53 平均律

音楽では、53 平均律は、53 TET、53 EDO 、または53 ETと呼ばれ、オクターブを53の等しいステップ（等しい周波数比）に分割することによって得られる平均律音階です。遊ぶ^ⓘ $) 各ステップは2$ $1$ $∕$ $53$ $、$ つまり 22.6415セントの頻度比を表します( 遊ぶ^ⓘ )、ホルドリアン・コンマと呼ばれることもある間隔。

53 TETは平均律の調律で、図1に示すように、平均完全5度は701.89セント幅で、連続する音程は22.642セント間隔で離れています。

53-TET 調律は、ユニゾンに相当し、つまり、スキスマとして知られる $32$ $805$ $/$ $32 768$ $と$ $、$ $クレイスマ$ として知られる $15$ $625$ $/$ $15 552$ $の$ 音程を平均律で消します。これらはどちらも 5限界音程であり、素因数分解には素数 2、3、5 のみが含まれます。53- TET がこれら両方を平均律で消せるという事実は、5 限界音律として完全に特徴づけられます。これは、これらの音程、つまりコンマの両方を平均律で消せる唯一の規則的な音律であり、この事実は日本の音楽理論家である田中翔平によって最初に認識されたようです。 53 TET はこれらを相殺するため、分裂的平均律（分裂を相殺する）とハンソン平均律（クレイズミックとも呼ばれる）（クレイズマを相殺する）の両方に使用できます。

$7/4$ $の$ 音程は $43$ 番目の音 (0 から数えて) に最も近く、 $2$ $43$ $∕$ $53$ $=$ $1.7548$ は53 TET のハーモニック 7th $=$ $7/4$ からわずか 4.8セント高いだけであり、これを 7 限界和声に使用すると $、$ 7 $音程$ $の$ クレイズマ、つまり 225/224の音程も平均 $律$ で $消さ$ れます。

歴史と用途

$この分割に対する理論的な関心は$ 古代にまで遡ります。中国の音楽理論家 $で$ ある景方（紀元前78～37年）は、53個の純正五度 $（[$ $3$ $/$ $2$ $]$ $53$ ）の列が31オクターブ（ $2$ $31$ ）に非常に近いことを観察しました。彼はこの差を6桁の精度で 177 147 / 176 776 と計算しました。^[²^]^[³^]後に $、$ 数学者で音楽理論家のニコラス・メルカトル（1620 年頃 - 1687 年）が同様の観察を行い $、この値を正確に 3 53 / 2 84 =$ 19 383 245 667 680 019 896 796 723 / 19 342 813 113 834 066 795 298 816 と計算 $し$ $まし$ $た$ $。$ $これ$ $は$ $メルカトル$ $の$ $コンマ$ $として$ $知ら$ れ $て$ います。^[⁴^]メルカトルのコンマはそもそも非常に小さな値（ $約 3.615$ セント）ですが、53平均律では各 5 度をそのコンマの 1/53 だけ平坦化します $（$ $約$ $0.0682$ セント $\approx$ $1/315$ シン $トニック$ コンマ≈ $1/344$ $ピタゴラス$ $コンマ$ ）。 $したがって$ $、$ $53$ 平均 $律$ は $、$ $実際$ $に$ は拡張ピタゴラス調律と同等です。

メルカトルの後、ウィリアム・ホルダーは1694年に論文を発表し、53 平均律も純正長3度に非常に近い（1.4セント以内）ことを指摘し、その結果、53平均律は純正律の限界音程に非常によく適合すると述べた。^[⁵^]^[⁶^]この53平均律の特性はそれ以前から知られていた可能性があり、アイザック・ニュートンの未発表の原稿は、彼が1664年から1665年にはすでにこのことを認識していたことを示唆している。^[⁷^]

