり、例えばプレストレストコンクリートや強化ガラスでは、このような内部応力が重要となります。また、温度や化学組成の変化、あるいは外部電磁場（圧電材料や磁歪材料など）によって、正味の力が加わることなく材料に応力が加わる場合もあります。
機械的応力、ひずみ、およびひずみ速度の関係は非常に複雑になる場合があるが、これらの量が十分に小さい場合は、実際には線形近似で十分である。材料の特定の強度限界を超える応力は、永久変形（塑性流動、破壊、キャビテーションなど）を引き起こしたり、結晶構造 や化学組成を変化させたりする可能性がある。
人類は古代から物質内部の応力について知っていた。17世紀までは、この理解は主に直感的かつ経験的なものであったが、それが複合弓やガラス吹きなどの比較的高度な技術の開発を妨げることはなかった。[ 4 ]
数千年にわたり、特に建築家や建設業者は、ゴシック大聖堂の柱頭、アーチ、ドーム、トラス、フライングバットレスといった独創的な装置を用いて、慎重に成形された木材の梁や石のブロックを組み合わせ、応力を最も効果的な方法で支え、伝達し、分散させる方法を学んできました。
古代および中世の建築家は、柱や梁の適切なサイズを計算するためにいくつかの幾何学的方法と単純な公式を開発しましたが、応力の科学的理解が可能になったのは、17 世紀と 18 世紀に必要なツールが発明された後になってからです。ガリレオ ガリレイの厳密な実験方法、ルネ デカルトの座標と解析幾何学、ニュートンの運動法則と平衡法則、および微積分です。[ 5 ] これらのツールを使用して、オーギュスタン ルイ コーシーは、応力とひずみの概念を導入することにより、変形した弾性体の最初の厳密で一般的な数学モデルを与えることができました。[ 6 ] コーシーは、仮想表面にかかる力がその法線ベクトルの線形関数であり、さらに、対称関数（総運動量がゼロ）でなければならないことを観察しました。液体中の応力に関する理解はニュートンから始まり、彼は平行層流における摩擦力（せん断応力）の微分公式を提供した。
応力は、境界のあらゆる方向に対して、小さな境界を横切る力をその境界の単位面積あたりで表したものと定義されます。[ 7 ]物理量（力）と純粋に幾何学的な量（面積）から導き出される応力は、速度、トルク、エネルギーなどと同様に、材料の性質やその物理的原因を明示的に考慮することなく定量化および分析できる物理量でもあります。
連続体力学の基本前提に従えば、応力は巨視的な概念である。すなわち、その定義と解析において考慮される粒子は、組成と状態が均質であるとみなせるほど十分に小さいが、量子効果や分子の詳細な運動を無視できるほど十分に大きい必要がある。したがって、2 つの粒子間の力は、実際にはそれらの分子間の非常に多数の原子間力の平均であり、質量、速度、重力など、3 次元物体全体に作用する力などの物理量は、それらに滑らかに分布していると仮定される。[ 8 ] : 90–106文脈によっては、金属棒の結晶粒や木片の繊維など、他の微視的な特徴を平均化できるほど粒子が大きいと仮定することもできる。
定量的に、応力は、仮想的な分離面Sを横切る材料の隣接部分間の牽引力FをSの面積で割ったものとして定義されるコーシー牽引ベクトルTによって表されます。[ 9 ] : 41–50静止した流体では、力は表面に垂直であり、おなじみの圧力です。固体、または粘性液体の流れでは、力FはSに垂直ではない可能性があります。したがって、表面を横切る応力は、スカラーではなくベクトル量とみなす必要があります。さらに、方向と大きさは一般にSの向きに依存します。したがって、材料の応力状態は、(コーシー) 応力テンソルと呼ばれるテンソルによって記述する必要があります。これは、表面Sの法線ベクトルnとSを横切る牽引ベクトルTを関連付ける線形関数です。任意の選択された座標系に関して、コーシー応力テンソルは、3×3 の実数の対称行列として表すことができます。均質な物体であっても、応力テンソルは場所によって異なり、時間とともに変化する可能性があります。したがって、材料内部の応力は一般に時間とともに変化するテンソル場です。
