トーンダイヤモンド

音楽理論と調律において、調性ダイヤモンドとは、 1 つの次元が音調性でもう 1 つの次元が音律性である2 次元の比率の図です。^[1]したがって、n 極限調性ダイヤモンド (ここでの「極限」は素数極限ではなく奇数極限の意味で使用) は、有理数r、の集合をダイヤモンド型に配置したもので、 rの分子と分母の両方の奇数部を最小項に換算すると、固定された奇数n以下になります。同様に、ダイヤモンドはピッチクラスの集合と見なすこともできます。ピッチクラスは、オクターブ同値の下でのピッチの同値クラスです。調性ダイヤモンドは、 n 極限の協和音の集合を構成すると見なされることが多いです。もともとマックス・フリードリヒ・マイヤーによって発明されたにもかかわらず、^[2]調性ダイヤモンドは現在ではハリー・パーチと最も関連づけられています（「純正律の理論家の多くは、調性ダイヤモンドをパーチの微分音理論への最大の貢献であると考えています。」^[3]）。 ${\displaystyle 1\leq r<2}$

パーチは、調性ダイヤモンドの要素を菱形の形に配置し、それを (n+1) ² /4 個のより小さな菱形に分割しました。菱形の左上辺には、1 から n までの奇数が配置され、それぞれオクターブに縮められています ( となる最小の 2 の累乗で割っています)。これらの音程は昇順に並べられています。左下辺には、対応する逆数 1 から 1/n が配置されており、これもオクターブに縮められています (ここでは、となる最小の 2 の累乗で乗じています)。これらは降順に並べられています。その他のすべての場所には、斜め上左下の音程の積が配置され、オクターブに縮められています。これにより、繰り返しはありますが、調性ダイヤモンドのすべての要素が得られます。一方向に傾斜している対角線はオトナリティを形成し、他方向に傾斜している対角線はユートナリティを形成します。パーチの楽器の 1 つであるダイヤモンド マリンバは、調性ダイヤモンドに従って編曲されています。 ${\displaystyle 1\leq r<2}$${\displaystyle 1\leq r<2}$

数値的結びつきとは、分子または分母で2つ以上の音程比が共有する恒等式であり、もう一方は異なる恒等式である。^[1]たとえば、音調では分母は常に1であるため、1は数値的結びつきである。

${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}{\frac {1}{1}}&{\frac {2}{1}}&{\frac {3}{1}}&{\frac {4}{1}}&{\frac {5}{1}}&\mathrm {など} \\&&({\frac {3}{2}})&&({\frac {5}{4}})\end{array}}}$

ユトナリティでは分子は常に 1 であり、したがって数値のネクサスも 1 です。

${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}{\frac {1}{1}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&\mathrm {など} \\&&({\frac {4}{3}})&&({\frac {8}{5}})\end{array}}}$

たとえば、ハリー・パーチの 11 極限ダイヤモンドなどの調性ダイヤモンドでは、右斜めの行の各比率は分子を共有し、左斜めの行の各比率は分母を共有します。左上の行の各比率の分母は 7 で、右上の行の各比率の分子は 7 (または 14) です。

このダイヤモンドには 3 つのID (1、3、5) が含まれています。

このダイヤモンドには 4 つの ID (1、3、5、7) が含まれています。

このダイヤモンドには 6 つのアイデンティティ (1、3、5、7、9、11) が含まれています。ハリー パーチは 11 制限のトーン ダイヤモンドを使用しましたが、90 度反転しました。

このダイヤモンドには 8 つの ID (1、3、5、7、9、11、13、15) が含まれています。

5 極限と 7 極限の調性ダイヤモンドは、変調空間内で非常に規則的な幾何学的形状を示します。つまり、ダイヤモンドの非ユニゾン要素はすべてユニゾンから 1 単位だけ離れています。5 極限のダイヤモンドはユニゾンを囲む正六角形になり、7 極限のダイヤモンドはユニゾンを囲む立方八面体になります。 ^{[要出典] 。3 極限から 8 極限ダイヤモンドまでのダイヤモンド格子のさらなる例は、}アーヴ・ウィルソンによって実現され、各音程に独自の方向が与えられています。^[4]

調性ダイヤモンドの 3 つの特性と含まれる比率:

1. 隣接する比の間の比はすべて超特異比であり、分子と分母の差が1である。^[5]
2. 比較的低い数値の比率は、高い数値の比率よりも間隔が広くなります。^[5]
3. このシステムは、比率間の比率を含め、比率ではなくセントで測定した場合、オクターブ内で対称的です。^[5]

例えば：

1. 6 ⁄ 5と5 ⁄ 4 (および8 ⁄ 5と5 ⁄ 3 )の比率は25 ⁄ 24です。
2. 比較的低い数値4 ⁄ 3と3 ⁄ 2の比率は203.91 セント離れていますが、比較的高い数値6 ⁄ 5と5 ⁄ 4の比率は70.67 セント離れています。
3. 最も低い比率と 2 番目に低い比率、および最も高い比率と 2 番目に高い比率の比率は同じです。

φ( n )がオイラーのトーシェント関数で、nより小さくnと互いに素な正の整数の数を与える、つまりnと共通因数を持たないnより小さい整数を数える関数であり、d(n)がn極限調性ダイヤモンドの大きさを表す場合、次の式が得られる。

${\displaystyle d(n)=\sum _{m<n\ odd}\phi (m).}$

このことから、調性ダイヤモンドの成長率は漸近的に に等しいと結論付けることができます。最初のいくつかの値が重要であり、ダイヤモンドのサイズが奇数極限のサイズの2 乗に比例して大きくなるという事実は、ダイヤモンドがかなり急速に大きくなることを示しています。5 極限ダイヤモンドには 7 人、7 極限ダイヤモンドには 13 人、9 極限ダイヤモンドには 19 人、11 極限ダイヤモンドには 29 人、13 極限ダイヤモンドには 41 人、15 極限ダイヤモンドには 49 人のメンバーがいます。これらはほとんどの目的には十分です。 ${\displaystyle {\frac {2}{\pi ^{2}}}n^{2}}$

ユーリ・ランドマンは、パーチの調性ダイヤモンドと倍音列および弦長（パーチはキタラスでも使用していた）およびランドマンのムードスウィンガー楽器との関係を明確にする音調性と自調性の図を発表しました。^[6]

パーチの比率では、上の数字は振動する弦の均等分割の数に対応し、下の数字は弦の長さがどの分割に短縮されるかに対応します。たとえば、 5 ⁄ 4 は、弦を 5 つの均等な部分に分割し、長さを下から 4 番目の部分に短縮することで得られます。ランドマンの図では、これらの数字が反転され、周波​​数比が弦の長さ比に変わります。

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