音楽

19 世紀には、人々は 53 TET の楽器を考案し始め、ほぼ5 限定の音楽を演奏する用途を念頭に置いていました。そのような楽器はRHM Bosanquet ^{[ 8 ]}^{(p 328–329)}とアメリカの調律師JP White ^{[ 8 ]}^{(p 329)}によって考案されました。その後、この音律は西洋の作曲家によって時折使用され、20 世紀初頭までに 53 TET はオスマン古典音楽で最も一般的な調律形式となり、それ以前の不均等調律に取って代わりました。大部分が四分音を理論の基礎としているアラビア音楽も、この音律をいくらか使用しています。シリアのヴァイオリニストで音楽理論家のTwfiq Al-Sabaghは、オクターブを 24 等分する代わりに、53 TET の24音階をアラビア音楽のマスタースケールとして使用すべきだと提案しました。

クロアチアの作曲家ヨシップ・シュトルツェル＝スラヴェンスキは、ボザンケのエンハーモニウムを第1楽章で使用した「自然音体系のための音楽」というタイトルの未発表の作品を1曲作曲した。^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ a ]}

さらに、トンプソン将軍はロンドンを拠点とするギター製作者ルイ・パノルモと協力して異音ギターを製作した。^{[ 12 ]}

表記法

標準的な記譜法、つまり7文字の音符にシャープやフラットを加えた記譜法を使おうとすると、すぐに混乱が生じる可能性があります。これは、曖昧さがほとんどない19 TETや31 TETの場合とは異なります。平均律ではないため、より注意が必要な問題がいくつか生じます。具体的には、ピタゴラス長3度（ディトーン）と純正長3度、ピタゴラス短3度（セミディトーン）と純正短3度が区別されます。シントニック・コンマが平均律で除外されていないということは、音符と音程をより正確に定義する必要があることを意味します。オスマン古典音楽では、9 コンマ音にフラットとシャープの記譜法が使われています。

さらに、53は12の倍数ではないため、G♯とA ♭のような音は異名同音ではなく、対応する調号も同様です。その結果、多くの調号では、重嬰記号（ G♯メジャー／E♯マイナーなど）、重フラット記号（F ♭メジャー／D ♭マイナーなど）、または微分音の変化が必要となります。

シャープとフラットのみを用いた拡張ピタゴラス記法では、以下の半音階が得られます。

C、B♯、A♯、E 、D ♭、C♯、B 、F 、E 、
D、C 、B♯ 、 F 、E ♭、D♯ 、 C♯ 、 G 、F ♭、
E、D 、C /A 、G 、
F、E♯、D♯ 、 A 、G ♭、F♯、E 、D /B 、A 、
G、F 、E♯、B 、A ♭、G♯、F♯、C 、B 、
A、G 、F /D 、C 、B ♭、A♯、G♯、D 、C ♭、
B、A 、G /E 、D 、C

残念ながら、音符はアルファベット順には収まらず、最大で4重のシャープとフラットが必要になります。そのため、純正長3度は減4度として表記しなければなりません。

アップアンドダウン記譜法^{[ 13 ]}は音符の順序を保ち、シャープとフラットの伝統的な意味も保持します。通常はサンセリフ体フォントで、キャレットまたは小文字の「v」として書かれた上向きと下向きの矢印を使用します。矢印1つは53-TETの1ステップに相当します。音名では、コードの命名を容易にするために矢印が最初に来ます。多くの異名同音により、綴りの自由度が非常に高くなります。

C、^C、^^C、vvC ♯ /vD ♭、vC ♯ /D ♭、C ♯ /^D ♭、^C ♯ /^^D ♭、vvD、vD、
D、^D、^^D、vvD ♯ /vE ♭、vD ♯ /E ♭、D ♯ /^E ♭、^D ♯ /^^E ♭、vvE、vE、
E、^E、^^E/vvF、vF、
F、^F、^^F、vvF♯ / vG ♭、vF♯ / G ♭、F♯ /^G ♭、^ F♯ /^^G ♭、vvG、vG、
G、^G、^^G、vvG♯ / vA ♭、vG♯ / A ♭、G♯ /^A ♭、^ G♯ /^^A ♭、vvA、vA、
A、^A、^^A、vvA♯ / vB ♭、vA♯ / B ♭、A♯ /^B ♭、^ A♯ /^^B ♭、vvB、vB、
B、^B、^^B/vvC、vC、C