一般に、粒子Pが表面Sを介して別の粒子Qに加える応力Tは、 Sに対して任意の方向を持つことができる。ベクトルTは、表面に垂直な法線応力（圧縮または引張）と、表面に平行なせん断応力の2つの成分の和とみなすことができる。
表面の法線単位ベクトルn ( QからPに向かう方向) が固定されていると仮定すると、法線成分は単一の数値、内積T · nで表すことができます。この数値は、PがQを「引っ張る」（引張応力）場合は正、PがQに「押す」（圧縮応力）場合は負になります。せん断成分は、ベクトルT − ( T · n ) nとなります。
応力の次元は圧力の次元であるため、その座標は圧力と同じ単位で測定されます。すなわち、国際単位系ではパスカル（Pa、つまり平方メートルあたりのニュートン）、ヤード・ポンド法では平方インチあたりのポンド（psi）です。機械的応力は容易に100万パスカルを超えるため、メガパスカル（MPa）が応力の一般的な単位として用いられます。
物質の応力は、外部からの影響や内部の物理的プロセスなど、複数の物理的原因によって生じる可能性があります。これらの要因の一部（重力、温度や相の変化、電磁場など）は物質全体に作用し、位置や時間とともに連続的に変化します。その他の要因（外部荷重や摩擦、周囲圧力、接触力など）は、特定の表面、線、点に集中する応力や力を生み出す可能性があり、衝突による衝撃のように、非常に短い時間間隔でも発生する可能性があります。アクティブマターでは、微粒子の自己推進により巨視的な応力プロファイルが生成されます。[ 11 ]一般に、物体内の応力分布は、空間と時間の区分的連続関数として表されます。
逆に、応力は通常、複屈折、偏光、透磁率などの物理的特性の変化を含む、材料に対するさまざまな影響と相関しています。外部要因による応力の印加は、検出するには小さすぎる場合でも、通常、材料に何らかのひずみ（変形）を生じさせます。固体材料では、このようなひずみは、伸びたバネの反力に類似した内部弾性応力を生成し、材料を元の変形していない状態に戻そうとします。流体材料（液体、気体、プラズマ）は、定義上、体積を変化させる変形にのみ抵抗できます。変形が時間とともに変化する場合、流体であっても、通常は、その変化に抵抗する粘性応力が存在します。このような応力は、せん断応力または法線応力のいずれかです。流体におけるせん断応力の分子起源は、粘性に関する記事に記載されています。法線粘性応力については、Sharma (2019) を参照してください。[ 12 ]
応力と、変形や変形の変化率などの影響や原因との関係は非常に複雑になることがあります（ただし、量が十分に小さい場合は、実際には線形近似で十分な場合もあります）。材料の特定の強度限界を超える応力は、永久変形（塑性流動、破壊、キャビテーションなど）を引き起こしたり、結晶構造 や化学組成を変化させたりする可能性があります。
場合によっては、物体内部の応力は単一の数値、または単一のベクトル（数値と方向）で適切に記述できることがあります。工学設計でよく遭遇するこのような単純な応力状況は、一軸垂直応力、単純せん断応力、および等方性垂直応力の 3 つです。[ 13 ]
単純な応力パターンの一般的な状況は、均一な材料と断面を持つまっすぐな棒が、大きさの反対方向の力によって引張を受ける場合である。軸に沿って。システムが平衡状態にあり、時間とともに変化せず、棒の重量を無視できる場合、棒の各横断面において、上部は下部を同じ力Fで引っ張り、断面積A全体にわたって連続性を保つ必要があります。したがって、任意の水平面における棒全体の応力 σ は、力の大きさFと断面積Aを用いて簡単に計算できる単一の数値 σ で表すことができます。一方、棒を軸に平行に長手方向に切断すると仮定すると、切断面を挟んで2つの半分の間には力（したがって応力）は発生しません。この種の応力は、（単純な）垂直応力または一軸応力、具体的には（一軸、単純など）引張応力と呼ばれます。[ 13 ] 荷重が棒を引っ張るのではなく圧縮する場合、解析は同じですが、力Fと応力が異なります。符号が反転すると、その応力は圧縮応力と呼ばれる。
