5つの限界チューニング

5 限界チューニング、5 限界チューニング、または5 素数限界チューニング( 5 奇数限界チューニングと混同しないでください) は、楽器のチューニングシステムであり、与えられた基準音 (基本音) の周波数に 2、3 、または 5 の整数乗 (素数は5 以下に制限されます) の積を掛けて各音の周波数を取得します (例: 2 ⁻³ ·3 ¹ ·5 ¹ = 15/8 ) 。

2 の累乗はオクターブによる音程移動を表します。3 の累乗は完全五度（プラス 1 オクターブ、これは 1/2 を掛けて削除できます、つまり 2 ⁻¹）の音程による移動を表します。5 の累乗は長三度（プラス 2 オクターブ、これは 1/4 を掛けて削除できます、つまり 2 ⁻² ）の音程を表します。したがって、5 限界チューニングは、3 つの基本的な純正律の音程（オクターブ、3 度、5 度）の積み重ねから完全に構築されます。協和音の知覚は倍音列の低い数に関係しているようで、5 限界チューニングは最も低い 3 つの素数に依存しているため、5 限界チューニングでは非常に協和なハーモニーを生成できるはずです。したがって、5 限界チューニングは純正律を得るための方法と考えられています。

5 制限チューニングで使用できる潜在的な音程、ピッチクラス、ピッチ、キーセンター、コード、および変調の数は無制限です。これは、どの素数の (ゼロ以外の整数の) 累乗も他の素数の累乗と等しくないため、使用可能な音程は 3 次元格子(各素数に対して 1 つの次元、または 1 つの方向) で無限に拡張できると考えられます。オクターブを無視すると、2 方向に無限に拡張するピッチクラス(音名) の 2 次元格子として考えることができます。

ただし、アコースティック楽器用に設計されたチューニングシステムのほとんどは、実用的な理由からピッチの総数を制限しています。また、各オクターブに同じ数のピッチがあり、固定された一連のピッチクラスのオクターブ転置を表すことも一般的です (ただし、常にそうであるとは限りません)。その場合、チューニングシステムは、オクターブごとに特定の数のピッチを持つオクターブ繰り返しスケールと考えることもできます。

特定の 5 限界チューニングシステムにおける任意のピッチの周波数は、チューニングシステム用に選択された固定基準ピッチ ( A440、A442、A432、C256 など) の周波数に、ピッチクラスを決定する 3 の累乗と 5 の累乗の組み合わせ、およびオクターブを決定する 2 の累乗の組み合わせを乗算することによって取得できます。

たとえば、5 限界チューニングシステムがあり、ベースノートが C256 (1 秒あたり 256 サイクルで、これを C と呼ぶことにする) である場合、f _C = 256 Hz、つまり「C の周波数は 256 Hz に等しい」となります。この C より上の E を定義する方法はいくつかあります。3 度を使用すると、1 つの係数 5 を上げて 2 つの係数 2 を下げて、周波数比5/4 に達するか、5 度を使用すると、4 つの係数 3 を上げて 6 つの係数 2 を下げて、81/64 に達することができます。周波数は次のようになります。

f_{E}=5^{1}\cdot 3^{0}\cdot 2^{-2}\cdot f_{C}={5 \over 4}\cdot 256\ \mathrm {Hz} =320\ \mathrm {Hz}

または

f_{E}=5^{0}\cdot 3^{4}\cdot 2^{-6}\cdot f_{C}={81 \over 64}\cdot 256\ \mathrm {Hz} =324\ \mathrm {Hz}

全音階

7 つのピッチクラス (1 オクターブあたり 7 つの音符) に制限すると仮定すると、5 制限チューニングを使用して、よく知られている全音階をさまざまな方法でチューニングすることが可能です。その場合、ほとんどの三和音は理想的にチューニングされ、可能な限り協和で安定しますが、一部の三和音は安定性の低い音程構成のままになります。

与えられた音階の主要な音は、その周波数の比率が比較的小さな整数になるように調律されます。たとえば、ト長調のキーでは、G と D (完全 5 度)の音の周波数の比率は3/2 ですが、G と C の音の周波数の比率は 2/3 (下降する完全 5 度) または 4/3 (上昇する完全 4 度)であり、長 3 度の G と B の音の周波数の比率は 5/4 です。