平均律による53の和音

53-TET はほぼ完全な 5 度を持つピタゴラス音階なので、正律の長三和音と短三和音は、平均律音階と同じように表記することはできません。代わりに、長三和音は CF ♭ -G (ピタゴラス音階に基づく表記法を使用) のようなコードで、長 3 度は減 4 度です。これが分裂音律の特徴です。同様に、短三和音は CD ♯ -G のようなコードです。53-TET では、属七の和音は CF ♭ -GB ♭と表記されますが、全音四和音は CF ♭ -GCであり、CF ♭ -GA ♯は別の七の和音です。全音四和音の転回形である無音四和音は CD ♯ -GGと表記されます。

さらに、七和音には減三和音（CD♯ - G♭とCF -G ♭の2つの形式を持つ）、下短三和音CF -G、長三和音CD -G、および対応する四和音CF -GBとCD -GA♯がある。53 -TETは七和音クレイスマを平均律で表すので、七和音クレイスマ増三和音CF ♭ -Bの様々な転回形もこの体系の和音である。同様に、オーウェル四和音CF ♭ -D -Gの様々な転回形もこの体系の和音である。

上下記法では、より慣習的な綴りが可能です。また、53 TETの音程も表記するため、 ^{[ 14 ]}正確なコード名も提供されます。 32 / 27の3度を持つピタゴラス短音階は、依然として Cm と表記され、C–E ♭ –G と綴られます。しかし、5 限界上短音階は上短 3 度 6/5 を使用し、C–^E ♭ –G と綴られます。このコードは C^m と表記されます。^Cm (^C–^E ♭ –^G) と比較してください。

長三和音：C-vE-G（下降長調）
短三和音：C-^E ♭ -G（上短調）
ドミナントセブンス：C-vE-GB ♭（ダウンアド7）
単調四和音：C-vE-G-vB ♭（ダウン7）
全音四進法: C-^E ♭ -G-^A (upminor6)
減三和音：C-^E ♭ -G ♭（アップディミニッシュ）
減三和音：C-vE ♭ -G ♭（ダウンディム）
サブマイナートライアド：C-vE ♭ -G（ダウンマイナー）
スーパーメジャートライアド：C-^EG（アップメジャー）
亜短四進法: C-vE ♭ -G-vA (downminor6)
スーパーメジャーテトラッド: C-^EG-^B ♭ (アップ7)
増三和音：C-vE- vvG♯（ダウンオーグ・ダッド-5）
オーウェル・トライアド：C-vE-vvG-^A（ダウンメジャー・ダッド-5アップ6）

間隔サイズ

この音階の31ステップの距離は、ほぼ正確に純正5度に相当するため、理論的には、この音階は53音に拡張されたピタゴラス音律のわずかに平均律化された形式と考えることができます。そのため $、$ 使用可能な音程は、ピタゴラス音律と同じ特性を持ち、例えば、（実質的に）純正の5度、純正より広い長3度（ $純正$ $の$ $5/4$ $に対して$ $約$ $81/64$ $）$ 、 $逆$ $に$ $狭い$ 短 $3$ $度$ $（$ $6/5$ に対して $32/27$ $）$ $など$ $が$ $あり$ $ます$ 。

しかし、53 TET には純正律に非常に近い追加の音程が含まれています。たとえば、17 ステップの音程も長3度ですが、非常に純粋な純正音程 $⁠$ $5$ $/$ $4$ $⁠$ $よりもわずか1.4セント狭いだけです。53$ TETは、5限界純正律の任意の音程の近似として非常に優れています。同様に、純粋な純正音程 $⁠$ $6$ $/$ $5$ $⁠は$ 、 53 TETの14ステップよりもわずか1.3セント広いだけです。