この解析では、応力が断面全体に均等に分布していると仮定しています。実際には、棒の両端の取り付け方法や製造方法によっては、この仮定は妥当でない場合があります。その場合、値は= F / A は、工学的応力または公称応力と呼ばれる平均応力のみになります。棒の長さLが直径Dの何倍で、大きな欠陥や内部応力がない場合、両端からDの数倍以上離れた任意の断面では応力が均一に分布しているとみなすことができます。（この観察はサン＝ブナンの原理として知られています）。
軸方向の引張応力や圧縮応力以外にも、多くの状況で垂直応力が発生します。断面が均一で対称な弾性棒を対称面の1つで曲げると、結果として生じる曲げ応力は依然として垂直（断面に垂直）ですが、断面全体で変化します。外側は引張応力を受け、内側は圧縮応力を受けます。垂直応力のもう1つの種類は、加圧された流体で満たされた円筒形のパイプ や容器の壁に発生する周方向応力です。
もう一つの単純な応力は、接着剤やゴムのような均一な厚さの弾性材料の層が、層に平行な力によって反対方向に引っ張られる2つの硬い物体にしっかりと取り付けられている場合、または、ハサミのような工具の刃で切断される軟質金属棒の一部に発生します。これらの力の大きさをF、その層の中央面をMとします。通常の応力の場合と同様に、Mの一方の側の層の部分は、もう一方の部分を同じ力Fで引っ張らなければなりません。力の方向が既知であると仮定すると、 Mにかかる応力は、単一の数値で簡単に表すことができます。は、これらの力の大きさFと断面積Aを用いて簡単に計算できます。通常の応力とは異なり、この単純せん断応力は、考慮される断面に垂直ではなく、平行に方向付けられます。[ 13 ]層に垂直な任意の 平面Sについては、 Sを横切る正味の内部力、したがって応力はゼロになります。
軸方向荷重を受ける棒の場合と同様に、実際にはせん断応力は層全体に均一に分布しない可能性があるため、前述と同様に、比F / Aは平均 (「公称」、「工学的」) 応力のみになります。この平均は、実用上は十分な場合が多いです。[ 14 ] : 292シャフトなどの円筒形の棒が両端で反対方向のトルクを受ける場合にも、せん断応力が観測されます。この場合、各断面のせん断応力は断面に平行ですが、軸に対して接線方向に配向しており、軸からの距離とともに増加します。曲げ荷重を受けるI 形梁の中央板 (「ウェブ」) には、ウェブが端板 (「フランジ」) を拘束するため、大きなせん断応力が発生します。
もう一つの単純なタイプの応力は、物質があらゆる方向から均等な圧縮または張力を受けている場合に発生します。これは、例えば、容器に封入されているか、より大きな流体塊の一部であるかにかかわらず、静止している液体または気体の一部、あるいは、6つの面すべてに均等な垂直方向の力が加えられている弾性材料の立方体の内部に当てはまります。ただし、いずれの場合も、材料は均質で、内部応力がなく、重力やその他の外力の影響を無視できるものとします。
このような状況では、任意の仮想的な内部表面にかかる応力は、表面の向きに関係なく、大きさが等しく、常に表面に垂直な方向になります。この種の応力は、等方性法線応力または単に等方性応力と呼ばれます。圧縮応力の場合は、静水圧または単に圧力と呼ばれます。気体は定義上、引張応力に耐えることはできませんが、一部の液体は、特定の状況下では非常に大きな等方性引張応力に耐えることができます。Zチューブを参照してください。
車輪、車軸、パイプ、柱など、回転対称性を持つ部品は、工学分野で非常に一般的です。このような部品に発生する応力パターンは、回転対称性、あるいは円筒対称性を持つことがよくあります。このような円筒応力の解析では、対称性を利用して解析領域や応力テンソルの次元を削減することができます。
機械的な物体は、しばしば複数の種類の応力を同時に受けます。これを複合応力と呼びます。垂直応力とせん断応力では、応力の大きさは、ある方向に垂直な面で最大になります。に平行な面全体でゼロせん断応力が、特定の方向に垂直な面のみでゼロになる場合、その応力は二軸応力と呼ばれ、2つの垂直応力またはせん断応力の合計として考えることができます。最も一般的なケースである三軸応力では、応力はすべての表面要素でゼロではありません。
複合応力は単一のベクトルでは表現できません。たとえ物体全体にわたって同じように応力がかかっているとしても、理論上の任意の表面にかかる応力は、その表面の向きによって、決して単純ではない形で変化します。