正確な全音階は次のようにして導き出されます。C メジャーのキーを想像して、サブドミナントルート F とドミナントルート G がトニックルート C から両側で 5 度 (3:2) 離れていること、およびコード FAC、CEG、および GBD が正確なメジャートライアド(周波数比 4:5:6) であることを主張するとします。

これはプトレマイオスの強烈な全音階として知られています。ここで、「自然」という見出しの付いた行は、自然数の共通リストを使用してこれらすべての比率を表現します (上の行にその分母の最小公倍数を掛けることにより)。言い換えると、倍音列内でこの 1 オクターブの音階形状が最も少なく出現するのは、倍音 24 から 48 までのオクターブにある 24 倍音のうち 7 倍音のサブセットです。

3 つの長 3 度は正しく (5:4)、3 つの短 3 度は予想どおり (6:5) ですが、D から F は半二重音またはピタゴラスの短 3 度 (オクターブ調整された 3 つの下降する完全 5 度に相当) であり、正しく調律された (6:5) 短 3 度よりも狭いシントニックコンマです。

その結果、EGBとACEは単なる短三和音（10:12:15）である音階が得られますが、DFA三和音は（27:32:40）であり、私たちが期待するような短音の形や音ではありません。さらに、BDF三和音は、6:5の短三度を2つ重ねて得られる（25:30:36）減三和音ではなく、（45:54:64）です。^[1]^[2]

基本的な段階的なスケール間隔が表示されていることがわかります。

s = 16:15 (半音)
t = 10:9 (マイナートーン)
T = 9:8 (長調)

これらを組み合わせて、より大きな間隔を形成することもできます (他にもあります):

Ts = 6:5 (短3度)
Tt = 5:4 (長三度)
Tts = 4:3 (完全4度)
TTts = 3:2 (完全五度)
TTTttss 2:1 (オクターブ)

別の方法は次のとおりです。A マイナーの相対的な短調で考え、D、A、E を 5 度の基調として使用すると、コード DFA、ACE、EGB は単なる短三和音であると主張できます(10:12:15)。

これを前の音階と比較すると、連続する 5 つの音符のペアのステップの比率は同じままですが、1 つの音符 (D) では、ステップ CD と DE の比率が入れ替わっていることがわかります。

3 つの長三度は依然として 5:4 で、3 つの短三度は依然として 6:5 で、4 番目は 32:27 ですが、32:27 になるのは DF ではなく BD です。FAC と CEG は依然として長三和音(4:5:6) のみを形成しますが、GBD は (108:135:160) になり、BDF は (135:160:192) になります。

D を下げる代わりに A を上げるなどの他の可能性もありますが、調整するたびに何かが壊れてしまいます。

明らかに、7 つのピッチに限定した場合、長調の (4:5:6)、短調の (10:12:15)、減音の (25:30:36) の構成で 7 つの全音階三和音を同時に得ることは不可能です。

これは、望ましいハーモニーを調和して演奏するためには、ピッチの数を増やす必要があることを示しています。

十二音階

5 限界チューニングで 12 音階を構築するには、まず 15 個の正しく調律されたピッチを含む表を作成します。

最初の行と最初の列にリストされている係数は、それぞれ 3 と 5 の累乗です (例: 1 ⁄ 9 = 3 ⁻² )。色は、ほぼ同じピッチの異名同音の音符のペアを示します。比率はすべて、この図の中央の C (このスケールの基本音) を基準にして表されます。計算は次の 2 つの手順で行われます。

表の各セルの基本比率は、対応する係数を掛け合わせることで得られます。たとえば、左下のセルの基本比率は 1/9 · 1/5 = 1/45 です。
次に、基本比に、C から始まるオクターブの範囲 (1/1 から 2/1) 内に収まるように必要な大きさの 2 の負または正の累乗を掛けます。たとえば、左下のセルの基本比 (1/45) に 2 ⁶を掛けると、結果の比率は 64/45 となり、これは 1/1 から 2/1 の間の数値になります。