$第 7 倍音を$ 含む純正音程との一致はやや劣ります (7/4 の場合、43 $ステップ$ $は$ 4.8 セント高くなっています $)$ が、そのような音程はすべてかなり一致しており、最も大きなずれは 7/5 三全音です $。$ $第$ $11$ 倍音 $と$ $それを含む音程は、下の表の 10 進法$ $の$ 中立 2 度と 3 度で示されているように、一致度は劣ります。7 限界比は薄い灰色で、11 限界比と 13 限界比は濃い灰色で示されています。

縮尺図

以下は、半音階を構成する53音のうちの21音です。残りの音は簡単に追加できます。

ホルドリアン・コンマ

音楽理論と音律において、ホルドリアン・コンマ（ホルダー・コンマとも呼ばれ、まれにアラビア・コンマとも^呼ば^れる）^[^{15 ]は}、約22.6415セントの小さな音程であり、平均律の53音の1ステップに相当する。 $\ {\sqrt[{53}]{2\;}}\$ （遊ぶ^ⓘ )。ただし、「コンマ」という名前は技術的には誤解を招く可能性があります。なぜなら、この音程は無理数であり、どの調律システムの音程間の妥協を表すものでもないからです。この音程が「コンマ」と呼ばれるのは、いくつかのコンマ、特にシントニック・コンマ（21.51 セント）（遊ぶ^ⓘ ) は、ホルダーのに音高測定の単位として広く使われていました。

ホルダーのコンマの起源は、古代ギリシャ人（少なくともローマのボエティウス^{[ b ]}）が、ピタゴラス音律では音を9つのコンマに分割でき、そのうち4つが全音階の半音、5つが半音階の半音を形成すると信じていたことにある。これらのコンマがすべて同じ大きさであれば、5つの音と2つの全音階の半音からなるオクターブ、5 × 9 + 2 × 4 = 53個の等しいコンマが得られる。ホルダー^{[ 18 ]は}、オクターブを53 等分するという考え方をニコラウス・メルカトル^{[ c ]}に帰しているが、メルカトル自身はオクターブの1/53を「人工コンマ」と呼ぶことを提案していた。

メルカトルのコンマとホルドリアンのコンマ

メルカトルのコンマは、ニコラウス・メルカトルとの関連から、密接に関連する区間によく使われる名前です。^{[ d ]} これらの区間の1つは、紀元前45年に荊方によって初めて記述されました。^[¹⁵^]メルカトルは対数を用いて、 $\ {\sqrt[{55}]{2\;}}\$ （約21.8182 セント）は、約21.5063セントの同音コンマ（当時の主流であった平均律の特徴）とほぼ同等であった。彼はまた、「人工コンマ」についても考えた。 $\ {\sqrt[{53}]{2\;}}\$ 31オクターブは53の純正五度でほぼ近似できるため、これは有用かもしれない。ホルドリアン・コンマの名の由来となったホルダーは、53の平均律の音程が55の平均律よりも純正律に近いことから、この後者の単位を好んだ。したがって、メルカトルのコンマとホルドリアン・コンマは、2つの異なるがほぼ等しい音程である。

トルコのマカーム理論での使用

ホルドリアン・コンマは、主にオスマン帝国／トルコの音楽理論において、ケマル・イレリチやトルコの作曲家エロル・サヤンによって用いられてきた。トルコ語では、このコンマは「Holder koması」と呼ばれる。

例えば、ラスト・マカーム（西洋の長音階、より正確には正律長音階に類似）は、ホルドリアン・コンマの観点から考えることができる。

ここで、 ^[^e^]はホルドリアン・コンマフラットを表し、対照的にニハヴェンド・マカーム（西洋の短音階に類似）はです。

ここで♭は5つのコンマのフラットを表し、d –e ♭、 e – f、g–a ♭、a ♭ –b ♭、b ♭ –c ′の間には中秒があり、中秒は8～9コンマの間である。^[¹⁵^]