コーシーは、応力ベクトルが表面全体にわたる距離は、常に表面の法線ベクトルの線形関数となる。、それに垂直な単位長さベクトル。つまり、関数満たす 任意のベクトルに対してそして実際の数字. 機能（コーシー）応力テンソルと呼ばれるこのテンソルは、均一に応力が加えられた物体の応力状態を完全に記述します。（今日では、2 つの物理ベクトル量間の線形関係はすべてテンソルと呼ばれ、これはコーシーがもともと材料の「張力」（応力）を記述するために用いたことに由来します。）テンソル解析では、は、慣例に応じて、(0,2)型または(1,1)型の2階テンソルとして分類されます。
ベクトル間の線形写像と同様に、応力テンソルは任意のデカルト座標系において実数の 3×3 行列で表すことができます。座標に番号が付けられているかどうかによって、または名前が付けられている行列は次のように書ける。 または ストレスベクトル法線ベクトルを持つ表面全体にわたって（これは共変である- 「行; 水平」 - ベクトル）座標を持つ行列積（上付き添え字の T は転置を表し、結果として共変（行）ベクトルが得られます）（コーシー応力テンソルを参照）、つまり
線形関係そしてこれは、線形運動量保存則と力の静的平衡という基本法則から導かれ、したがって、あらゆる材料とあらゆる応力状況において数学的に正確です。材料内のあらゆる点におけるコーシー応力テンソルの成分は、平衡方程式（加速度がゼロの場合のコーシーの運動方程式）を満たします。さらに、角運動量保存則は、応力テンソルが対称であることを意味します。、、 そしてしたがって、任意の点および瞬間における媒体の応力状態は、9つの独立したパラメータではなく、わずか6つの独立したパラメータによって指定できます。これらは次のように記述できます。 要素がこれらは直交法線応力（選択された座標系に対する）と呼ばれ、直交せん断応力。
コーシー応力テンソルは、座標系の変換に対してテンソル変換法則に従う。この変換法則をグラフで表したものが、モールの応力分布円である。
対称な 3×3 実数行列として、応力テンソル互いに直交する3つの単位長固有ベクトルを持つそして3つの実固有値、したがってしたがって、座標系では、応力テンソルは対角行列であり、3つの法線成分のみを持つ。主応力。3つの固有値が等しい場合、応力は等方性圧縮または引張であり、常に任意の表面に垂直であり、せん断応力はなく、テンソルは任意の座標系で対角行列になります。
一般に、応力は物質全体に均一に分布しているわけではなく、時間とともに変化する可能性があります。したがって、応力テンソルは、各点および各瞬間について、その点を取り囲む媒質の微小粒子を考慮し、その粒子内の平均応力をその点における応力とみなすことによって定義する必要があります。
人工物は、多くの場合、様々な材料の板材から、切断、穴あけ、緩やかな曲げ加工、端部の溶接など、本質的に二次元的な性質を変えない加工によって作られます。このような物体における応力の記述は、それらの部品を三次元物体ではなく二次元表面としてモデル化することで簡略化できます。
この考え方では、「粒子」をプレート表面の微小なパッチとして再定義し、隣接する粒子間の境界を微小な線要素とします。どちらも暗黙のうちにプレートに垂直な（プレートを貫通する）第3次元に拡張されます。「応力」は、共通の線要素を挟んで隣接する2つの「粒子」間の内部力を、その線の長さで割った値として再定義されます。応力テンソルのいくつかの成分は無視できますが、粒子は第3次元では微小ではないため、粒子が隣接する粒子に及ぼすトルクを無視することはできません。このトルクは、プレートの曲率を変化させる傾向のある曲げ応力としてモデル化されます。これらの単純化は、溶接部、急な曲げ部、折り目（曲率半径がプレートの厚さと同程度の場合）では成り立たない可能性があります。
均一な（または滑らかに変化する）組成と断面を持つ細い棒、梁、またはワイヤが適度な曲げとねじりを受ける場合、応力解析は大幅に簡略化できます。これらの物体については、棒の軸に垂直な断面のみを考慮し、「粒子」をそのような2つの断面間の微小な長さのワイヤ片として再定義することができます。通常の応力はスカラー（棒の引張または圧縮）に縮小されますが、曲げ応力（軸に垂直な方向で棒の曲率を変えようとする応力）とねじり応力（棒を軸を中心にねじったり、ねじりを戻そうとする応力）も考慮する必要があります。