2 番目の手順で使用される 2 の累乗は、オクターブの上昇または下降として解釈される可能性があることに注意してください。たとえば、音の周波数に 2 ⁶を掛けると、 6 オクターブ増加します。さらに、表の各行は5 度(右に上昇) のシーケンス、各列は長 3 度(上方向に上昇) のシーケンスと見なすことができます。たとえば、表の最初の行には、D と A からの上昇 5 度と、A から E への別の上昇 5 度 (下降オクターブが続く) があります。これは、同じ比率を計算するための別の同等の方法を示唆しています。たとえば、C から始めて、表のセルを 1 つ左に 1 つ上に移動し、セルを 1 つ上に移動することで、A (5/3 比率) を取得できます。これは、5 度 (2/3) 下降し、長 3 度 (5/4) 上昇することを意味します。

{1 \over 1}\cdot {2 \over 3}\cdot {5 \over 4}={10 \over 12}={5 \over 6}.

これは C より低いため、希望する比率の範囲 (1/1 から 2/1) 内に収まるように 1 オクターブ上に移動する必要があります。

{5 \over 6}\cdot {2 \over 1}={10 \over 6}={5 \over 3}.

12音階は、異名同音の音符2つにつき1つの音符を削除することで得られます。これは、少なくとも3つの方法で実行できますが、共通しているのは、Cベースのピタゴラス音階や1/4コンマのミーントーン音階にも有効な慣例に従って、 G ♭を削除することです。これは、不調和な音程である主音Cの半オクターブ上の減5度
に近いことに注意してください。また、その比率は、音階内のすべての音の中で分子と分母の値が最大であり、最も調和的ではありません。これらはすべて、これを避けるべき理由です。ここでは操作上対称スケール1と表記する最初の戦略は、表の左上隅と右下隅の音を選択して削除することです。対称スケール2と表記する2番目の戦略は、2行目の最初と最後のセル（ラベル「 1」）の音符を破棄することです。 3 番目は非対称スケールと呼ばれ、最初の列 (「1/9」と表示) を破棄します。結果として得られる 12 音スケールを以下に示します。

1 番目と 2 番目の音階では、B ♭と D は完全に反転しています。3 番目の音階ではそうではありません。これが、この 2 つの音階が対称的であると見なされる理由です (ただし、G ♭を削除すると、他のチューニングシステムで生成された音階も含め、12 音階すべてがわずかに非対称になります)。

非対称システムの利点は、最も「正確な」比率（より小さな数字を含む比率）で、9 つの純正五度（係数 3/2）、8 つの純正長三度（係数 5/4）が設計上含まれているだけでなく、6 つの純正短三度（係数 6/5）も含まれていることです。ただし、2 つの不純正五度（たとえば、D から A は 3/2 ではなく 40/27）と 3 つの不純正短三度（たとえば、D から F は 6/5 ではなく 32/27）も含まれているため、実質的には変調が狭い範囲のキーに制限されます。トニック C、ドミナント G、サブドミナント F のコードは純正であり、D ♭、A ♭、E ♭およびマイナーコード Fm、Cm、Gm、Am、Bm、Em も純正ですが、Dm は純正ではありません。

非対称システムの欠点は、対称システムの場合の 12 個のウルフ間隔ではなく、 14 個のウルフ間隔が生成されることです。

最初の対称音階のB ♭ は、シントニックコンマによって他の音階のB ♭と異なり、21 セント以上離れています。平均律音階では、すべてのステップを同じ周波数比にすることで、この違いをなくしています。

非対称音階の構成は、図にグラフィカルに示されています。各ブロックの高さは、構成周波数比 2/1、3/2、5/4 のセント単位です。繰り返しパターンが認識できます。たとえば、多くの場合、次の音符は 5/4 ブロックと 3/2 ブロックを 2/1 ブロックに置き換えることで作成され、比率は 16/15 になります。