注記

↑ 「クロアチアの作曲家ヨシップ・シュトルツェル＝スラヴェンスキは、ボザンケのエンハーモニウムを第1楽章で使用した『自然音体系のための音楽』というタイトルの作品を1曲書いたが、^これ^は^出版^さ^れたことがない。[9]^{[10] [}¹¹^]
↑ボエティウスによれば、ピタゴラスの弟子であるクロトンのフィロラオスは、音階は2つの全音階半音とコンマから成り、全音階半音は2つのディアスキスマタから成り、それぞれが2つのコンマから構成されていると述べたであろう。^[¹⁶^]^[¹⁷^]
↑ 「故ニコラス・メルカトルは謙虚な人物であり、博識で思慮深い数学者であった。私が目にした彼の写本にはこう記されている。」^{[ 18 ]}
↑ホルダー（1731）は、マリン・メルセンヌがオクターブに58 1/4コンマを計算したと書いています。メルカトルは「対数を使って計算した結果、55 と少し多い数しか得られなかった」と書いています。 ^[¹⁸^]
↑一般的なアラビア語やトルコ語の慣習では、ラストの 3番目の音eと7番目の音bはこの理論よりもさらに低く、西洋の長3度と短3度がcとgのほぼちょうど中間、つまりdまたはaの6.5コンマ (4分の3 音) 上、 fまたはcの6.5 コンマ下に近い位置にあり、音楽学者によってしばしば「中立的な3度」と呼ばれるc–eとg–bの3度です。

参考文献

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外部リンク

Xenharmonic Wikiの53edo
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[12] 「クロアチアの作曲家ヨシップ・シュトルツェル＝スラヴェンスキは、ボザンケのエンハーモニウムを第1楽章で使用した『自然音体系のための音楽』というタイトルの作品を1曲書いたが、^これ^は^出版^さ^れたことがない。[9]^{[10] [}¹¹^]

[19] ボエティウスによれば、ピタゴラスの弟子であるクロトンのフィロラオスは、音階は2つの全音階半音とコンマから成り、全音階半音は2つのディアスキスマタから成り、それぞれが2つのコンマから構成されていると述べたであろう。^[¹⁶^]^[¹⁷^]

[21] 「故ニコラス・メルカトルは謙虚な人物であり、博識で思慮深い数学者であった。私が目にした彼の写本にはこう記されている。」^{[ 18 ]}

[22] ホルダー（1731）は、マリン・メルセンヌがオクターブに58 1/4コンマを計算したと書いています。メルカトルは「対数を使って計算した結果、55 と少し多い数しか得られなかった」と書いています。 ^[¹⁸^]

[23] 一般的なアラビア語やトルコ語の慣習では、ラストの 3番目の音eと7番目の音bはこの理論よりもさらに低く、西洋の長3度と短3度がcとgのほぼちょうど中間、つまりdまたはaの6.5コンマ (4分の3 音) 上、 fまたはcの6.5 コンマ下に近い位置にあり、音楽学者によってしばしば「中立的な3度」と呼ばれるc–eとg–bの3度です。

[1] Milne, Andrew; Sethares, William; Plamondon, James (2007). "同型コントローラと動的チューニング: チューニング連続体上の不変運指" . Computer Music Journal . 31 (4): 15– 32. doi : 10.1162/comj.2007.31.4.15 . S2CID 27906745 – via mitpressjournals.org.

[2] McClain, Ernest ; Hung, Ming Shui (1979). 「古代末期の中国の周期的な調律」。民族音楽学。23 (2): 205–224。

[3] "後漢書/卷91 - 维基文库、自由的图书馆" [後漢書/第91巻 - ウィキソース、無料ライブラリ]。zh.wikisource.org (中国語) 。2022-06-23に取得。

[4] モンゾ、ジョー (2005)。「メルカトルのコンマ」。トーナルソフト。

[5] ホルダー (1967)

[6] スタンレー、ジェローム (2002)。ウィリアム・ホルダーと17世紀の哲学および音楽理論における彼の位置づけ。エドウィン・メレン出版。—ホルダー（1967）も参照

[7] バルビエリ、パトリツィオ (2008)。調和楽器と音楽、1470 ～ 1900 年。ラティーナ、イルレヴァンテリブレリアエディトリス。 p. 350. 2009年2月15日のオリジナルからアーカイブ。

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