2の12乗根

2 の 12 乗根または(または同等の) は、代数的無理数で、およそ 1.0594631 に等しい。これは西洋音楽理論で最も重要であり、12 平均律における半音( Play ^ⓘ )の周波数比(音程) を表す。この数は、16 世紀と 17 世紀に音楽の調律との関連で初めて提案された。これにより、平均律の半音という単一の音程の異なる数で構成される異なる音程 (周波数比) を測定および比較することが可能になる (たとえば、短 3 度は 3 半音、長 3 度は 4 半音、完全 5 度は 7 半音)。^[a]半音自体は 100セントに分割される(1 セント = )。 ${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$ ${\displaystyle 2^{1/12}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{1200}]{2}}=2^{1/1200}}$

2から20の有効数字の12乗根は1.059 463 094 359 295 2646 . ^[2]分数の近似値は、精度の順に以下の通りである。18/17⁠、⁠89/84⁠、⁠196/185⁠、⁠1657/1564⁠、および⁠18904/17843⁠ .

音程は周波数の比率であり、平均律の半音階はオクターブ（比率は2:1）を12の均等な部分に分割します。各音の周波数は、その下の音の2 ^{1 ⁄ 12倍です。 [3]}

この値を、周波数 440 Hz の中央Cの上のA ( A ₄と呼ばれる)から始まる半音階の音に連続的に適用すると、次のピッチのシーケンスが生成されます。

最後のA (A _{5 : 880 Hz) は、下の}A (A ₄ : 440 Hz)のちょうど 2 倍の周波数、つまり 1 オクターブ高くなります。

他のチューニングスケールでは、わずかに異なる音程比が使用されます。

• 純正またはピタゴラス完全五度は 3/2 であり、平均律完全五度と純正の差はgrad 、つまりピタゴラスコンマの 12 乗根( ¹² √ 531441/524288 ) です。
• 平均律ボーレン＝ピアース音階は、3の13乗根（13√3 ^）の音程を使用します。
• シュトックハウゼンの「Studie II」（1954年）では、5の25乗根（^25√5 ）、つまり5× 5の部分に分割された複合長3度が使用されています。
• デルタスケールは^≈50√3 / 2に基づいています。
• ガンマスケールは≈ ^20√3 / 2に基づいています。
• ベータスケールは≈ ¹¹ √ 3/2に基づいています。
• アルファスケールは^≈9√3 / 2に基づいています。

半音の周波数比は 106% ( ) に近いため、録音の再生速度を 6% 上げたり下げたりすると、ピッチが約 1 半音、つまり「半音」上または下にシフトします。高級なリール式磁気テープ レコーダーは、通常、最大 ±6% のピッチ調整が可能で、再生または録音のピッチを、わずかに異なるチューニングを持つ他の音楽ソース (または、適切な速度で動作していない機器で録音された可能性のあるもの) に合わせるために使用されます。現代のレコーディング スタジオでは、同様の結果を得るために、数セントから最大で数半音までのデジタルピッチ シフトを使用しています。リール式調整は録音されたサウンドのテンポにも影響しますが、デジタル シフトは影響しません。 ${\displaystyle 1.05946\times 100=105.946}$

歴史的にこの数は、1580年にシモン・ステヴィンによって音楽の調律との関連で初めて提案された（1610年に起草、書き直し）。^[4] 1581年にイタリアの音楽家ヴィンチェンツォ・ガリレイが、おそらくヨーロッパ人として初めて12音平均律を提案した。^[1] 2の12乗根は、1584年に中国の数学者で音楽家の朱在玉がそろばんを使って小数点以下24桁まで正確に計算し、^[1] 1605年頃にフランドルの数学者シモン・ステヴィン、^[1] 1636年にフランスの数学者マリン・メルセンヌ、1691年にドイツの音楽家アンドレアス・ヴェルクマイスターによって計算された。^[5]

• フレット
• 純正律 § 実用上の難しさ
• 音楽と数学
• ピアノのキー周波数
• 科学的ピッチ記法
• 十二音技法
• 平均律クラヴィーア曲集

• バーバー、JM ( 1933)。「16世紀中国におけるπの近似値」アメリカ数学月刊誌。40 (2): 69–73。doi :10.2307 / 2300937。JSTOR  2300937。
• エリス、アレクサンダー、ヘルムホルツ、ヘルマン（1954）。音の感覚について。ドーバー出版。ISBN 0-486-60753-4。
• パーチ、ハリー（1974）。音楽の起源。ダ・カーポ・プレス。ISBN 0-306-80106-X。