頻度係数 2/1、3/2、5/4 ではなく、頻度係数 2、3、5 を使用して作成された同様の画像については、ここを参照してください。

公正な比率

これらの音階を構築するために使用された正確な比率は、他の音階の音程の協和性を評価するための基準として使用できます(たとえば、この比較表を参照してください)。ただし、5 限界チューニングは、正確な調律を得るための唯一の方法ではありません。より「正確な」比率で正確な音程を構築したり、平均律に近い値で正確な音程を構築したりすることも可能です。たとえば、7 限界チューニングは、短 7 度 (7/4) とその反転である長 2 度 (8/7) に対して、わずかに正確で、結果的に協和性の高い音程を得るために使用されることがあります。純粋または厳密に正確な音程または比率と呼ばれるこれらの基準比率のリストを以下に示します。

黄色で強調表示されたセルは、同じ行の色の付いていないセルよりも正確な間隔を示します。シアン色で強調表示されたセルは、さらに正確な比率を示します。

3全音（増4度と減5度）の比率45/32と64/45は、すべての状況で厳密に公正であるとは見なされていないことに注意してください。ただし、これらは前述の5限界調律スケールで可能な限り公正です。拡張された非対称5限界スケール（下記参照）は、両方の3全音（25/18と36/25）に対してわずかに公正な比率を提供しますが、その純度も議論の的となっています。7限界調律は、可能な限り公正な比率、つまり7/5（約582.512セント、七分音階とも呼ばれる）と10/7（約617.488セント）を可能にします。これらの比率は、17 制限チューニングで得られる 17/12 (約 603,000 セント) や 24/17 (約 597,000 セント) よりも調和的ですが、後者も平均律の値である 600,000 セントに近いため、かなり一般的です。

前述の 7/4 音程 (約 968.826 セント) は、七分音階の短七度、または和声的七度としても知られ、平均律の短七度よりも 31 セント低いため、音楽理論の歴史を通じて論争の的となってきました。

間隔のサイズ

上記の表は、ベース音に対する各音の周波数比のみを示しています。ただし、音程はどの音からでも開始できるため、各音程タイプに対して 12 個の音程を定義できます(12 個のユニゾン、12 個の半音、12 個の 2 半音間隔など)。

5 限界チューニングでは、ユニゾンとオクターブを除く各音程タイプに 3 つまたは 4 つの異なるサイズがあります。これは、純正律を求めるために支払われる代償です。右の表は、非対称スケールの周波数比を示しており、偏差は色で、ウルフ音程に対応する偏差は紫色で示されています。偏差は、音符が 4 つの異なる半音を決定するために発生します。

S_{1}={{5 \over 4}\div {6 \over 5}}={25 \over 24}\approx 70.672\ {\hbox{セント}}

（E ♭とEの「ちょうど」増音ユニゾン）

S_{2}={{9 \over 8}\div {16 \over 15}}={135 \over 128}\approx 92.179\ {\hbox{セント}}

（D ♭とDの増音ユニゾン）

S_{3}={16 \over 15}\approx 111.731\ {\hbox{セント}}

（CとD ♭の間のちょうど短二度）

S_{4}={{9 \over 5}\div {5 \over 3}}={27 \over 25}\approx 133.238\ {\hbox{セント}}

（AとB ♭の間の短二度）

対照的に、平均律の半音階では、すべての半音は

S_{E}={\sqrt[{12}]{2}}=100.000{\text{セント}}

あらゆるタイプの音程は同じ大きさですが、ユニゾンとオクターブを除いて正しく調律されているものはありません。

カンマ

他の調律システムでは、コンマは2 種類の半音(全音階と半音階、短 2 度m2または増ユニゾンA1とも呼ばれる)の差に等しい 1 分間の間隔として定義される場合があります。ただし、この場合は 4 種類の半音 (2 つの A1、S ₁と S ₂、および 2 つの m2、S ₃と S ₄ ) が生成され、12 種類のコンマはセント単位のサイズの差、またはそれと同等の比率として定義できます。これらの中から、6 つの昇順のコンマ (比率が 1/1 より大きく、セント単位のサイズが正のもの) を選択します。

