ユークリッドリズム

音楽におけるユークリッドのリズムは、2004年にゴッドフリード・トゥーサンによって発見され、2005年の論文「ユークリッドのアルゴリズムが伝統的な音楽のリズムを生成する」で説明されています。^[1] 2つの数の最大公約数がリズム的に使用され、拍と無音の数を与え、インドのタラを除いて、ほとんどすべての重要なワールドミュージックのリズムを生成します。 [ ^{2 ]}結果として得られるリズムの拍は可能な限り等間隔です。同じ結果は、ブレゼンハムのアルゴリズムから得ることができます。

Toussaint の論文^[3]では、時間ステップ内でビートを分配するタスクが検討されています。 が与えられているため、ビートの数はステップの数より少なくなります。これらのビートをできるだけ等間隔になるように分配する方法が問題になります。が で割り切れる場合は簡単です。この場合は、ビートが隣のビートからステップ数だけ離れるように分配します。例として、以下はおよびのユークリッドリズムです。 のため、これらのビートは互いに 4 ステップ離れています。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k<n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n/k}$${\displaystyle n=16}$${\displaystyle k=4}$${\displaystyle n/k=16/4=4}$

[ x . . . x . . . x . . . x . . . ]

ここで、「x」は拍を表し、「.」は無音を表します。

が を割り切れない場合、問題はさらに複雑になります。この場合、式は整数を生成しないため、一部のビートは一方のビートからもう一方のビートよりもわずかに近くなります。このため、ビートは完全に等距離ではなくなります。例として、および の場合を考えてみましょう。単純なアルゴリズムでは、ビートは次のように配置されます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n/k}$${\displaystyle n=13}$${\displaystyle k=5}$

[ x . x . x . . x . . x . . ]

ビートは技術的には理想的な間隔 (2 ステップまたは 3 ステップ) で配分されていますが、ビートが最初に「まとまって」いて、最後に間隔が空いているという問題がまだ残っています。「等間隔」のより具体的な定義では、これらの間隔 (「x . 」および「x . . 」) も均等に配分されることが求められる場合があります。

トゥーサンの観察によれば、ユークリッドのアルゴリズムは、任意のおよび に対して「凝集」を最小化する解を体系的に見つけるために使用できる。 および の前の例を取り、ユークリッドのアルゴリズムを実行する。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=13}$${\displaystyle k=5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&n=13,\ k=5\\n&=q_{0}k+r_{0}\implies &q_{0}=2,\ r_{0}=3\\k&=q_{1}r_{0}+r_{1}\implies &q_{1}=1,\ r_{1}=2\\r_{0}&=q_{2}r_{1}+r_{2}\implies &q_{2}=1,\ r_{2}=1\\r_{1}&=q_{3}r_{2}+r_{3}\implies &q_{3}=2,\ r_{3}=0\\\end{aligned}}}$

トゥーサンのアルゴリズムは、まず次のリズムを構築します。

[ xxxxx . . . . . . . . ]

次に、シーケンスを使用して、シーケンスの右側の列を繰り返し取り除き、下部に配置します。 から始めて、次のようになります。 ${\displaystyle t=k,r_{0},r_{1},r_{2},...}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle t_{0}=k=5}$

[ xxxxx . . .
  . . . . . ]

次は: ${\displaystyle t_{1}=r_{0}=3}$

[ xxxxx
  . . . . .
  . . . ]

次は: ${\displaystyle t_{2}=r_{1}=2}$

[ xxx
  . . .
  . . .
  xx
  . . ]

プロセスはここで停止します。つまり、移動する列は 1 つだけだからです。最終的なビート パターンは、上から下、左から右に読み取られます。 ${\displaystyle t_{3}$

[ x . . x . . x . . x . . ]

17世紀、コンラッド・ヘンフリングはライプニッツに音楽理論と楽器の調律について書いた手紙の中で、その推論にユークリッドの互除法を利用しています。 ^[4] ヴィゴ・ブルン^[5]は 、4つの異なるサイズの音程までの音階を構築するという観点からユークリッドの互除法の使用を調査しました。アーヴ・ウィルソンは^[6]比率と^[7]音階ステップを使用して両方を調査し、クレイグ・グレイディは^[8]長拍子内のリズムに適用しました。

• アルゴリズム構成
• ポリリズム

• GT Toussaint、「ユークリッドのアルゴリズムが伝統的な音楽のリズムを生成する」、BRIDGES 会議録: 芸術、音楽、科学における数学的つながり、カナダ、アルバータ州バンフ、2005 年 7 月 31 日から 8 月 3 日、pp. 47-56。
• Phil Baljeu と Manuel Odendahl (Ruin & Wesen)。「ユークリッドアルゴリズムを使用したアフリカのリズムの生成」。2013 年 11 月 14 日にオリジナルからアーカイブされました。
• ベンジャミン・ウォードハウ (2006 年 9 月 1 日)。「音楽とユークリッドのアルゴリズム」
• ユークリッドリズムの実験に関するビデオとFlashアプリへのリンク
• ユークリッドリズムのデモ — ユークリッドリズムを実験するためのインタラクティブなブラウザベースのツール
• Derek Rivait による「ユークリッドのアルゴリズムが伝統的な音楽のリズムを生成する」のチュートリアル
• SoundHelixはユークリッドリズムをサポートするアルゴリズムランダム音楽作曲のための無料ソフトウェアです。
• ユークリッドリズムのリスト - すべてのユークリッドリズム E(i,2 ～ 32) のリスト。ウィノグラード深度、エルデシュ深度、真正アクサック、準アクサック、または疑似アクサックのいずれであるかを示します。
• XiiixxiQ : Roundels は、ユークリッドのアルゴリズムに関する合計値を使用するユニークで無料のユークリッド シーケンサーです。その機能は、サイクルの最も均等な分割を見つけるためにあるとよく言われますが、このテーマに関する歴史的な論文のどこにもその記述を見つけることができません。特定の数の間隔でサイクルを分割する方法以上のものではないようです。この現代的な仮定がどこから来ているのかは不明です。リズムを使用して非線形ステップ シーケンサーを駆動します [1]
• https://anaphoria.com/journal.html#rhythmリズムに適用された Brun のユークリッドアルゴリズムと関連する MOS パターンに関するKraig Gradyの論文。