応力解析は、固体内部の力分布を決定する応用物理学の一分野です。トンネル、ダム、機械部品、構造フレームなどの構造物を、規定または想定される荷重下で研究・設計するための工学分野における不可欠なツールです。また、他の多くの分野でも重要です。例えば、地質学では、プレートテクトニクス、火山活動、雪崩などの現象を研究するために、生物学では、生物の解剖学的構造を理解するために用いられます。
応力解析は一般的に、巨視的な静的平衡状態にあると想定できる物体や構造物を対象としています。ニュートンの運動法則によれば、このようなシステムに作用する外力は、内部反力によって釣り合わなければなりません。[ 15 ] : 97これは、ほとんどの場合、隣接する粒子間の表面接触力、つまり応力です。[ 9 ]すべての粒子が平衡状態にある必要があるため、この反力応力は一般的に粒子から粒子へと伝播し、物体全体に応力分布を生み出します。応力解析における典型的な問題は、システムに作用する外力が与えられた場合に、これらの内部応力を決定することです。後者は、材料の体積全体に作用する体積力（重力や磁力など） [ 16 ] : 42–81、または2次元領域、線に沿って、または1点に作用すると想定される集中荷重（車軸とベアリング間の摩擦、またはレール上の列車の車輪の重量など）である可能性があります。
応力解析では、通常、力の物理的原因や材料の正確な性質は無視されます。代わりに、応力は既知の構成方程式によって材料の変形（および非静的問題の場合は変形速度）と関連付けられると仮定します。[ 17 ]
応力解析は、実際の物体または縮尺模型に荷重を加え、その結果生じる応力をいくつかの利用可能な方法のいずれかで測定することにより、実験的に実施できます。このアプローチは、安全認証および監視によく使用されます。ほとんどの応力は、特に設計段階で、数学的手法によって解析されます。基本的な応力解析問題は、連続体のオイラーの運動方程式（線運動量と角運動量の保存に関するニュートンの法則の結果）とオイラー・コーシーの応力原理、および適切な構成方程式によって定式化できます。これにより、応力テンソル場とひずみテンソル場を未知関数として決定する偏微分方程式系が得られます。外部体積力は微分方程式の独立項（「右辺」）として現れ、集中力は境界条件として現れます。したがって、基本的な応力解析問題は境界値問題です。
弾性構造物の応力解析は、弾性理論と微小ひずみ理論に基づいています。加えられた荷重によって永久変形が生じる場合、関連する物理プロセス（塑性流動、破壊、相変化など）を考慮できる、より複雑な構成方程式を使用する必要があります。工学的構造物は通常、想定される最大応力が線形弾性（連続媒体に対するフックの法則の一般化）の範囲内に収まるように設計されています。つまり、内部応力によって引き起こされる変形は、応力と線形関係にあります。この場合、応力テンソルを定義する微分方程式は線形となり、問題ははるかに簡単になります。まず、任意の点における応力も荷重の線形関数になります。十分に小さい応力の場合、非線形システムであっても通常は線形とみなすことができます。
応力解析は、物理的な寸法と荷重分布によって構造を一次元または二次元として扱うことができる場合に簡略化されます。例えば、トラスの解析では、各部材の応力場は均一かつ一軸であると仮定できます。すると、微分方程式は有限個の未知数を持つ有限個の方程式（通常は線形）に簡略化されます。その他の場合では、三次元問題を二次元問題に簡略化したり、一般的な応力テンソルとひずみテンソルを、一軸引張/圧縮、単純せん断などのより単純なモデルに置き換えたりすることができます。
しかし、2次元または3次元の場合には、偏微分方程式を解く必要があります。形状、構成関係、境界条件が十分に単純な場合は、微分方程式の解析解または閉形式解が得られます。そうでない場合は、一般的に有限要素法、有限差分法、境界要素法などの数値近似法に頼る必要があります。
その他の有用な応力尺度としては、第1および第2ピオラ・キルヒホフ応力テンソル、ビオ応力テンソル、キルヒホフ応力テンソルなどがある。