他の 6 つの比率は、これらとちょうど反対であるため、無視されます。したがって、長さはまったく同じですが、方向が反対です (つまり、下降方向、1/1 より小さい比率、およびセント単位での負のサイズ)。これにより、ディアスキスマ、小ディエシス、シントニックコンマ、および大ディエシスという 4 つの異なるサイズのコンマが得られます。S ₁ (正確な A1 ) と S ₃ (正確な m2 ) は、この 12 音階で最も頻繁に出現する半音であるため (上記の表を参照)、それらの間の比率として定義される小ディエシスは、最も頻繁に観察されるコンマです。

シントニックコンマは、5 限界チューニングでは、長音 (サイズ 9/8 の M2) と短音 (サイズ 10/9 の M2) の比率としても定義されます。他のチューニングシステムでは、全音階と半音階の半音の比率 (m2/A1) として定義することはできませんが、シントニック音律連続体 (平均律も含む) のどのチューニングシステムでも完全 5 度をチューニングするために使用される重要な参照値です。

秒数が減る

上記のコンマのうち 3 つ、すなわち、ディアスキスマ、ディエーシス、およびグレーターディエーシスは、全音階の半音と半音階の半音の大きさのセントの差 (または、それらの周波数比の比率と同等) である減二度の定義を満たしています。

対照的に、シントニックコンマは、2 つの半音階半音 (S ₂と S ₁ ) 間、または 2 つの全音階半音 (S ₄と S ₃ ) 間のセントの差として定義され、減二度とは見なされません。

十二音階の拡張

上記の表では、基本比を構築するために 3 と 5 の低い累乗のみを使用しています。ただし、5 ² = 25、5 ⁻² = 1/25、3 ³ = 27、または 3 ⁻³ = 1/27 のように、同じ数のより高い正と負の累乗を使用して簡単に拡張できます。これらの基本比を組み合わせることで、25、35、またはそれ以上のピッチを持つスケールを取得できます。

たとえば、次のように各方向に行を追加することで、35 ピッチを取得できます。

左の列 ( 1/9 ) は、（上記の非対称音階のように）削除されることがあり、これにより、音程の数が少ない非対称の表が作成されます。上記の制限された 5 制限チューニング (C から G ♭ - = 64/45) に対して、減五度 (CG ♭ = 36/25) に対してより正確な比率が生成されることに注目してください。^[4]

歴史

ピタゴラス音律は、おそらく西洋で最初に理論化された音律システムである^{[5] が}、高度に協和的な音程は完全五度とその反転である完全四度だけであった。ピタゴラスの長三度(81:64) と短三度(32:27)は不協和であり、このため音楽家は三和音や和音を使うことができず、何世紀にもわたって比較的単純なテクスチャの音楽を書かざるを得なかった。中世後期に、音楽家は、いくつかの音のピッチをわずかに和らげることで、ピタゴラスの三度を協和にできることに気付いた。たとえば、シントニックコンマ(81:80) を減らすと、E、CE (長三度)、EG (短三度) の周波数が適正になる。つまり、CE は適正なイントネーションの比率である 1/2 に狭められる。

{81 \over 64}\cdot {80 \over 81}={{1\cdot 5} \over {4\cdot 1}}={5 \over 4}

そして同時にEGは、

{32 \over 27}\cdot {81 \over 80}={{2\cdot 3} \over {1\cdot 5}}={6 \over 5}

欠点は、E をフラット化することで、5 度音 AE と EB がピタゴラスのウルフ 5 度音とほぼ同じくらい不協和になることです。しかし、5 度音 CG は E のみがフラット化されているため協和のままであり (CE * EG = 5/4 * 6/5 = 3/2)、CE と組み合わせて Cメジャートライアド (CEG) を作成できます。

この単純な理論を一般化して、ジョゼッフォ・ザルリーノは16 世紀後半に、純正完全五度 (3:2)、純正長三度、純正短三度を含む、最初の正しく調律された 7 音階 (全音階) を作成しました。

ファ → ア → ハ → ホ → ソ → ロ → ド

これは、F から始まる長 3 度 (M3、比率 5:4) と短 3 度 (m3、比率 6:5) だけのシーケンスです。

F + M3 + m3 + M3 + m3 + M3 + m3

M3 + m3 = P5（完全五度）、つまり5/4 * 6/5 = 3/2なので、これは5限界純正律で得られる全音階とまったく同じであり、したがって12音（半音）音階に使用される構成表のサブセットとして見ることができます。

どちらの行も単なる五度音程のシーケンスであり、FA、CE、GB は単なる長三度音程です。

参照

注記

^ ライト、デイビッド（2009年）。数学と音楽、pp.140-141。ISBN 978-0-8218-4873-9 。
^ ジョンストン、ベン、ギルモア、ボブ(2006)。「拡張純正律の記譜システム」(2003)、「最大限の明瞭さ」および音楽に関するその他の著作、p. 78。ISBN 978-0-252-03098-7。
^ abcdefghijklmno ジョン・フォンヴィル。「ベン・ジョンストンの拡張純正律 - 解釈者のためのガイド」pp. 113-114、Perspectives of New Music、vol. 29、no. 2（1991年夏）、pp. 106-137。
^ G ♯からD ♭までの音符は、ドン・マイケル・ランデル著『ハーバード音楽辞典』第4版、マサチューセッツ州ケンブリッジ：ベルナップ・プレス、2003年、415ページから引用しています。さらに、FからDまでの音符については、D ♭まで、Tonalsoft の微分音音楽理論百科事典では、「実際、この構造はサリナスの純正律構造を完璧に表している」と述べられています。
^ ピタゴラス音律システムに関する最も古い記述は、バビロニアの遺物に見られる。参照：West, ML「バビロニアの音楽記法とフルリ人の旋律テキスト」、Music & Letters、vol. 75、no. 2（1994年5月）。pp. 161–179。

外部リンク

アメリカの芸術：アメリカの作曲家による純正律を使用した微分音/純正律作品
クリサリス財団 – 純正律：2つの定義
ダンテ・ロザーティの21トーン純正律ギター
マーク・ノビツキーの純正律
カイル・ガンによる純正律の説明
UbuWebのTellus Audio Cassette Magazineプロジェクトアーカイブに掲載されている、Just Intonation Network Web によって編集された Just Intonation 作品のセレクション
中世音楽芸術財団
ミュージック・ノバトリー – 純正律 2011-06-15ウェイバックマシンにアーカイブ
純正律はなぜこんなに良い音なのでしょうか?
ウィルソンアーカイブ
バルビエリ、パトリツィオ。調和のとれた楽器と音楽、1470 ～ 1900 年。 (2008) ラティーナ、イルレヴァンテ
12種類のインド楽器音を含む22音純正律キーボードソフトウェア Libreria Editrice
プレーンサウンド音楽版 – 純正律 (JI) 音楽と研究、ヘルムホルツ-エリスJIピッチ記法に関する情報

[1] ライト、デイビッド（2009年）。数学と音楽、pp.140-141。ISBN 978-0-8218-4873-9 。

[2] ジョンストン、ベン、ギルモア、ボブ(2006)。「拡張純正律の記譜システム」(2003)、「最大限の明瞭さ」および音楽に関するその他の著作、p. 78。ISBN 978-0-252-03098-7。

[Fonville-3] ジョン・フォンヴィル。「ベン・ジョンストンの拡張純正律 - 解釈者のためのガイド」pp. 113-114、Perspectives of New Music、vol. 29、no. 2（1991年夏）、pp. 106-137。

[4] ^ G ♯からD ♭までの音符は、ドン・マイケル・ランデル著『ハーバード音楽辞典』第4版、マサチューセッツ州ケンブリッジ：ベルナップ・プレス、2003年、415ページから引用しています。さらに、FからDまでの音符については、D ♭まで、Tonalsoft の微分音音楽理論百科事典では、「実際、この構造はサリナスの純正律構造を完璧に表している」と述べられています。

[5] ピタゴラス音律システムに関する最も古い記述は、バビロニアの遺物に見られる。参照：West, ML「バビロニアの音楽記法とフルリ人の旋律テキスト」、Music & Letters、vol. 75、no. 2（1994年5月）。pp. 161–179。